Ayudantia1

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 1
: , 1
Teorema del Ĺımite Central
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Teorema del Ĺımite Central.
I Aplicaciones.
: , 2
Teorema del Ĺımite Central
Sea X1,X2, ..., variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas (iid) con
E (Xi ) = µ y Var(Xi ) = σ
2
∀i = 1, 2, ..., n. Sea Sn =
∑n
i=1 Xi Entonces,
Sn − nµ
σ
√
n
→ Z ∼ Normal(0, 1)
cuando n→∞
: , 3
Teorema del Ĺımite Central
I ¿Para qué sirve?
Se utiliza para tener una buena aproximación de la distribución mues-
tral de la suma Sn (o del promedio X n) que se puede utilizar prescin-
diendo de la población sobre la cual se toman los datos (Xi ).
I ¿Cuando se puede utilizar?
Cuando se tiene un tamaño muestral grande.
: , 4
Teorema del Ĺımite Central
I ¿Para qué sirve?
Se utiliza para tener una buena aproximación de la distribución mues-
tral de la suma Sn (o del promedio X n) que se puede utilizar prescin-
diendo de la población sobre la cual se toman los datos (Xi ).
I ¿Cuando se puede utilizar?
Cuando se tiene un tamaño muestral grande.
: , 4
Teorema del Ĺımite Central
I ¿Para qué sirve?
Se utiliza para tener una buena aproximación de la distribución mues-
tral de la suma Sn (o del promedio X n) que se puede utilizar prescin-
diendo de la población sobre la cual se toman los datos (Xi ).
I ¿Cuando se puede utilizar?
Cuando se tiene un tamaño muestral grande.
: , 4
Teorema del Ĺımite Central
I ¿Para qué sirve?
Se utiliza para tener una buena aproximación de la distribución mues-
tral de la suma Sn (o del promedio X n) que se puede utilizar prescin-
diendo de la población sobre la cual se toman los datos (Xi ).
I ¿Cuando se puede utilizar?
Cuando se tiene un tamaño muestral grande.
: , 4
Teorema del Ĺımite Central
Ejercicio 1
El aumento del uso de tecnoloǵıa en los útimos años, ha influido enor-
mente en la manera de hacer docencia. Los profesores han ido adaptando
sus clases utilizando material audiovisual de apoyo, por lo que es funda-
mental contar con un proyector en la sala. Suponga que en una cierta
Universidad, se sabe que las ampolletas del proyector de una sala tienen
una vida útil media de µ = 100 horas y desviación estándar σ = 75.
Durante el semestre, se utiliza el proyector durante 9000 horas. Calcule
la probabilidad aproximada de que 100 ampolletas sean suficientes en el
semestre.
: , 5
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 1
I Considere a Yi como el tiempo de vida útil de la ampolleta, y denote
al stock de 100 ampolletas como S100 =
∑100
i=1 Yi
I La media E(Yi ) = 100 y la desviación σ = 75
I Se está pidiendo determinar si el stock de 100 ampolletas es
suficiente, por lo tanto se debe calcular Pr
(
S100 > 9000
)
I Por TLC se puede aproximar la distribución de S100 por una
Normal(1002, 752 · 100)
: , 6
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 1
De esta manera,
Pr
(
S100 > 9000
)
= Pr
(
S100 − 100 · 100
75 · 10 >
9000− 100 · 100
75 · 10
)
= Pr (Z > −1.33)
≈ 0.91
: , 7
Teorema del Ĺımite Central
Ejercicio 2
El Product Management de un banco sabe por medio de un estudio que
la rentabilidad porcentual de las tarjetas de créditos de personas naturales
durante el año se distribuye R ∼ Beta(α = 1.5, β = 8.5). El Product
Management quiere saber la probabilidad de que un nuevo portafolio de
900 tarjeta de crédito rentabilice en promedio más de un 15.5% durante
el año. Entregue una aproximación para la probabilidad.
: , 8
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 2
Antecedentes del ejercicio
I Se dispone de una muestra aleatoria de 900 rentabilidades, tal que
Ri
iid∼ Beta(α = 1.5, β = 8.5).
I La media y la varianza están dados por:
E(R) =
α
α + β
=
1.5
1.5 + 8.5
= 0.15,
Var(R) =
αβ
(α + β + 1)(α + β)2
=
1.5 · 8.5
11 · (1.5 + 8.5)2
≈ 0.0116.
Entonces para el TLC µ = 0.15 y σ ≈
√
0.0116.
: , 9
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 2
Note la siguiente relación
∑n
i=1 Ri − nµ
σ
√
n
=
√
n
(
Rn − µ
)
σ
Entonces
Pr(Rn > 0.155) = Pr
(
√
900
(
Rn − 0.15
)
√
0.0116
>
√
900
(0.155− 0.15)
√
0.0116
)
= Pr(Z > 1.3927)
= 0.082
El portafolio tiene una probabilidad aproximada de 0.082 de rentar más
de un 15.5%.
: , 10
Teorema del Ĺımite Central
Ejercicio 3
Suponga que en cada transacción, Xi corresponde al precio de compra de
un Real (moneda brasileña) en pesos, e Yi al valor de venta. Obtenga
la probabilidad aproximada de que, en valor absoluto, el promedio de las
diferencias entre precios de compra y venta de 100 transacciones, sea mayor
a 11, donde E (Xi ) = 240, E (Yi ) = 230, V(Xi ) = 16, V(Yi ) = 9. Asuma
que los valores están asociados, de manera que su correlación es igual a
-0.3.
: , 11
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 3
I Sea Ui = Xi − Yi , i = 1, ..., 100, las diferencias entre precio de
compra y venta de las 100 transacciones. Los momentos son:
E(Ui ) = E(Xi )− E(Yi )
= 10
Var(Ui ) = Var(Xi ) + Var(Yi )− 2Cov(Xi ,Yi )
= 16 + 9− 2 · (−3.6)
= 32.2
La covarianza se derivó de la siguiente relación ρ(Xi ,Yi ) = −0.3
Cov(Xi ,Yi ) = −0.3
√
Var(Xi )
√
Var(Yi )
= −0.3 · 4 · 3
= −3.6
: , 12
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 3
I Defina a U100 =
1
100
∑100
i=1 Ui el promedio de las 100 diferencias.
I Se pide calcular de manera aproximada la siguiente probabilidad
Pr
(
|U100| > 11
)
.
I Por TLC se tiene que U100 puede ser aproximada por una Normal
con media
E (U100) =
1
100
100∑
i=1
E (Ui ) = 10
y varianza
Var(U100) =
1
1002
100∑
i=1
Var(Ui ) =
Var(Ui )
100
=
32.2
100
: , 13
Teorema del Ĺımite Central
Solución Ejercicio 3
Luego,
Pr
(
|U100| > 11
)
= Pr
({
U100 > 11
}
∪
{
U100 < −11
})
= Pr
(
U100 > 11
)
+ Pr
(
U100 < −11
)
= Pr
(√
100
(
U100 − 10
)
√
32.2
>
√
100(11− 10)√
32.2
)
+Pr
(√
100
(
U100 − 10
)
√
32.2
<
√
100(−11− 10)√
32.2
)
≈ Pr (Z > 1.76) + Pr (Z < −37.01)
= 0.039
: , 14