Ayudantia9

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración UC
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 9
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis y P-Valor
P-Valor de un Test de Hipótesis
El P-Valor de un test de hipótesis es el ḿınimo nivel de significancia en
el cual H0 seŕıa rechaza cuando se utiliza un procedimiento de prueba
especificado con un conjunto de información dado. Una vez que el P-
Valor se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel α particular
resulta comparar el P-Valor con α:
P-Valor ≤ α Rechaza H0
P-Valor > α No Rechaza H0
Entre más pequeño sea el P-Valor, más contradictorio es el resultado para
H0.
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
Ejercicio 1
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis y P-Valor
Test de Hipótesis: Ejercicio 1
Se llevó a cabo un estudio psicológico para comparar los tiempos de
reacción de hombres y mujeres a un est́ımulo. Se emplearon muestras
aleatorias independientes de 50 hombres y 50 mujeres. La siguiente tabla
contiene los resultados obtenidos .
Hombre Mujeres
n1 = 50 n2 = 50
x = 3.6 segundos y = 3.8 segundos
s2x = 0.18 s
2
y = 0.14
a) ¿Hay evidencia emṕırica para sugerir que existe un diferencia entre
las medias reales de los tiempos de reacción? Utilice α = 0.05,
asuma normalidad y varianzas distintas.
b) Responda lo anterior en base al P-Valor del test.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 1
a) Denote por X ∼ N(µ1, σ2x) el tiempo de reacción de los hombres y
denote Y ∼ N(µ2, σ2y ) el tiempo de reacción de las mujeres. En el ejercicio
se consulta si existe evidencia emṕırica para sugerir que los tiempos de
reacción medios son diferentes entre hombres y mujeres, por lo tanto las
hipótesis planteadas son
H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 6= µ2
Además sabemos del enunciado que σ21 6= σ22 . Dado que los tamaños
muestrales son grandes utilizaremos la distribución normal (n1, n2 > 30).
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 1
La región de rechazo para una hipótesis bilateral considerando un α de
significancia está dado por
RC (H0, 95%) =
(x, y),
∣∣∣∣∣∣ x − y√ s2x
n1
+
s2y
n2
∣∣∣∣∣∣ > z1−α/2

Cualquier par de muestras (x, y) que cumpla con lo anterior será consider-
ada como evidencia para rechazar H0
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 1
Reemplazando los valores muestrales más el nivel de significancia tenemos.
Z =
∣∣∣∣∣∣ x − y√ s2x
n1
+
s2y
n2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ 3.6− 3.8√ 0.18
50 +
0.14
50
∣∣∣∣∣∣ = | − 2.5| = 2.5
Ese valor se debe compara con Z0.975 = 1.96, dado que 2.5 > 1.96 nuestro
estad́ıstico cae en la región de rechazo RC (H0, 95%), entonces existe evi-
dencia estad́ıstica para descartar la hipótesis nula, es decir, a un nivel de
significancia de α = 0.05 los tiempos de reacción entre hombres y mujeres
son diferentes.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 1
b) Para determinar el P-Valor de un test debemos identificar la distribución
del estad́ıstico de rechazo y la región de rechazo (si es del tipo bilateral
o unilateral). En nuestro caso el estad́ıstico bajo H0 tiene la siguiente
distribución
Z =
X − Y√
S2x
n1
+
S2y
n2
∼ N(0, 1)
Y rechazamos para valores {|Z | > 1.96}, por lo tanto es bilateral. En-
tonces el P-valor del test será determinado de manera bilateral con el z0
que es el valor del estad́ıstico con los datos observados z0 = 2.5, aśı
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 1
Aśı
P-Valor = Pr(|Z | > z0)
= Pr(|Z | > 2.5)
= 1− Pr(−2.5 ≤ Z ≤ 2.5)
= 1− (φ(2.5)− φ(−2.5))
= 1− (φ(2.5)− 1 + φ(2.5))
= 2− 2φ(2.5)
= 0.0124
Y dado que P-Valor = 0.0124 < 0.05 = α se rechaza la hipótesis H0.
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
Ejercicio 2
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Ejercicio 2
Suponga que queremos comparar la variación de los diámetros de las partes
producidas por una importante fabrica de automóviles (diámetros en pul-
gadas)con la variación de los diámetros de las partes producidas por un
competidos. La varianza muestral de nuestra compañ́ıa, basado en n = 10
diámetros muestreados, es de s21 = 0.0003. En contraste, la varianza
muestral de las mediciones de los diámetros de 20 partes de la competen-
cia es de s22 = 0.0001.¿Proporcionan los datos suficiente información que
indique una variación menor en los diámetros de la competencia? Realice
la comparación con un α = 0.05 y reporte el P-Valor del test.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 2
Aqúı consideraremos a una muestra de diámetros de tamaño n1 = 10 de la
fabrica de automóviles con variación muestral s21 = 0.0003 y una muestra
de diámetros de tamaño n2 = 20 con variación s
2
2 = 0.0001. Las hipótesis
planteadas en el problema son
H0 : σ
2
1 = σ
2
2
H1 : σ
2
1 > σ
2
2
Entonces el problema de testear la hipótesis H0 será unilateral.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 2
La región de rechazo en este problema unilateral con un α de significancia
será
RC (H0, 1− α%) =
{
(x, y),
s21
s22
> F1−α(n1−1,n2−1)
}
Entonces cualquier par de muestras que cumpla con lo anterior será con-
siderada como evidencia para rechazar H0
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 2
Utilizando la información entregada en el enunciado se determina el es-
tad́ıstico de rechazo
F =
s21
s22
=
0.0003
0.0001
= 3
valor que debe ser comparado con la F0.95(9, 19) = 2.423. Dado que
F = 3 > F0.95(9, 19) = 2.423 concluimos que existe evidencia estad́ıstica
para rechazar H0 con un nivel de 5% de significancia, la variación de la
compañ́ıa es mayor que la de la competencia.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 2
Se sabe que la distribución del estad́ıstico de rechazo es F (9, 19) y que el
test es unilateral, por lo tanto necesitamos sólo el f0 anterior para calcular
el P-Valor
P-Valor = Pr(F9,19 > f0)
= Pr(F9,19 > 3)
= 1− Pr(F9,19 ≤ 3)
= 0.0209 (calculado en R)
Finalmente el P-Valor = 0.0209, que es menor a α (algo esperado).
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
Ejercicio 3
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Ejercicio 3
Suponga que un ingeniero quiere comparar el número de reclamos que
los representantes del sindicato de dos diferentes turnos en una fabrica
registran por semana. Se consideran 100 observaciones independientes
sobre el número de reclamos arrojando las medias x = 20 para el turno 1 y
y = 22 para el turno 2. Suponga que número de reclamos por semana en
el i-eśımo turno posee distribución de Poisson con media θi , para i = 1, 2.
a) Pruebe si existe diferencia entre los reclamos promedios de ambos
turnos con un nivel de α = 0.01 de significancia.
b) Calcule el P-Valor del test anterior
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
a) En este problema se debe utilizar el test de hipótesis para cualquier
población, que depende del estimador de máxima verosimilitud de la Pois-
son y de la cota de Cramer-Rao. Denote por X ∼ Poisson(θ1) el número de
reclamos para el turno 1 y denote Y ∼ Poisson(θ2) el número de reclamos
para el turno 2. Aśı, el reclamo promedio del turno 1 es θ1 y el reclamo
promedio para el turno 2 es θ2, entonces el test que responde a la pregunta
debe ser especificado de la siguiente manera
H0 : θ1 = θ2
H0 : θ1 6= θ2
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
Dado que el modelo de Poisson cumple con las condiciones de regularidad,
se tiene la siguiente aproximación
θ̂1 = Xn ∼ N(θ1,CCR(θ1))
θ̂2 = Ym ∼ N(θ2,CCR(θ1))
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
Del formulario (y de los apuntes de clases) se sabe que para una familiar
Poisson se tiene
CCR(θ) =
θ
n
,
por lo tanto las distribuciones asintóticas quedan especificadas de la sigu-
iente manera
θ̂1 = X n ∼ N
(
θ1,
θ1
n
)
θ̂2 = Ym ∼ N
(
θ2,
θ2
m
)
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
Para muestras grande aproxima CCR(θ1) por CCR(θ̂1) y el estad́ıstico
asintótico
Z =
X − Y − δ0√
X
n +
Y
m
a∼ N(0, 1),
donde δ0 se obtiene de la hipótesis nula δ0 = θ1 − θ2 = 0.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
Con lo anterior se puede determinar la región de rechazo
RC (H0, 1− α%) =
(x, y),
∣∣∣∣∣∣ x − y√ x
n +
y
m
∣∣∣∣∣∣ > z1−α/2

Como α = 0.01, entonces el punto cŕıtico es z0.995 = 2.575. El estad́ıstico
de rechazo para la muestras es,
z =
20− 22√
20
100 +
22
100
= −3.086
Dado que |z | = 3.086 > 2.575 = z0.995, a un nivel 0.01 existe evidencia
para rechazar la hipótesis de igualdad en los reclamos para ambos turnos.
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Test de Hipótesis
Test de Hipótesis: Solución Ejercicio 3
b) Por las propiedades asintóticas el estad́ıstico es normal y la región de
rechazo del ejercicio es bilateral, por lo tanto el calculo de P-Valor se debe
considerar esto,
P-Valor = Pr(|Z | > z0)
= Pr(|Z | > 3.086)
= 1− Pr(|Z | ≤ 3.086)
= 1− Pr(−3.086 ≤ Z ≤ 3.086)
= 2− 2φ(3.086)
= 0.002
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Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis y P-Valor.
I Ejercicios Propuestos
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Test de Hipótesis
Ejercicios Propuestos
1. Los precios de cierre de dos acciones se registraron por un periodo de
16 d́ıas. Las medias y las varianzas fueron las siguientes:
x = 40.33 y = 42.54
s2x = 1.54 s
2
y = 2.96
¿Demuestran los datos manera evidente que existe una diferencia en
la variabilidad de los precios de cierre de las dos acciones para las
poblaciones asociadas con las dos muestras?, obtenga ĺımites para el
nivel de significacia alcanzado. ¿Qué concluiŕıa usted con α = 0.02?
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Test de Hipótesis
Ejercicios Propuestos
2. Un instrumento de precisión garantiza una exactitud menor a 2 unidades.
Una muestra de cuatro lecturas del instrumento del mismo objeto ar-
rojó las mediciones 353, 351, 351, 355. Determine un test de hipótesis
para las alternativas de σ = 0.7 frente a σ > 0.7. Determine el P-
Valor del test.
3. Un proceso qúımico produce en promedio 800 toneladas de qúımico
por d́ıa. Las producciones diarias de la semana pasada fueron las
siguientes: 785, 805, 790 y 802 toneladas. ¿Significan estos datos
que la producción que la producción media es menor a 800 toneladas
y que por lo tanto algo anda mal en el proceso?. Efectúe la prueba
con un nivel del 5%. Entregue el P-Valor de la prueba.
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