Ayudantía 3

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Macroeconomı́a II
EAE221b-2
Profesores: Luis Felipe Céspedes; José De Gregorio
Ayudant́ıa 3
Ayudantes: Felipe Benguria; Darko Peric
Problema 1. Precios de bonos y duración.
Considere un bono bullet con n cupones por un monto C y paga 100 de
capital cuando madura. El bono se compra en cero a un precio P y los cupones
se empiezan a recibir desde el peŕıodo 1 al n.
a) Explique en cuantos bonos ceros se puede descomponer este bono y cual
es la madurez y pago a término de cada uno de estos bonos.
b) Calcule el precio P de este bono si su retorno es R. ¿Cuál es el signo de la
relación entre P y R? Si el banco central hace una operación de mercado abierto
comprando estos bonos qué pasará con la cantidad de dinero y la tasa de interés
R.
c) Defina la duración como el promedio ponderado de la madurez de cada
bono cero de que está compuesto este bullet. El ponderador es la fracción del
valor presente del pago del cero respecto del precio del bono. Encuentre la
expresión para la duración como función de C, P, y R.
d) Comente la frase: mientras mayor es la duración de un bono, mayor es
la sensibilidad de su precio respecto de cambios en la tasa de interés. Para
esto basta calcular la derivada del precio con respecto al retorno del bono y
analizarla.
Respuesta:
a) El bono bullet puede descomponerse en N bonos ceros. Tendŕıamos N-1
bonos ceros de madurez 1, 2, 3, ..., N-1 , todos de pago C, y un bono cero de
madurez N y pago C + 100.
b) El precio es el valor presente de los pagos, descontados a tasa R. Por lo
tanto:
P =
N∑
i=1
C
(1 + R)i
+
100
(1 + R)N
Vemos que la relación entre P y R es inversa.
Si el banco central hace una operación de mercado abierto comprando estos
bonos entonces estará introduciendo dinero a la economı́a. la cantidad de dinero
aumenta. El precio de los bonos sube, ya que se hacen más escasos, por lo que
su retorno R cae.
c) De acuerdo a lo señalado, D =
∑N
i=1 Mi ∗ Ponderadori
1
Los ponderadores para cada cero son el precio del cero dividido por el precio
del bullet. Entonces:
Ponderadori =
C
(1+R)i
P
para i = 1, 2, .. N -1
Ponderadori =
C+100
(1+R)i
P
para i = N
Recordando que la madurez de cada bono fue dada en a), tenemos:
D =
N−1∑
i=1
i ∗ C
P ∗ (1 + R)i
+
(C + 100) ∗N
P ∗ (1 + R)N
d) Para una mayor duración, el precio del bono es más sensible a cambios
en R. Es más fácil pensarlo para un cero. Si la madurez (igual a la duración
en este caso) es más grande, quiere decir que 1 + R está elevado a un número
mayor, por lo que se hace más relevante. Para el bullet es lo mismo, dado que
está compuesto por ceros.
Problema 2. Hiperinflaciones con Expectativas Adaptativas
Considere la siguiente función de demanda por dinero:
M
P
= m = ye−aπ
e
donde M es la cantidad nominal de dinero, P es el nivel de precios, m es
la cantidad real de dinero, y es el producto (que normalizaremos a 1), πe es la
inflación esperada y a es una constante positiva. Suponga que se desea financiar
un déficit fiscal real por la v́ıa de hacer crecer el dinero nominal en σ. El señoreaje
es ṀP . Escriba la restricción presupuestaria del gobierno como función de σ y π
e,
y graf́ıquela en el plano (πe, σ). Suponga que las expectativas son adaptativas:
π̇e = β(π − πe)
Encuentre los estados estacionarios para distintos niveles de déficit, y discuta
la estabilidad de estos. Asuma βa < 1. Muestre la dinámica del ajuste cuando
se producen saltos en el nivel de déficit que se desea financiar.
Respuesta:
El señoriaje S financia el deficit d. La recaudación por señoreaje es
Ṁ
P
=
Ṁ
M
M
P
= σe−aπ
e
Despejando,
2
σ = Seaπ
e
El grafico es [ver grafico 1]
Ahora incorporamos la dinámica de las expectativas, que son adaptativas:
π̇e = β(π − πe)
Primero vemos que diferenciando la demanda por dinero tenemos:
∂M
P
− ∂P
P
M
P
= −aπ̇ee−aπ
e
Es decir, por la definición de σ y π,
σm− πm = −aπ̇em
De aqúı despejamos
π = σ + aπ̇e
Como tenemos la ecuación para el comportamiento de las expectativas, pode-
mos escribir:
π̇e = β(π − πe) = β(σ + aπ̇e − π̇e)
Es decir:
π̇e =
β
1− aβ
(σ − π̇e)
y recordamos la condición βa < 1 (las expectativas se ajustan lento).
Los estados estacionarios corresponden a π̇e = 0. Para que esto se cumpla,
de la ecuación anterior,
πe = σ
En el gráfico 2 se muestran los dos puntos que satisfacen esta condición [ver
gráfico 2].
Después de encontrar los estados estacionarios podemos ver su estabilidad,
lo que se muestra con las flechas del mismo gráfico. Para dibujar las flechas, uno
ve que en la zona en que πe > σ (bajo la linea punteada), π̇e < 0 por lo que
las lineas van hacia la izquierda (direccion en que disminuye π̇e. Para las otras
zonas es análogo. Por lo tanto el punto estacionario de más abajo es estable y
el otro no.
Si el gobierno busca financiar un deficit muy grande (S muy grande) no
habrá puntos estacionarios (la curva se desplaza en paralelo hacia arriba y nunca
intersecta a la linea punteada. Las flechas nos llevan a una emisión cada vez
mayor, sin ĺımite.
Si hay saltos en el nivel de deficit, el ajuste se produce como en el grafico
3 [ver grafico 3], dado que las expectativas no pueden cambiar subitamente.
3
Entonces primero se mueve la emision hasta quedar sobre la nueva curva, y
luego el ajuste es sobre la curva hacia el estado estacionario estable.
4