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Fundamentos de Direccin de Empresas
EAA200B
Segundo Semestre 2017
Ayudant́ıa 7
Ayudante Jefe:
Pablo Valenzuela (pdvalenzuela@uc.cl)
Ejercicio 1
Considere el modelo de relaciones verticales visto en clase. Suponga que la
empresa 2 no sólo elige el precio p2 que debe pagar 1 por cada insumo que
compre, sino también una tarifa fija f que 1 debe pagar independientemente
de cuanto compre (1 puede evitar pagar f no comprando nada). Determine
si el que la empresa 2 use una tarifa fija supone una mayor amenaza para los
beneficios de la 1 que cuando no la emplea.
Solución:
La inducción hacia atrás requiere que comencemos por la segunda etapa.
Considere los subjuegos (genéricos) en que la empresa 2 ofreció p2 and f . Si la
empresa 1 elige no pagar f , entonces gana 0. Si paga f , entonces elige p1 para
maximizar π1(p1) = (p1 − p2)q(p1) − f . Como f es una constante, la solución
debe coincider con la dada en clase. Aśı, la condición de primer orden brinda
que
1 + p2 − 2p1 = 0,
de donde se obtiene que el precio del producto final como función de p2 es
p∗1(p2) =
1 + p2
2
,
una función creciente.
Dado p2, la cantidad vendida por la empresa 1 es igual a
q∗1(p2) = 1− p∗1(p2) =
1− p2
2
.
Como la empresa 1 necesita una unidad del insumo del proveedor por cada
unidad que vende, q∗1(p2) da la demanda de insumos de la empresa 1. Los
beneficios de tal empresa son
π∗1(p2, f) = [p
∗
1(p2)− p2]q∗1(p2)− f =
(
1− p2
2
)2
− f .
Se cumple que π∗1(p2, f) ≥ 0 si y sólo si
f ≤ (1− p2)2 /4.
1
Claramente, no tiene sentido que la empresa 2 cargue f > (1− p2)2 /4, aśı
que, en la primera etapa, la empresa 2 elige p2 y f para maximizar
π2(p2, f) = (p2 − c)q∗1(p2) + f =
(p2 − c)(1− p2)
2
+ f
sujeto a la restricción de que f ≤ (1− p2)2 /4 (si se violara esta restricción,
la empresa 1 rehusaŕıa entonces la oferta de la empresa 2). Para cualquier
p2, π2(p2, f) crece con f , aśı que manteniendo p2 fijo, la empresa 2 subirá
f hasta que la restricción f ≤ (1− p2)2 /4 se cumple con igualdad, es decir,
f = (1− p2)2 /4 debe cumplirse en la solución óptima.
Por consiguiente, la empresa 2 debe elegir p2 para maximizar
(p2 − c)(1− p2)
2
+
(1− p2)2
4
=
(1 + p2 − 2c)(1− p2)
4
,
aśı que la condición de primer orden brinda que
1− p2 − 1− p2 + 2c
4
= 0.
Por tanto,
p∗2 = c
y aśı f∗ = (1− c)2 /4. La empresa 1 gana π∗1(p∗2, f∗) = 0, mientras que la
empresa 2 gana π∗2(p
∗
2, f
∗) = (1− c)2 /4. La empresa 2 evita el problema de
doble marginalización porque puede apropiarse de todo el beneficio generado
por las actividades de la cadena vertical a través de la tarifa fija. El permitir
que la empresa 2 compita con más instrumentos permite que ésta pueda dejar a
la empresa 1 sin beneficio, suponiendo una mayor amenaza que cuando no usa
la tarifa fija.
Ejercicio 2
Considere el modelo de relaciones verticales visto en clase, y suponga que
la empresa 1 dispone de n ≥ 2 proveedores incluyendo a la empresa 2. Todos
los proveedores son iguales que la empresa 2 y compiten a la Cournot. Como
la empresa presente en el mercado del producto final se denota por 1 y hay n
proveedores, se denotará un proveedor por el ı́ndice i ∈ {2, ..., n+1}. Encontrar
cuál es el precio de venta del insumo homogéneo en el único equilibrio de Nash
en los subjuegos, que es simétrico, aśı como el beneficio de la empresa 1. Discutir
qué pasa conforme n crece y en concreto cuando converge a infinito.
Solución:
Considérese un subjuego (genérico) en el que el proveedor i produjo qi en
la primera etapa, i ∈ {2, ..., n + 1}, aśı que la empresa 1 se enfrenta a un
precio de mercado p. En base a lo hecho en clase, se sabe que la empresa 1
carga p∗1(p) = (1 + p)/2 y vende q
∗
1(p) = 1 − p∗1(p) = (1 − p)/2 para ganar
π∗1(p) = (1− p)
2
/4. Como la cantidad demandada por la empresa 1 debe
ser igual a la cantidad que proveen todos los proveedores, debe cumplirse que
(1−p)/2 =
∑n+1
i=2 qi, aśı que la función inversa de demanda a la que se enfrentan
2
los proveedores es p(Q) = 1 − 2Q, donde Q =
∑n+1
i=2 qi es la cantidad total de
producción de los proveedores.
En la primera etapa, buscamos un equilibrio simétrico, aśı que podemos
elegir cualquier proveedor, digamos que el 2. Entonces tenemos que el proveedor
2 elige q2 para maximizar [1 − 2(q2 +
∑n+1
i=3 qi) − c]q2, aśı que la condición de
primer orden es
1− c− 4q2 − 2
n+1∑
i=3
qi = 0.
Si el proveedor i ∈ {2, ..., n + 1} produce q∗ debido a la simetŕıa, entonces∑n+1
i=3 qi = (n− 1)q∗ y q2 = q∗ implican que
q∗ =
1− c
2(n+ 1)
,
aśı que
p∗ = 1− 2nq∗ = nc+ 1
n+ 1
= 1− n(1− c)
n+ 1
.
Se cumple entonces que la empresa 1 gana
π∗1(p
∗) =
(
(1− c)n
2(n+ 1)
)2
.
Hagamos expĺıcito que el precio de equilibrio y el beneficio de la empresa 1
son funciones de n escribiendo
p∗(n) = 1− 1− c
1 + 1n
y
π∗1(n) =
(
1− c
2(1 + 1n )
)2
.
Claramente, p∗(n) decrece con n y π∗1(n) crece con n, con limn→∞ p
∗(n) = c
y limn→∞ π
∗
1(n) = (1− c)
2
/4. La empresa 1 se beneficia de una competencia
directa más intensa entre proveedores conforme n crece; conforme n → ∞,
hay competencia perfecta entre los proveedores, y la empresa 1 se apropia del
beneficio de monopolio que se genera por las actividades de la cadena vertical.
Ejercicio 3
Considere los modelos de competencia con proveedores o productores de
complementos perfectos vistos en clase. Suponga que la empresa 2 no tiene
costos de producción en el modelo de relaciones verticales, y compare los re-
sultados de este modelo con el de productores de complementos perfectos bajo
el supuesto de que la empresa 1 elige su precio una vez ha observado el precio
de la empresa 2. Saque conclusiones sobre doble marginalización en el modelo
de complementos perfectos. En base a estos resultados, discuta similitudes y
diferencias entre competencia indirecta con proveedores y con productores de
complementos perfectos.
3
Solución:
En el modelo de relaciones verticales, cuando la empresa 2 no tiene costos
marginales de producción (esto es, c = 0), se mostró en clase que carga un precio
por el insumo igual a p∗2 = 1/2 aśı que la empresa 1 acaba cargando p
∗
1 = 3/4.
Procedemos a mostrar que conceptualmente no hay diferencia entre esta
relación de suministro y la que surgiŕıa en el modelo en el que dos complemen-
tadores compiten si se les dejara fijar precios secuencialmente. Aśı que consider-
emos este último modelo y asumamos que la empresa 1 elige su precio una vez la
empresa 2 ha decidido su propio precio. A primera vista, esta situación muestra
algunas similitudes con una relación de suministro, pero parece haber también
algunos diferencias. Veremos ahora que no hay diferencias fundamentales y el
mismo problema de doble marginalización aparece en ambos.
Para demostrar esto, nótese que la empresa 1 toma p2 como dado que esté
efectivamente eligiendo el precio del paquete que consiste en una unidad de
hardware y una unidad de software. Denotando por p el precio de tal paquete,
se debe cumplir que p− p2 es el precio del producto de la empresa 1, aśı que la
empresa 1 elige p para maximizar (p−p2)q(p). Una vez que hemos redefinido el
problema de la empresa 1 de esta manera, cabe observar que este es el mismo
problema que la empresa cliente estaba resolviendo en el modelo de relaciones
verticales, aśı que
p∗(p2) =
1 + p2
2
y q(p∗(p2)) = (1− p2)/2.
Por tanto, la empresa 2 elige p2 para maximizar
p2q(p
∗(p2)) =
p2(1− p2)
2
,
el cual es exactamente el mismo problema que resolv́ıa el proveedor, aśı que se
cumple que
p∗2 =
1
2
.
De ah́ı se cumple que el precio del paquete es igual a p∗(p∗2) = 3/4 y sus ventas
son iguales a q(p∗(p∗2)) = 1/4, con el precio de la empresa 1 igual a p
∗(p∗2)−p∗2 =
1/4. La empresa 2 gana π∗2 = 1/8 y la empresa 1 gana π
∗
1 = 1/16.
Para resumir, hemos obtenido exactamente los mismos resultados que en una
relación vertical: los dos productores de bienes perfectamente complementarios
soportan la misma doble marginalización que un proveedor que monopoliza a
una empresacliente. El punto es que el precio cargado por la empresa 2 actúa
como un costo marginal para la otra empresa que se preocupa por el precio que
en realidad pagan los consumidores por ambos bienes complementarios.
Si uno se inclina por creer que los dos productores de bienes perfectamente
complementarios eligen precios a la vez, entonces la conclusión es que la única
diferencia fundamental entre una relación a lo largo de la cadena vertical y la
relación entre dos productores de bienes perfectamente complementarios se re-
fiere a la secuencia temporal de las acciones. Otra divergencia potencial es que
4
una empresa transa con su proveedor, mientras que no transa con un comple-
mentador. En consecuencia, contratos que podŕıan resolver la doble marginal-
ización en transacciones verticales no están disponibles en relaciones entre dos
productores de bienes perfectamente complementarios.
5