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Fundamentos de Direccin de Empresas
EAA200B
Segundo Semestre 2017
Ayudant́ıa 5
Ayudante Jefe:
Pablo Valenzuela (pdvalenzuela@uc.cl)
Ejercicio 1
Considere un duopolio en el que las empresas, 1 y 2, compiten en cantidades. La
función de demanda es Q(p) = 1−p y el costo marginal de la empresa i ∈ {1, 2}
es c ∈ (0, 1).
(a) Calcule el equilibrio de Nash perfecto en los subjuegos del siguiente juego
de dos etapas: en la primera etapa, la empresa 1 elige su cantidad de producción;
en la segunda etapa, la empresa 2 observa tal cantidad y elige la suya propia.
(b) Compare los pagos de equilibrio con los que resultan cuando ambas
empresas mueven simultáneamente.
Solución:
El juego se resuelve por inducción hacia atrás. Existen infinitos subjuegos,
uno por cada cantidad que puede elegir la empresa 1. Para resolver la segunda
etapa, denotaremos por q1 la cantidad elegida por la empresa 1 en la primera
etapa. Cuando la segunda etapa comienza, esta cantidad es un parámetro. Aśı
que q1 parametriza todos los subjuegos posibles que comienzan en la segunda
etapa.
En equilibrio, la empresa 2 debe maximizar
π2(q2, q1) = q2(1− q1 − q2 − c)
con respecto a q2 tomando q1 como dada. La condición de primer orden brinda
que
1− c− q1 − 2q2 = 0,
aśı que su función de reacción es
qR2 (q1) =
1− c− q1
2
.
Sabemos ahora cómo la empresa 2 reacciona óptimamente a las elecciones
de la empresa 1 en la primera etapa, aśı que procedemos a la primera etapa. En
la primera etapa, la empresa 1 maximiza
π1(p1, q
R
2 (q1)) = q1[1− q1 − qR2 (q1)− c]
= q1(
1− c− q1
2
)
con respecto a q1. Nótese que la empresa 1 puede de hecho elegir cualquier
punto que desee a lo largo de la función de reacción de la empresa 2. En
1
relación al juego en que mueven simultáneamente, la empresa 1 mejorará su
rentabilidad haciendo la competencia más dura al aumentar su producción.
Como dqR2 (q1)/dq1 < 0 (sustituibilidad estratégica), la empresa 2 tendrá que
reducir su producción para hacer la demanda más inelástica.
La condición de primer orden es
1− c− 2q1
2
= 0,
aśı que
q∗1 =
1− c
2
.
De ah́ı es fácil ver que
q∗2 =
1− c
4
.
El precio de mercado es
p∗ =
1 + 3c
4
,
aśı que los beneficios son
π∗1 =
(1− c)2
8
y
π∗2 =
(1− c)2
16
.
(b) Se demostró en clase que los beneficios de las empresas cuando juegan a
la vez son
π∗∗1 = π
∗∗
2 =
(1− c)2
9
.
Se cumple que π∗2 = (1 − c)2/16 < (1 − c)2/9 = π∗∗1 = π∗∗2 < (1 − c)2/8 = π∗1 .
Como se afirmó antes, la fijación de cantidades de una forma secuencial hace a
la empresa 1 un competidor más duro de modo que aumenta su rentabilidad y
daña la de su rival.
1 Ejercicio 2
Dos empresas i ∈ {1, 2} enfrentan una demanda qi(pi, pj) = 1−pi+δpj , donde qi
es la cantidad vendida por la empresa i, pi es su precio, pj es el precio de la otra
empresa, y δ ∈ [0, 1] es un parámetro que indica la relación entre los productos
de las dos empresas. Suponga que el costo de producción de la empresa i es cqi,
con c < 1.
(a) Calcule el equilibrio de Nash perfecto en los subjuegos del siguiente juego
de dos etapas: en la primera etapa, la empresa 1 elige su precio; en la segunda
etapa, la empresa 2 observa el precio de su rival y elige el propio.
(b) Para el caso de δ = 1, compare los pagos de equilibrio con los que resultan
cuando ambas empresas mueven simultáneamente.
2
Solución:
(a) El juego se resuelve por inducción hacia atrás. Existen infinitos sub-
juegos, uno por cada precio posible de la empresa 1. Para resolver la segunda
etapa, denotaremos por p1 el precio elegido por la empresa 1 en la primera
etapa. Cuando la segunda etapa comienza, este precio es un parámetro. Aśı
que p1 parametriza todos los subjuegos posibles que comienzan en la segunda
etapa.
En equilibrio, la empresa 2 debe maximizar
π2(p2, p1) = (p2 − c)(1− p2 + δp1)
con respecto a p2 tomando p1 como dado. La condición de primer orden brinda
que
1 + c− 2p2 + δp1 = 0,
aśı que su función de reacción es
pR2 (p1) =
1 + c+ δp1
2
.
Sabemos cómo la empresa 2 reacciona óptimamente a las elecciones de la
empresa 1 en la primera etapa, aśı que procedemos a la primera etapa. En la
primera etapa, la empresa 1 maximiza
π1(p1, p
R
2 (p1)) = (p1 − c)[1− p1 + δpR2 (p1)]
= (p1 − c)[1− p1 +
δ(1 + c+ δp1)
2
]
con respecto a p1. Nótese que la empresa 1 puede de hecho elegir cualquier
punto que desee a lo largo de la función de reacción de la empresa 2. En
relación al juego en que mueven simultáneamente, la empresa 1 mejorará su
rentabilidad haciendo la competencia más suave al aumentar su precio. Como
dpR2 (p1)/dp1 > 0 (complementariedad estratégica), la empresa 2 reaccionará
aumentando su precio.
La condición de primer orden es
1− p1 +
δ(1 + c+ δp1)
2
− (p1 − c)(1−
δ2
2
) = 0,
aśı que
p∗1 =
2 + δ + c(1 + δ)(2− δ)
2(2− δ2)
.
De ah́ı es fácil ver que
p∗2 =
(4 + 2δ − δ2) + (4 + 2δ − δ2 − δ3)c
4(2− δ2)
.
Las ventas son iguales a
q∗1 =
(2 + δ)[1− c(1− δ)]
4
3
y
q∗2 =
(4 + 2δ − δ2)[1− c(1− δ)]
4(2− δ2)
,
aśı que los beneficios son
π∗1 =
(2 + δ)2[1− c(1− δ)]2
8(2− δ2)
y
π∗2 =
(4 + 2δ − δ2)2[1− c(1− δ)]2
16(2− δ2)2
.
(b) Es fácil demostrar que los los beneficios de las empresas cuando juegan
a la vez son
π∗∗1 = π
∗∗
2 =
[
1− (1− δ)c
2− δ
]2
.
Cuando δ = 1, se cumple que π∗2 = 25/16 > π
∗
1 = 9/8 > 1/4 = π
∗∗
1 = π
∗∗
2 .
Como se afirmó antes, la fijación de precios de una forma secuencial suaviza la
competencia y aumenta las rentabilidades de todas las empresas. Esto es cierto
para cualquier δ ∈ (0, 1).
Ejercicio 3
Dos empresas 1 y 2 pueden realizar una innovación que les permitiŕıa reducir su
costo marginal de producción. En concreto, la empresa i ∈ {1, 2} puede tener el
costo marginal ci si incurre en un costo de innovación igual a k(ci) = γ(
1
2 −ci)
2,
donde γ es un parámetro mayor que 49 . La interacción entre ambas empresas
es la siguiente. En una primera etapa, cada empresa elige ci con el objeto
de maximizar el beneficio obtenido en el mercado descontados los costos de
innovación. En una segunda etapa, cada empresa compite a la Cournot (es decir,
elige qi) con un costo de producción Ci(qi) = ci qi (con ci dado por las elecciones
de la primera etapa), y una función inversa de demanda p(q1+q2) = 1−(q1+q2).
El costo marginal es constante (e igual al costo variable medio) y no hay otros
costos fijos más que el costo de innovación. El pago de la empresa i al finalizar
el juego es [p(q1 + q2) − ci]qi − γ( 12 − ci)
2. Como es habitual, el concepto de
solución es equilibrio de Nash perfecto en los subjuegos.
(a) Halle el equilibrio de Nash de la segunda etapa en función de c1 y c2.
(b) Yendo ahora a la primera etapa, halle el único equilibrio simétrico del
juego, demostrando que el costo marginal que cada empresa elige es positivo
pero no mayor que 12 .
Solución:
(a) El juego se resuelve por inducción hacia atrás. Existen infinitos subjue-
gos, uno para cada par posible de costos marginales, (c1, c2). Si el par (c1, c2)
parametriza los subjuegos de la segunda etapa, la empresa i elige qi con el fin
de maximizar [p(q1 + q2)− ci]qi − γ( 12 − ci)
2, aśı que las condiciones de primer
orden son
1− 2q1 − q2 − c1 = 0
4
y
1− q1 − 2q2 − c2 = 0.
Resolviendo este sistema de ecuaciones brinda que
q∗1 =
1− 2c1 + c2
3
y
q∗2 =
1− 2c2 + c1
3
.
(b) Por tanto, el beneficio de la empresa 1 en función de c1 y c2 es
π∗1(c1, c2) =
(
1− 2c1 + c2
3
)2
− γ
(
1
2
− c1
)2
,
mientras que el de la empresa 2 es
π∗2(c2, c1) =
(
1− 2c2 + c1
3
)2
− γ
(
1
2
− c2
)2
.
En la primera etapa, la empresa 1 elige c1 para maximizar π
∗
1(c1, c2) tomando
c2 como dado, aśı que la condición de primer orden brinda que
2γ
(
1
2
− c1
)
− 4(1− 2c1 + c2)
9
= 0.
Como d2π∗1(c1, c2)/dc
2
1 = 2(4/9− γ) < 0, tal condición no sólo es necesaria sino
también suficiente, aśı que usando la restricción de que el equilibrio debe ser
simétrico (esto es, c1 = c2 = c
∗) en la condición de primer orden da la siguiente
elección de costomarginal en equilibrio:
c∗ =
9γ − 4
2(9γ − 2)
∈ (0, 1/2).
5