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Ayudantia 1 I 2013

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Administración
Ayudantía 1 - Finanzas I (A220B)
Primer Semestre de 2013
Profesor: Julio Riutort
(1) Arbitraje y activos de Arrow-Debreu
Suponga que en t = 1 existen 2 estados de la naturaleza (Si; i = 1, 2) y la matriz de pagos es la siguiente:
Pagos S1 S2 Precio en t = 0
Activo 1 1 1 0.9
Activo 2 1 2 1.5
a) Encuentre los precios de los activos de Arrow-Debreu (AD) en este mercado.
b) Encuentre la tasa de interés en este mercado
Suponga que se introduce al mercado un tercer activo con pagos (0.1; 1) cuyo precio es 0.85 en t = 0.
c) Calcule los precios de AD que se pueden derivar de los activos 1 y 3. Comparar estos precios con los
de (b) e interprete.
d) Cree un portafolio que le permita explotar las oportunidades de arbitraje si estas existen.
Suponga ahora que en t = 1 existen 3 estados de la naturaleza (Si; i = 1, 2, 3) y la matriz de pagos es la
siguiente:
Pagos S1 S2 S3 Precio en t = 0
Activo 1 1 1 1 0.9
Activo 2 1 2 3 1.55
e) Complete este mercado usando una opción Call sobre el activo 2.
(2) Arbitraje y activos de Arrow Debreu
Considere una economía de dos períodos similar a la que vimos en clase. Las dotaciones de los agentes
son las siguientes:
Agente w0 w1 w2
1 10 1 5
2 5 4 6
Los agentes tienen la siguiente función de utilidad: U (c0, cs) = c1 + E [ln (cs)], y las propabilidades de
los estados son prob (s1) = 13 = 1− prob (s2) .
Obtenga el precio de los activos Arrow-Debreu (en término de consumo en t = 0) y calcule el valor hoy
de la dotación t = 0 del agente 2.
(3) Completar mercados dinámicamente
La idea de este ejercicio es entender cómo se puede completar un mercado con secuencias de transacciones
en activos de corta duración.
Suponga que los estados del mundo se definen al tirar una moneda. En t = 1 hay dos estados posibles:
cara y sello. Se vuelve a tirar la moneda en t = 2 y por lo tanto hay 3 estados (o “historias”) posibles al
final de este período: que hayan salido hasta el momento 2, 1 ó 0 caras. En cada período hay dos activos: el
activo “cara”cuesta $0.50 y paga $1 si sale una cara o $0 si sale sello. El activo “sello”cuesta $0.50 y paga
$1 si sale sello o $0 de lo contrario.
1
a) Construya un portafolio con los activos “cara” y “sello” que pague $1 si y sólo si salen 2 caras.
Calcule el precio de este portafolio. En t = 2 hay tres estados de la naturaleza y se pide aquí construir el
activo Arrow-Debreu que paga en uno de esos estados (el estado “2 caras”). Existen otros dos activos de
Arrow-Debreu que se usarán en la pregunta que sigue.
b) Suponga que existe una opción Call que expira en t = 2 con precio de ejercicio (K) $0.5 y que está
escrita sobre el número de caras. Formalmente, este activo paga max(C−K) donde C es el número de caras
(2, 1 ó 0 caras). Por ejemplo, cuando salen dos caras la opción paga $1.50. ¿De acuerdo a la ausencia de
arbitraje, qué precio tiene la opción en t = 0? (Pista: replique los pagos de la opción usando los activos de
Arrow-Debreu obtenidos en (a)).
c) Muestre una estrategia de inversión con los activos “cara”y “sello”que replique los pagos de la opción.
d) Suponga que la moneda que se tira está cargada y que en realidad la probabilidad de que salga cara
es 2/3 en vez de 1/2. Sin embargo, los precios y pagos de los activos “cara”y “sello”no cambian. Recalcule
el precio de la opción.
(4) Activos de Arrow Debreu
a) Usted observa los siguientes activos con sus correspondientes pagos dependientes del estado:
Activos
Estados
 3 7 81 2 9
7 16 25

¿Es este mercado completo?
b) ¿Es la siguiente estructura completa?
Activos
Estados

1 5 12
3 6 14
12 7 16
15 8 20

Si el mercado no es completo, intruduzca un activo derivado que lo complete.
2

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