Ayudantía 8 Resolución Ayudante

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Ayudantía 8 1
Ayudantía 8
1. Relación estratégica
Dos empresas, 1 y 2, compiten para desarrollar el mismo producto nuevo y, finalmente, 
participan en una competencia en cantidades. La empresa 1 considera invertir una cantidad 
en R&D para desarrollar el producto, mientras que la empresa 2 considera invertir 
en el desarrollo del producto nuevo. Las empresas enfrentan a la siguiente demanda inversa 
(esperada) del nuevo producto:
Se espera que los costos marginales de producción de las dos empresas sean y , donde 
 Consideremos un escenario en el que la empresa 1 desarrolla primero el 
producto.
(a) Encuentre la mejor respuesta (o función de reacción) de la empresa 2 en función de la 
cantidad observada que la empresa 1 ofrece en el mercado.
El problema de maximización de beneficios de la empresa 2 es: 
La condición de primer orden es: 
R1 R2
p(q , q ) =1 2 1 − (q +1 q )2
c1 c2
1 > c >1 c >2 0.
q1
π
q2
max 2 = pq − c q2 2 2
= (1 − q − q )q − c q2 1 2 2 2
= q − (q ) − q q − c q2 2 2 1 2 2 2
Ayudantía 8 2
Esta expresión es la mejor respuesta de la empresa dos dada la cantidad que ofrece la 
empresa 1. 
(b) Encuentre la función de beneficios de la empresa 1 solo en términos de .
La función de beneficios esta dada por: 
(c) Defina el problema de maximización de beneficios de la empresa 1. Luego, encuentre la 
cantidad que maximiza los beneficios de la empresa 1 en términos de . ¿Cuál es el equilibrio 
[q ] :2 =∂q2
∂π2 0 ⇔ q − (q ) − q q − c q =
∂q2
∂
[ 2 2 2 1 2 2 2] 0
⇔ 1 − 2q −2 q −1 c =2 0 ⇒ q (q ) =2
∗
1 2
1 − q − c1 2
q1
π1 = pq − c q1 1 1
= (1 − q − q )q − c q2 1 1 1 1
= q − q q − (q ) − c q1 1 2 1 2 1 1
= q − q − (q ) − c q1 1 ( 2
1 − q − c1 2) 1 2 1 1
= q − + + − (q ) − c q1 2
q1
2
(q )1 2
2
c q2 1
1
2
1 1
= − + − c q
2
q1
2
(q )1 2
2
c q2 1
1 1
c
Ayudantía 8 3
de todo el juego?
La empresa 1 resuelve el problema de optimización: 
La condición de primer orden es: 
Luego, reemplazamos este resultado en la cantidad optima de la empresa 2: 
Por lo tanto, el equilibrio de todo el juego es: 
(d) ¿Cuál es el monto máximo, , que la empresa 1 esta dispuesta a invertir para ser la 
primera en ingresar al mercado? Explique su respuesta con palabras y no simplifique 
excesivamente la expresión matemática que representa su respuesta.
La cantidad máxima será igual a la diferencia entre los beneficios siendo la primera en 
actuar y los beneficios siendo la segunda en actuar . Matemáticamente, 
π =
q1
max 1 −2
q1 +
2
(q )1 2 −
2
c q2 1
c q1 1
[q ] :1 =∂q1
∂π1 0 ⇔ − + − c q =
∂q1
∂ [
2
q1
2
(q )1 2
2
c q2 1
1 1] 0
⇔ −
2
1
+
2
2q1 −
2
c2
c =1 0 ⇒ q =1
∗
2
1 − 2c + c1 2
q2
∗ = = =
2
1 − q − c1
∗
2
2
1 − − c( 2
1−2c +c1 2 ) 2
4
2 − (1 − 2c + c ) − 2c1 2 2
=
4
1 + 2c − 3c1 2
(q , q ) =1
∗
2
∗ ,(
2
1 − 2c + c1 2
4
1 + 2c − 3c1 2 )
R1
(π )1
1 (π )1
2
1 2
Ayudantía 8 4
Antes resolvimos el problema cuando la empresa 1 actúa primero. Los beneficios en esta 
situación se obtienen reemplazando la cantidad optima en su función de beneficios: 
Para obtener necesitamos resolver el caso en el que la empresa 2 se mueve primero y 
la empresa 1 se mueve segunda. Podemos notar que la solución de este caso será igual a 
la solución del caso anterior, pero con los subíndices cambiados. Esto es, los beneficios 
de la empresa 1 en el segundo caso serán iguales a los beneficios de la empresa 1 en el 
primer caso, pero cambiando los subíndices.
Los beneficios de la empresa 2 están dados por: 
R =1 π −1
1 π1
2
π1
1 = − + − c q
2
q1
∗
2
(q )1
∗ 2
2
c q2 1
∗
1 1
∗
= q + q − c1
∗ (
2
1 − q1
∗ ) 1∗ ( 2
c2
1)
= q + − c1
∗ (
2
1 − q1
∗
2
c2
1)
= q −1
∗ (
2
1 + c − 2c2 1
2
q1
∗)
= −(
2
1 − 2c + c1 2 )(
2
1 − 2c + c1 2
2
( 2
1−2c +c1 2 ))
π1
2
2 2
Ayudantía 8 5
Entonces, intercambiamos los subíndices para obtener los beneficios de la empresa 1 si 
esta actuara segunda:
Finalmente, la cantidad máxima que esta dispuesta a pagar será: 
donde 
2. Diferenciación vertical y competencia 
secuencial en precios
Dos empresas, 1 y 2, interactúan estratégicamente en tres etapas:
Etapa 1
π2
2 = q − (q ) − q q − c q2
∗
2
∗ 2
1
∗
2
∗
2 2
∗
= q (1 − q − c − q )2
∗
1
∗
2 2
∗
= 1 − − c −(
4
1 + 2c − 3c1 2 ) ( (
2
1 − 2c + c1 2 ) 2 ( 4
1 + 2c − 3c1 2 ))
π =1
2 1 − − c −(
4
1 + 2c − 3c2 1 ) ( (
2
1 − 2c + c2 1 ) 1 ( 4
1 + 2c − 3c2 1 ))
R =1 π −1
1 π2
2
π =1
1 −(
2
1 − 2c + c1 2 )(
2
1 − 2c + c1 2
2
( 2
1−2c +c1 2 ))
π =1
2 1 − − c −(
4
1 + 2c − 3c2 1 ) ( (
2
1 − 2c + c2 1 ) 1 ( 4
1 + 2c − 3c2 1 ))
Ayudantía 8 6
En la primera etapa, la empresa 1 elige la calidad del producto con el que ingresara en un 
mercado (hay entrada libre, es decir, sin costos de entrada).
El producto se puede producir en dos calidades diferentes, y , donde . 
Los costos de producción asociados son y , donde .
Etapa 2 
La empresa 2 observa la calidad del producto que la empresa 1 ha seleccionado y elige la 
calidad del producto con el que ella misma competir en el mercado. 
El producto se puede producir en dos calidades diferentes, y , donde . 
Los costos de producion asociados son y , donde .
Etapa 3 
En la tercera etapa, las empresas participan en una competencia en precios (competencia de 
Bertrand) en un mercado con consumidores, cada uno con una demanda unitaria. La 
empresa 1 elige y anuncia su precio primero, seguida de la empresa 2.
La preferencia por la calidad se distribuye uniformemente entre y , donde 
. 
La utilidad del consumidor es , donde .
Finalmente, el diferencial de costos de producir un producto de alta calidad no es demasiado 
alto: 
Este supuesto es técnico y asegura que ambas empresas operaran en la segunda etapa del 
mercado.
(a) Considere el caso en el que la empresa 1 elige y la empresa 2 elige . Encuentre los 
precios y los beneficios de las dos empresas en el equilibrio de la etapa 3.
Cada firma resuelve: 
sL sH 0 < s <L sH
cL cH 0 < c <L cH
sL sH 0 < s <L sH
cL cH 0 < c <L cH
N
x θ 1 + θ θ ∈
[0, 1]
U(s,p ) =k xs −k pk k = L,H
<
s − sH L
c − cH L 2 + θ
sH sL
Ayudantía 8 7
Para resolver necesitamos encontrar la demanda que enfrenta cada firma. 
Dados los precios, existirán personas que prefieren comprar el producto de alta calidad 
(empresa 1), y otros que prefieren comprar el de baja calidad (empresa 2). 
Matemáticamente,
Definimos una preferencia por calidad tal que el consumidor este indiferente entre 
ambos productos. Esto es, 
Entonces, las demandas están dadas por:
π =
pi
max i q (p −i i c )i
si xs −H p >1 0 ⇒ compra H;
si xs −L p >2 0 ⇒ compra L;
x
s −x L p =2 s −x H p1
⇔ =x
s − sH L
p − p1 2
Ayudantía 8 8
El problema de optimización de la empresa 2 es:
La condición de primer orden: 
q2
q1
= q = N ⋅ P(x < ) = N = N − θL x ( (1 + θ) − θ
− θx ) (
s − sH L
p − p1 2 )
= q = N ⋅ P(x > ) = N[1 − P(x < )] = N 1 − − θH x x [ (
s − sH L
p − p1 2 )]
= N 1 − − θ = N 1 + θ −[ (
s − sH L
p − p1 2 )] [ (
s − sH L
p − p1 2 )]
π
p2
max 2 = q (p − c )2 2 L
= N − θ (p − c )(
s − sH L
p − p1 2 ) 2 L
Ayudantía 8 9
El problema de optimización de la empresa 1 es: 
[p ] :2 = 0 ⇔ N − θ (p − c ) = 0∂p2
∂π2
∂p2
∂ [(
s − sH L
p − p1 2 ) 2 L ]
⇔ (p − c ) + − θ = 0(
s − sH L
−1 ) 2 L (
s − sH L
p − p1 2 )
⇔ + − θ = 0(
s − sH L
c − pL 2 ) (
s − sH L
p − p1 2 )
⇔ = θ
s − sH L
c + p − 2pL 1 2
⇔ c + p − 2p = θ(s − s )L 1 2 H L
⇒ p =2
∗
2
c + p − θ(s − s )L 1 H L
Ayudantía 8 10
La condición de primer orden: 
π
p1
max 1 = q (p − c )1 1 H
= N 1 + θ − (p − c )[ (
s − sH L
p − p1 2 )] 1 H
= N 1 + θ − (p − c )⎣
⎡
⎝
⎛
s − sH L
p −1 ( 2c +p −θ(s −s )L 1 H L )
⎠
⎞
⎦
⎤
1 H
= N 1 + θ − (p − c )[ (
2(s − s )H L
2p − c − p + θ(s − s )1 L 1 H L )] 1 H
= N 1 + θ − (p − c )[ (
2(s − s )H L
p − c + θ(s − s )1 L H L )] 1 H
Ayudantía 8 11
Reemplazando este resultado el : 
[p ] :1 = 0∂p1
∂π1
⇔ N 1 + θ − (p − c ) = 0
∂p1
∂ [( (
2(s − s )H L
p − c + θ(s − s )1 L H L )) 1 H ]
⇔ (p − c )(
2(s − s )H L
−1 ) 1 H
+ 1 + θ − = 0( (
2(s − s )H L
p − c+ θ(s − s )1 L H L ))
⇔ + 1 + θ − = 0
2(s − s )H L
c − pH 1 (
2(s − s )H L
p − c + θ(s − s )1 L H L )
⇔ = −1 − θ
2(s + s )H L
c − 2p + c − θ(s − s )H 1 L H L
⇔ c − 2p + c − θ(s − s ) = −2(s − s ) − 2θ(s − s )H 1 L H L H L H L
⇔ c + c − θ(s − s ) + 2(s − s ) + 2θ(s − s ) = 2pH L H L H L H L 1
⇔ c + c + 2(s − s ) + θ(s − s )H L H L H L
⇔ (s − s )(2 + θ) + c + c = 2pH L H L 1
⇒ p =1
∗
2
(s − s )(2 + θ) + c + cH L H L
p2
Ayudantía 8 12
Con los precios, podemos obtener la cantidad producida por cada empresa en equilibrio: 
Los beneficios de cada empresa en equilibrio son: 
p2
∗ =
2
c + p − θ(s − s )L 1 H L
=
2
c + − θ(s − s )L ( 2(s −s )(2+θ)+c +cH L H L ) H L
=
4
2c + (s − s )(2 + θ) + c + c − 2θ(s − s )L H L H L H L
=
4
2c + 2(s − s ) + θ(s − s ) + c + c − 2θ(s − s )L H L H L H L H L
=
4
3c + c + 2(s − s ) − θ(s − s )L H H L H L
=
4
3c + c + (2 − θ)(s − s )L H H L
q = N 1 + θ −1
∗ [ (
s − sH L
p − p1∗ 2∗ )]
q = N 1 + θ −2
∗ [ (
s − sH L
p − p1
∗
2
∗ )]
π = (p − c )q1
∗
1
∗
H 1
∗
π = (p − c )q2
∗
2
∗
L 2
∗
Ayudantía 8 13
(b) ¿Cuáles son los precios de equilibrio y los beneficios de las empresas cuando las dos 
empresas terminan con la misma calidad del producto en la etapa 3?
Cuando eligen la misma calidad, las dos empresas participan en una competencia de 
precios, ya que estan vendiendo exactamente el mismo producto. 
Como se vio en clase, la interacción estratégica terminará en un precio igual al costo 
marginal.
(c) ¿Cuál será la calidad del producto que elija la empresa 2 en la etapa 2?
Si la empresa 2 no se diferencia en calidad de la empresa 1, se vera obligada a vender el 
producto al costo marginal, haciendo que sus beneficios sean iguales a cero.
Mientras tanto, si se diferencia, puede obtener beneficios positivos —dependiendo de 
los parámetros—, por lo que siempre elegirá una calidad de producto distinta a la que 
escogió la empresa 1 en la primera etapa. 
(d) ¿Cuál será la calidad del producto que elija la empresa 1 en la etapa 1?
Elegirá la calidad que le entregue los beneficios mas altos. Entonces, compara 
con .
La decisión dependerá de los parámetros del problema. Se puede verificar la condición 
para que la empresa 1 elija una alta calidad resolviendo: 
π (H)1
π (L)2
π >1 π2