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Fundamentos de Direccin de Empresas EAA200B Segundo Semestre 2017 Ayudant́ıa 6 Ayudante Jefe: Pablo Valenzuela (pdvalenzuela@uc.cl) Ejercicio 1 Considere un mercado con demanda Q(p) = 1 − p. Si producir no cuesta nada, encuentre el factor de descuento cŕıtico δ̂ para mantener un acuerdo colusivo con estrategias de gatillo cuando n ≥ 2 empresas compiten a la Bertrand. Demostrar que δ̂ aumenta a medida que n aumenta, y encontrar los dos motivos por los que es más dif́ıcil coludir cuando n aumenta. Solución: Nótese que el precio monopólico pm se obtiene de maximizar (1 − p)p con respecto a p, por lo que se cumple que pm = 1/2. Las estrategias de gatillo son entonces: “Fijar precio igual al monopólico si ninguna empresa en el pasado fijó un precio distinto; en caso contrario, fijar precio igual al costo marginal (que es 0 en este caso)”. En los subjuegos en que alguien se desvió en el pasado de fijar pm = 1/2, las estrategias prescriben que se fije precio igual a 0. Está claro que ninguna empresa gana nada desviándose de tal precio si las demás van a fijar siempre un precio igual a 0, por lo que las estrategias de gatillo inducen un equilibrio de Nash en tales subjuegos. Prestemos ahora atención a los subjuegos que restan, o sea, los subjuegos en que ninguna empresa fijó un precio distinto de pm = 1/2 en el pasado. Consideremos los incentivos de una empresa a desviarse unilateralmente en el peŕıodo t = 0, 1, ... de lo que prescribe su estrategia del gatillo, sabiendo que las demás fijan pm = 1/2 en t y un precio igual a 0 a partir del siguiente peŕıodo. Dado que los productos son homogéneos y la capacidad es ilimitada, la desviación óptima en el peŕıodo t es limε→0(p m − ε) > 0 (notar que el costo marginal es nulo), por lo que los beneficios totales de desviarse en el peŕıodo actual son lim ε→0 (pm − ε)(1 − (pm − ε)) + ∞∑ t′=t+1 0δ(t ′−t), es decir, aproximadamente 14 . En caso de no desviarse, la empresa fija p m al igual que el resto, vende 1 − pm n = 1 2n y por tanto gana en cada peŕıodo: ∞∑ t′=t 1 4n δ(t ′−t) = ∞∑ s=0 1 4n δs = 1 4n(1 − δ) . 1 Como (pm − ε)(1 − (pm − ε)) < 1/4 para cualquier ε > 0 arbitrariamente pequeño, necesitamos que 1 4n(1 − δ) ≥ 1 4 , esto es, δ ≥ n− 1 n , por lo que δ̂ = n− 1 n , el cual crece con n. Lo que ocurre es que la empresa que se desv́ıa gana 1 4 − 1 4n = n− 1 4n en el peŕıodo en que se desv́ıa y deja de ganar ∞∑ t′=t+1 ( 1 4n − 0)δ(t ′−t) = ∞∑ s=1 ( 1 4n − 0)δs = δ 4n(1 − δ) en el futuro. Aumentar n hace que la tentación de desviarse aumente (puesto que n− 1 4n aumenta con n) y que sea más dif́ıcil castigar la desviación (puesto que δ 4n(1 − δ) aumenta con n). La colusión se hace más dif́ıcil conforme n crece porque la tentación de desviarse aumenta a mayor número de empresas que se reparten el beneficio monopólico, y a la vez disminuye lo que pierde una empresa que se desv́ıa. Ejercicio 2 Considere un mercado con demanda Q(p) = 1 − p. Si producir no cuesta nada, encuentre el factor de descuento cŕıtico δ̂ para mantener un acuerdo colusivo con estrategias de gatillo cuando n ≥ 2 empresas compiten a la Cournot. Demostrar que δ̂ aumenta a medida que n aumenta, y encontrar los dos motivos por los que es más dif́ıcil coludir cuando n aumenta. Solución: Nótese que para sostener el precio monopólico pm = 1/2, cada una de las n empresas debeŕıa producir qm = 1 2n . Además, la cantidad que produce cada empresa en un equilibrio de Nash es q∗ = 1 n+ 1 .1 Las estrategias de gatillo son entonces: “Producir una cantidad igual a qm si ninguna empresa en el pasado 1Aśı, si la empresa 1 elige q1 para maximizar (1− q1− ∑n i=1 qi)q1, su condición de primer orden da que 1−2q1− ∑n i=1 qi = 0, por lo que usando simetŕıa (qi = q para todo i ∈ {1, ..., n}), obtenemos que 1 − 2q − (n − 1)q = 0, por lo que cada empresa efectivamente produce q = 1/(n + 1). 2 produjo una cantidad distinta; en caso contrario, producir una cantidad igual a q∗”. En los subjuegos en que alguien se desvió en el pasado de producir qm, las estrategias prescriben que se produzca q∗. Está claro que ninguna empresa gana nada desviándose de tal cantidad si las demás van a producir siempre q∗, por lo que las estrategias de gatillo inducen un equilibrio de Nash en tales subjuegos. Prestemos ahora atención a los subjuegos que restan, o sea, los subjuegos en que ninguna empresa produjo una cantidad distinta de qm en el pasado. Consid- eremos los incentivos de una empresa (digamos que la 1, pues son todas iguales) a desviarse unilateralmente en el peŕıodo t = 0, 1, ... de lo que prescribe su es- trategia del gatillo, sabiendo que las demás producen qm en t y q∗ a partir del siguiente peŕıodo. La desviación óptima en el peŕıodo t se obtiene de maximizar (1 − q1 − (n − 1)qm)q1 con respecto a q1. Como la condición de primer orden es 1 − 2q1 − (n − 1)qm = 0, la desviación óptima implica producir n+ 1 4n para aśı ganar (n+ 1)2 16n2 en este peŕıodo y ganar 1 (n+ 1)2 a partir de los siguientes, o sea, (n+ 1)2 16n2 + ∞∑ t′=t+1 1 (n+ 1)2 δ(t ′−t) = (n+ 1)2 16n2 + δ (1 − δ)(n+ 1)2 . En caso de no desviarse, la empresa produce qm = 1 2n al igual que el resto a un precio pm = 1 2 y por tanto gana en cada peŕıodo: ∞∑ t′=t 1 4n δ(t ′−t) = ∞∑ s=0 1 4n δs = 1 4n(1 − δ) . Necesitamos por tanto que (n+ 1)2 16n2 + δ (1 − δ)(n+ 1)2 ≤ 1 4n(1 − δ) , esto es, δ ≥ 2n+ n 2 + 1 6n+ n2 + 1 , por lo que δ̂ = 1 − 4n 6n+ n2 + 1 , el cual crece con n porque dδ̂ dn = 4(n2 − 1) (n2 + 6n+ 1)2 > 0. Nuevamente, la tentación de desviarse aumenta a mayor número de empresas que se reparten el beneficio monopólico, y a la vez disminuye lo que pierde una empresa que se desv́ıa. 3 Ejercicio 3 Considere un mercado con demanda Q(p) = 1 − p. Si producir no cuesta nada, encuentre el factor de descuento cŕıtico δ̂ para mantener un acuerdo colusivo con estrategias de gatillo cuando 2 empresas compiten a la Bertrand, bajo el supuesto de que el mercado sólo opera en los peŕıodos pares. Demostrar que δ̂ es mayor que cuando el mercado opera en todos los peŕıodos, y sacar conclu- siones sobre cómo la colusión depende de la frecuencia con que interactúan las empresas. Solución: Como siempre, las estrategias de gatillo inducen un equilibrio de Nash en los subjuegos en que al menos una empresa se desvió en el pasado de fijar pm = 1/2. En los subjuegos en que ninguna empresa se desvió en el pasado de fijar pm = 1/2, los beneficios totales de desviarse en el peŕıodo actual son lim ε→0 (pm − ε)(1 − (pm − ε)) + ∞∑ t′=t+1 0δ2(t ′−t), es decir, aproximadamente 14 . En caso de no desviarse, la empresa fija p m al igual que la otra, vende 1 − pm 2 = 1 4 y por tanto gana en cada peŕıodo: ∞∑ t′=t 1 8 δ2(t ′−t) = ∞∑ s=0 1 8 (δ2)s = 1 8(1 − δ2) . Se observa que el juego es igual al del ejercicio 1 cuando n = 2 y el factor de descuento se reemplaza por su cuadrado (que es un número menor porque el factor de descuento es inferior a 1), por lo que una ya puede ver aqúı que el que el mercado opere más infrecuentemente hará la colusión más dif́ıcil. En cualquier caso, continuamos con el análisis formal. Para que no haya incentivos a desviarse, debe cumplirse que 1 8(1 − δ2) ≥ 1 4 , por lo que ̂̂ δ = √ 1 2 > 1 2 = δ̂. Tal y como se comentó, la infrecuencia de las transacciones dificulta la colusión. El motivo es que no pueden castigarse tan rápidamente las desviaciones. 4
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