Ayudantia 6 - pauta

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Nombre: Número lista:
(4)[25 puntos] Análisis Media Varianza
Suponga que tras graduarse es contratado por un prestigioso banco de inversión nacional. En su primera tarea
le han pedido evaluar la estrategia de inversión de un pequeño fondo mutuo. El objetivo del fondo es invertir en un
portafolio eficiente en el sentido media-varianza. Asuma que además de bonos libre de riesgo, hay sólo dos acciones
en el mundo una acción Growth y una acción Value. Los retornos de estas acciones no están correlacionados entre
si. Sus retornos esperados y volatilidades están dados en la siguiente tabla:
Growth Value
Retorno Esperado 11 % 4 %
Volatilidad 30 % 10 %
Actualmente 20 % del fondo está invertido en bonos libres de riesgo, 40 % en la acción Growth y 40 % en la
acción Value. La tasa libre de riesgo es de 5 %.
(a)[10 puntos] ¿ Es el portafolio actual de este fondo mutuo eficiente en el sentido media varianza?
Śı / No: No
Explique su respuesta. Muestre todo su trabajo:
Hay varias maneras de probar que el portafolio actual no es eficiente en el sentido media varianza. La manera
más directa es notar que como la parte riesgosa del portafolio tiene 50 % en cada acción, la correlación entre cada
acción y el portafolio será positiva, por lo que el retorno exigido a cada uno de ellos será positivo. Sin embargo,
el retorno esperado de la acción Value es menor a la tasa libre de riesgo, por lo que es inmediatamente podemos
concluir que este portafolio no es eficiente en el sentido media varianza.
Una alternativa era comparar el Sharpe ratio del portafolio de acciones actual con el ratio recompensa/riesgo
marginal respecto de nuestro portafolio riesgoso actual (Notar que tal como lo hicimos en el ejercicio de la
ayudant́ıa, vamos a hacer los cálculos respecto a la parte riesgosa de nuestro portafolio actual y no respecto a todo
el portafolio actual incluyendo el activo libre de riesgo, el resultado es independiente de esta elección):
E(Ri)−Rf
ρipσi
>
E(Rp)−Rf
σp
= Sp
La parte “riesgosa” del portafolio actual tiene 50 % invertido en cada acción, y usando el hecho de que estas
acciones no están correlacionadas, podemos encontrar el Sharpe ratio contra el que vamos a comparar:
Sp =
E(Rp)−Rf
σp
=
0,5× 11 % + 0,5× 4 %− 5 %√
0,52 × 0,102 + 0,52 × 0,302
=
2,5 %√
0,025
= 0,1581
Ahora necesitamos calcular el ratio recompensa/riesgo marginal respecto de nuestro portafolio riesgoso actual
para lo que necesitaremos las correlaciones entre cada acción y la parte riesgosa del portafolio actual:
Corr(RV alue, RPortafolio) =
Cov(RV alue,RPortafolio)
σV alue×σPortfolio =
Cov(RV alue,0,5RV alue+0,5RGrowth)
σV alue×σPortfolio =
0,5Cov(RV alue,RV alue)
σV alue×σPortfolio
Por lo tanto concluimos que: Corr(RV alue, RPortafolio) =
0,5×σV alue
σportafolio
Para la acción Growth el cálculo es similar:
Corr(RGrowth, RPortafolio) =
Cov(RGrowth,RPortafolio)
σGrowth×σPortfolio =
Cov(RGrowth,0,5RGrowth+0,5RGrowth)
σV alue×σPortfolio =
0,5Cov(RGrowth,RGrowth)
σGrowth×σPortfolio
Por lo tanto concluimos que: Corr(RGrowth, RPortafolio) =
0,5×σGrowth
σportafolio
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Nombre: Número lista:
(Continuación respuesta 4)
Ahora reemplazamos estas correlaciones en nuestra expresión para calcular el ratio recompensa/riesgo marginal
respecto de nuestro portafolio riesgoso actual:
E(RV alue)−Rf
Corr(RV alue, RPortafolio)× σV alue
=
E(RV alue)−Rf
0,5×σV alue
σportafolio
× σV alue
=
4 %− 5 %
0,5×0,102√
0,025
= −0,3162 < 0,1581 = Sp
E(RGrowth)−Rf
Corr(RGrowth, RPortafolio)× σGrowth
=
E(RGrowth)−Rf
0,5×σGrowth
σportafolio
× σGrowth
=
11 %− 5 %
0,5×0,302√
0,025
= 0,2108 > 0,1581 = Sp
Por lo tanto concluimos que como el Sharpe ratio de la parte riesgosa del portafolio actual es distinto de los
ratios recompensa/riesgo marginal respecto de nuestro portafolio riesgoso actual para cada acción por separado,
el portafolio actual no es eficiente en el sentido media varianza.
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Nombre: Número lista:
(b)[5 puntos] Haga una recomendación sobre la posibilidad de cambiar los pesos del portafolio en cada una
de las acciones en caso de que usted considere que este fuera apropiado. Es decir, cómo debieran ajustarse los
pesos en la acción Growth y acción Value. Al responder esta pregunta asuma que el fondo mutuo puede libremente
cambiar el porcentaje de su portafolio invertido en el activo libre de riesgo para alcanzar cualquier volatilidad
deseada.
La posición del fondo en la acción Growth debiera (aumentar/disminuir/mantenerse) Aumentar
La posición del fondo en la acción Value debiera (aumentar/disminuir/mantenerse) Disminuir
Explique su respuesta. Muestre todo su trabajo:
Todos los cálculos necesarios ya fueron hechos en la parte (a). Encontramos que el ratio recompensa/riesgo
marginal respecto de nuestro portafolio riesgoso actual para la acción Growth era mayor que el Sharpe ratio de la
parte riesgosa del portafolio actual por lo que la recomendación debiera ser aumentar el porcentaje invertido del
portafolio en esa acción.
De igual manera en (a) encontramos que el ratio recompensa/riesgo marginal respecto de nuestro portafolio
riesgoso actual para la acción Value era menor que el Sharpe ratio de la parte riesgosa del portafolio actual por
lo que la recomendación debiera ser disminuir el porcentaje invertido del portafolio en esa acción.
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Nombre: Número lista:
(c)[10 puntos] ¿Un portafolio eficiente en el sentido media-varianza debiera tener una posición corta (peso
negativo), larga (peso positivo) o nula (peso igual a cero) en cada una de estas acciones?
Un portafolio eficiente en el sentido media-varianza debiera tener una
posición corta/larga/nula en la acción Growth: larga
Un portafolio eficiente en el sentido media-varianza debiera tener una
posición corta/larga/nula en la acción Value: corta
Explique su respuesta. Muestre todo su trabajo:
Una manera alternativa de expresar la misma pregunta es si el portafolio tangente tiene una posición larga o
corta en cada una de las acciones.
La pregunta se puede responder considerando un portafolio tangente que sólo contiene una de las dos acciones
y evaluar si al agregar un poco de la segunda acción mejoraŕıa el Sharpe ratio del portafolio. Si la respuesta es
que śı lo haŕıa, entonces queremos una posición larga en ese activo. En cambio, si agregar un poco de la segunda
acción empeoraŕıa el portafolio, entonces queremos una posición corta en la segunda acción.
Imaginemos primero que el portafolio tangente sólo incluye a la acción Value. En este caso la correlación
entre la acción Growth y el portafolio es cero, porque las acciones tiene correlación cero. Reemplazando en nuestra
fórmula para el retorno requerido:
E(RGrowth) = Rf +
Corr(RGrowth, RP )× σGrowth
σP
× (E(RP )−Rf ) = Rf + 0 = Rf
Por lo tanto el retorno requerido para la acción Growth es simplemente el retorno libre de riesgo Rf , ya que
Corr(RGrowth, RP = 0.
Ahora hacemos lo mismo para evaluar el retorno esperado de la acción Value relativo a un portafolio que sólo
tiene acción Growth. La correlación entre la acción Value y este nuevo portafolio será también de cero:
E(RV alue) = Rf +
Corr(RV alue, RP )× σV alue
σP
× (E(RP )−Rf ) = Rf + 0 = Rf
Por lo tanto el retorno requerido para la acción Value es simplemente el retorno libre de riesgo Rf , ya que
Corr(RV alue, RP = 0.
Finalmente comparamos los retornos requeridos (Rf en ambos casos) con los retornos esperados:
El retorno esperado de la acción Growth es 11 % mayor a la tasa libre de riesgo (5 %), por lo que el portafolio
óptimo debe tener una posición larga en la acción Growth.
El retorno esperado de la acción Value es 4 % menor a la tasa libre de riesgo (5 %), por lo que el portafolio
óptimo debe tener una posición corta en la acción Value.
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