Ayudantia8

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración UC
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 8
: , 1
Test de Hipótesis
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Test de Hipótesis
I Ejercicios
I Ejercicios Propuestos
: , 2
Test de Hipótesis
Introducción
I Se considera la estimación del parámetro desconocido θ, de tal
manera que deba pertenecer a un cierto espacio paramétrico Ω
I Suponga que Ω = Ω0 ∪ Ω1 donde Ω0 y Ω1 son disjuntos (Partición
de Ω)
I Se define la Hipótesis Nula: H0 como la hipótesis de que θ ∈ Ω0
I Se define la Hipótesis Alternativa: H1 como la hipótesis de que
θ ∈ Ω1
I Un contraste de hipótesis es aquel que a partir de evidencia muestral
buscar rechazar o aceptar la hipótesis planteada por el investigador
: , 3
Test de Hipótesis
Introducción
I Suponga que X1, ...,Xn constituye una m.a de una población f (x |θ),
donde el parámetro θ debe pertenecer al espacio paramétrico Ω. Sea
Ω0 y Ω1 una partición de Ω. Se quiere contrastar las siguientes
hipótesis:
H0 : θ ∈ Ω0
H1 : θ ∈ Ω1
I Si el conjunto Ωi sólo puede contener un valor de θ, entonces la
hipótesis Hi es una Hipótesis Simple
I Si el conjunto Ωi contiene más de un valor de θ, entonces la
hipótesis Hi es una Hipótesis Compuesta
: , 4
Test de Hipótesis
Tipos de Errores
I Toda prueba de hipótesis conlleva dos tipos de Errores.
I Un Error de Tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula H0 cuando
es verdadera.
I Un Error de Tipo II consiste en no rechazar H0 cuando H0 es falsa.
α(θ) = P(Error tipo I) = P(RechazarH0|H0)
β(θ) = P(Error tipo II) = P(No rechazarH0|H1)
I α(θ) y β(θ) son inversamente proporcionales
: , 5
Test de Hipótesis
Región Cŕıtica
I La Región Cŕıtica corresponde a la región donde se rechazará H0.
I Para obtener una región cŕıtica, se debe previamente especificar el
máximo valor de α(θ) tolerable, es decir la máxima probabilidad
tolerable para el Error de Tipo I. Este valor se conoce como el
nivel de significancia o riesgo del test.
I Se denotará por α y se calcula como
α = max
θ∈Θ0
α(θ)
: , 6
Test de Hipótesis
Función Potencia
I La Potencia del Test se define por
π(θ) = P(RechazarH0|θ)
I La idea de un test es maximizar esta potencia una vez que α es
fijado.
I Aśı para un α fijo uno debiera escoger la región de rechazo con
mayor potencia del test.
: , 7
Test de Hipótesis
Ejercicio 1
Suponga que X1, ...,Xn es una m.a de una distribución Normal con media
µ es desconocida y cuya varianza es 1. Suponga además que µ0 es un
número espećıfico y que se quiere contrastar las siguiente hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Considere el procedimiento de prueba tal que se rechaza H0 cuando
|X n − µ0| ≥ c . Determine el valor de c para que el nivel de significancia
de la prueba sea de α.
: , 8
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Se quiere contrastar las siguientes hipótesis:
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
donde se rechaza H0 si |X n − µ0| ≥ c .
Para determinar el valor de c , se hace fijando el nivel de significancia de la
prueba y como Θ0 contiene sólo un valor µ0, se tiene que α(µ) = α (no
es función de µ), luego
α = P(Rechazar H0|µ ∈ Θ0)
= P(|X n − µ0| ≥ c |µ ∈ Θ0)
= 1− P(−c ≤ X n − µ0 ≤ c |µ ∈ Θ0) (1)
Para cacular dicha probabilidad, debemos conocer la distribución de
X n − µ0 bajo H0, es decir, cuando µ = µ0, ya que Θ0 contiene sólo el
valor de µ0.
: , 9
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Luego como X1, ...,Xn ∼ N(µ, 1), entonces X n ∼ N(µ, 1n ).
Luego Bajo H0, se tiene que µ = µ0.
De esta manera, el estad́ıstico X n distribuye N(µ0,
1
n ).
Estandarizando se tiene X n−µ0
1/
√
n
∼ N(0, 1)
Aśı podemos calcular α, retomando la ecuación (1):
α = 1− P(−c ≤ X n − µ0 ≤ c |µ ∈ Θ0)
= 1− P(−c ≤ X n − µ0 ≤ c |µ = µ0)
= 1− P
(
− c
1/
√
n
≤ X n − µ0
1/
√
n
≤ c
1/
√
n
∣∣∣µ = µ0)
Como X n−µ0
1/
√
n
Bajo H0 es N(0,1) se tiene
: , 10
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
α = 1− P
(
− c
1/
√
n
≤ Z ≤ c
1/
√
n
)
α = 1−
(
Φ
(
c
1/
√
n
)
− Φ
(
− c
1/
√
n
))
α = 1−
(
Φ
(
c
1/
√
n
)
−
(
1− Φ
(
c
1/
√
n
)))
α = 1−
(
2Φ
(
c
1/
√
n
)
− 1
)
1− α
2
= Φ
(
c
1/
√
n
)
Φ−1
(
1− α
2
)
=
c
1/
√
n
donde Φ−1(α) corresponde al cuantil que acumula α en una N(0,1).
: , 11
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 1
Recuerde que en este curso hemos denotado al cuantil que acumula α en
una N(0,1) por zα, luego,
z1−α2 =
c
1/
√
n
⇒ c = 1√
n
· z1−α2
De esta manera, hemos determinado expĺıcitamente la región de rechazo
del test, en donde se rechaza H0 si
|X n − µ0| ≥
1√
n
· z1−α2
Equivalentemente, se rechaza H0 si∣∣∣∣∣X n − µ01√
n
∣∣∣∣∣ ≥ z1−α2
: , 12
Test de Hipótesis
Ejercicio 2
Suponga que X1, ...,X25 constituye una m.a de una distribución N(µ, σ
2),
donde ambos parámetros son desconocidos. Se desea contrastar las siguien-
tes hipótesis
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
Considere el estad́ıstico T = X 25−µ0
S/
√
25
, donde S es la desviación estándar
muestral. Considere el procedimiento de prueba tal que se rechaza H0
cuando T ≥ 1.32.
(a) Determine el nivel de significancia del test
(b) Determine la función Potencia del test
: , 13
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
(a) El nivel de significancia del test corresponde a
α = max
µ∈Θ0
α(µ)
Note que Θ0 contiene solo un valor:µ = µ0, luego α(µ) = α(µ0),
por lo tanto el nivel de significancia del test se reduce α = α(µ0).
α = α(µ0) = P(Rechazar H0|µ ∈ Θ0)
= P(T ≥ 1.32|µ = µ0) (2)
Como X1, ...,X25 ∼ N(µ, σ2), se tiene que:
X 25 − µ
S/
√
25
∼ t24
: , 14
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
Aśı Bajo H0: (µ = µ0),
X 25 − µ0
S/
√
25
∼ t24
Luego, volviendo a la ecuación (2)
α = P(T ≥ 1.32|µ = µ0)
α = 1− P(T < 1.32) donde T ∼ t24
1− α = P(T < 1.32)
Por lo tanto, el cuantil que acumula 1−α de una t-student con 24 grados
de libertad es 1.32, aśı
t241−α = 1.32
Buscando en la tabla se tiene que 1− α = 0.90⇒ α = 0.1
: , 15
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
(b) La potencia del test se define como π(µ) = α(µ) para µ ∈ Θ0,
luego π(µ) = π(µ0) = 0.1.
Para µ ∈ Θ1,
π(µ) = P(Rechazar H0|µ ∈ Θ1)
= P(Rechazar H0|µ > µ0)
= P(T ≥ 1.32|µ > µ0)
Note que el estad́ıstico T = X 25−µ0
S/
√
25
bajo H1 : (µ > µ0) no tiene
distribución t24, ya que Bajo H1,
X 25−µ
S/
√
25
con µ > µ0 distribuye t24
: , 16
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
Luego,
π(µ) = P(T ≥ 1.32|µ > µ0)
= P
(
X 25 − µ0
S/
√
25
≥ 1.32|µ > µ0
)
= P
(
X 25 − µ0 ≥ 1.32
S√
25
|µ > µ0
)
= P
(
X 25 ≥ µ0 + 1.32
S√
25
|µ > µ0
)
= P
(
X 25 − µ
S/
√
25
≥ µ0 − µ
S/
√
25
+ 1.32|µ > µ0
)
Como T1 =
X 25−µ
S/
√
25
bajo H1 tiene distribución t24, se tiene que
: , 17
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
π(µ) = 1− FT1
(
µ0 − µ
S/
√
25
+ 1.32
)
Por lo tanto, la Función Potencia del test está dada por
π(µ) =
{
0.1 µ = µ0
1− FT1
(
µ0−µ
S/
√
25
+ 1.32
)
µ > µ0
Cuyo gráfico es el siguiente:
: , 18
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
µ
P
ot
en
ci
a
µ0
: , 19
Test de Hipótesis
Ejercicio 3
Una mezcla de combustible y cemento se utiliza para techar y ésta debe
tener una resistencia a la comprensión de más de 1300. La mezcla no
se utilizará a menos que haya una evidencia experimental que indique de
manera concluyente que se ha cumplido la especificación de resistencia.
Supongamos que la resistencia a la comprensión esta mezcla distribuye
normal con σ = 60. Represente con µ la media poblacional de resistencia,
y se considera una muestra de tamaño n = 20,
(a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativas adecuadas?
(b) Considere el procedimiento de prueba utilizando el estad́ıstico X y la
región de rechazo X ≥ 1331.26. ¿Cuál es la distribución del
estad́ıstico de prueba cuando H0 es verdadera? ¿Cuál es la
probabilidad de un error de tipo I? ¿Cuál es el nivel de significancia
del test?
: , 20
Test de Hipótesis
Ejercicio 3
(c) ¿Cuál es la distribución del estad́ıstico de prueba cuando µ = 1.350?
Mediante el procedimiento de prueba usado en la parte b),¿cuáles
la probabilidad de que la mezcla se considere no satisfactoria cuando
µ = 1350?
(d) ¿Cómo cambiaŕıa el procedimiento de prueba de la parte b) para
obtener una prueba con nivel de significancia 0.05?
: , 21
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(a) Sea µ la media poblacional de resistencia. Se quiere testear si
H0 : µ ≤ 1300
H1 : µ > 1300
(b) Sea X1, ...,X20 la m.a de resistencias que distribuye Normal(µ, 60
2).
Sea X el estad́ıstico de prueba del test, el cual distribuye
Normal(µ, 60
2
20 ).
Luego, Bajo H0, µ ≤ 1300, se tiene que X ∼ N(µ, 60
2
20 )
: , 22
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
La probabilidad de Error de Tipo I, está dada por
α(µ) = P( Rechazar H0|µ ≤ 1300)
= P(X ≥ 1331.26|µ = 1300)
= P
(
X − µ
60/
√
20
≥ 1331.26− µ
60/
√
20
)
= 1− Φ
(
1331.26− µ
60/
√
20
)
: , 23
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
El nivel de significancia del test es
α = max
µ≤1300
α(µ)
= max
µ≤1300
1− Φ
(
1331.26− µ
60/
√
20
)
La cual es máxima para µ = 1300 (Ver el gráfico en la siguiente slide).
Luego α está dado por
α = 1− Φ
(
1331.26− 1300
60/
√
20
)
= 1− Φ(2.329) = 0.0099
: , 24
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
1200 1220 1240 1260 1280 1300
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
µ
α
(µ
)
: , 25
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(c) Bajo H1, µ > 1300 el estad́ıstico tiene distribución
X ∼ N
(
µ,
602
20
)
Luego en el caso particular que nos preguntan cuando µ = 1350
X ∼ N
(
1350,
602
20
)
: , 26
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
Ahora nos piden la probabilidad de Error de Tipo II,
β(µ) = P(No Rechazar H0|µ > 1300)
= P(X < 1331.26|µ > 1300)
Como X Bajo H1 distribuye N
(
µ, 60
2
20
)
, con µ > 1300, se tiene que
β(µ) = P
(
X − µ
60/
√
20
<
1331.26− µ
60
√
20
∣∣∣µ > 1300)
= Φ
(
1331.26− µ
60
√
20
)
: , 27
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
En el caso particular que nos preguntan para µ = 1350, se tiene
β(1350) = Φ
(
1331.26− 1350
60
√
20
)
= Φ(−1.39)
= 1− Φ(1.39)
= 1− 0.9177
= 0.0823
: , 28
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
(d) Queremos que la prueba tenga un nivel de significancia α = 0.05.
Luego debemos modificar la región de rechazo del test, modificando
el punto de corte. Sea c el punto de corte, entonces se rechaza H0 si
X ≥ c . Para determinar c , fijamos el nivel de significancia del test
α = 0.05, aśı
α = max
µ≤1300
α(µ)
Como vimos anteriormente α(µ) es una función creciente en µ,
luego su máximo valor lo alcanza en µ = 1300, luego
: , 29
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
α = P(X ≥ c |µ = 1300)
0.05 = P
(
X − 1300
60/
√
20
≥ c − 1300
60/
√
20
∣∣∣∣µ ≤ 1300)
0.05 = 1− Φ
(
c − 1300
60/
√
20
∣∣∣∣µ ≤ 1300)
0.95 = Φ
(
c − 1300
60/
√
20
∣∣∣∣µ ≤ 1300)
: , 30
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 3
Φ−1(0.95) =
c − 1300
60/
√
20
z0.95 =
c − 1300
60/
√
20
c = 1300 + z0.95
60√
20
= 1300 + 1.64
60√
20
= 1322.003
Por lo tanto, para un nivel de significancia del test de α = 0.05 se rechaza
H0 si
X ≥ 1322.003
: , 31
Test de Hipótesis
Ejercicio 4
Suponga que X1, ...,Xn constituye una m.a de una distribución U(0, θ) y
se desea contrastar las siguientes hipótesis
H0 : θ ≥ 2
H1 : θ < 2
Sea T = max{X1, ...,Xn}. Considere un procedimiento de prueba tal que
se rechaza H0 si T ≤ 1.5. Determine el nivel de significancia del test
: , 32
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
El nivel de significancia del test corresponde a
α = max
θ∈Θ0
α(θ)
En este caso Θ0 = {θ, θ ≥ 2}
α(θ) = P(Rechazar H0|θ ∈ Θ0)
= P(T ≤ 1.5|θ ≥ 2)
Para calcular dicha probabilidad debemos conocer la distribución del es-
tad́ıstico T bajo H0.
: , 33
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
Recuerde que la densidad de T está dada por
fT (t) = nFX (t)
n−1fX (t), 0 ≤ t ≤ θ
Luego como X ∼ U(0, θ) se tiene que
fT (t) = n
( t
θ
)n−1 1
θ
= n
tn−1
θn
Aśı para θ ≥ 2,
α(θ) = P(T ≤ 1.5|θ ≥ 2)
=
∫ 1.5
0
n
tn−1
θn
dt =
(
1.5
θ
)n
: , 34
Test de Hipótesis
Solución Ejercicio 4
Luego el nivel de significancia del test está dado por
α = max
θ∈Θ0
α(θ) = max
θ≥2
(
1.5
θ
)n
=
(
1.5
2
)n
Pues es una función decreciente en θ.
: , 35