Ayudantia6

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración UC
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 6
: , 1
Intervalos de Confianza
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Intervalos de Confianza
I Ejercicios
I Ejercicios Propuestos
: , 2
Intervalos de Confianza
Definición
Suponga que X = (X1,X2, ...,Xn) constituyen una m.a de una distribución
con parámetro θ cuyo valor es desconocido. Suponga además que se
pueden encontrar dos estad́ısticos A(X ) y B(X ) tales que,
P
(
A(X ) < θ < B(X )
)
= 1− α (1)
donde α es una cantidad fija.
Si los valores observados de A(X ) y B(X ) son a y b, entonces se dice que
el intervalo (a, b) es un intervalo de confianza para θ con una confianza
de 1− α.
: , 3
Intervalos de Confianza
Definición
Note que,
Es incorrecto afirmar que θ está en el intervalo (a, b) con una probabilidad
de 1− α. La explicación es la siguiente:
Antes de observar los valores de los estad́ısticos A(X ) y B(X ), estos es-
tad́ısticos son variables aleatorias. Por lo tanto de la ecuación (1) resulta
que θ está en el intervalo aleatorio
(
A(X ),B(X )
)
con probabilidad 1−α.
Después de haber observado valores espećıficos de los estad́ısticos a y b, no
es posible asignar una probabilidad al suceso de que θ esté en el intervalo
espećıfico (a, b) ya que θ no es una cantidad aleatoria y puede estar como
no estar contenido en dicho intervalo. Por este motivo se dice que θ está
en el intervalo con una confianza de 1− α.
: , 4
Intervalos de confianza
Definición
I Los IC pueden ser bilaterales o unilaterales
I Un método útil para construir los IC es el Método Pivotal
I Los Pivotes son v.a construidas a partir de las distribuciones
muestrales, los cuales tienen la siguiente propiedad:
• Es una función de los datos y del parámetro de interés, y no de otros
parámetros desconocidos.
• La distribución de probabilidad no depende del parámetro.
: , 5
Intervalos de confianza
A partir del método pivotal se obtienen los siguientes intervalos de confi-
anza bilaterales para los parámetros, y a partir de ellos se pueden fácilmente
construir intervalos unilaterales.
Parámetro Población IC Bilateral
µ N(µ, σ2), σ conocido (ȳ ∓ z1−α/2 σ√n )
µ N(µ, σ2), σ desconocido (ȳ ∓ tn−1
1−α/2
s√
n
)
n pequeño
µ Cualquier Población, (ȳ ∓ z1−α/2 s√n )
σ desconocido y n grande
σ2 N(µ, σ2), µ desconocido
(
(n−1)s2
χ2
1−α/2,n−1
,
(n−1)s2
χ2
α/2,n−1
)
: , 6
Intervalos de confianza
Parámetro Población IC Bilateral
θ Cualquier Población
(
θ̂ ∓ z1−α/2
√
CCR(θ̂)
)
n grande
π Bernoulli(π),
(
π̂ ∓ z1−α/2
√
π̂(1−π̂)
n
)
n grande
µ Poisson(λ) (ȳ ∓ z1−α/2
√
ȳ
n )
µ Exponencial(λ) (ȳ ∓ z1−α/2 ȳ√n )
g(θ) Cualquier Población
(
g(θ̂) ∓ z1−α/2
√
CCR(θ̂) ·
(
∂̂g(θ)
∂θ
)2)
: , 7
Intervalos de confianza
Toma de decisiones con IC
Sea X1,X2, ...,Xn una m.a de una población Normal con media µ y vari-
anza σ2 conocida. A partir de IC se pueden evaluar supuestos acerca del
parámetro µ. Suponga que
I Interesa evaluar si µ = µ0
Un IC bilateral para µ de nivel de confianza α está dado por
(x̄ − z1−α/2
σ√
n
, x̄ + z1−α/2
σ√
n
)
Si el valor de µ0 no está contenido en el IC bilateral, entonces con
un nivel de significancia de α se puede concluir que µ 6= µ0.
De lo contrario, si el valor de µ0 está contenido en el IC bilateral,
entonces con un nivel de significancia de α se concluye que µ = µ0.
: , 8
Intervalos de confianza
Toma de decisiones con IC
I Interesa evaluar si µ > µ0
Un IC unilateral inferior para µ de nivel de confianza α está dado por(
x̄ − z1−α
σ√
n
,∞
)
Si el valor de µ0 no está contenido en el IC unilateral, entonces con
un nivel de significancia de α se puede concluir que µ > µ0.
De lo contrario, si el valor de µ0 está contenido en el IC unilateral,
entonces con un nivel de significancia de α se concluye que µ ≤ µ0.
: , 9
Intervalos de confianza
Toma de decisiones con IC
I Interesa evaluar si µ < µ0
Un IC unilateral superior para µ de nivel de confianza α está dado
por (
−∞, x̄ + z1−α
σ√
n
)
Si el valor de µ0 no está contenido en el IC unilateral, entonces con
un nivel de significancia de α se puede concluir que µ < µ0.
De lo contrario, si el valor de µ0 está contenido en el IC unilateral,
entonces con un nivel de significancia de α se concluye que µ ≥ µ0.
: , 10
Ejercicio 1
Suponga que se tiene una única observación Y de una distribución expo-
nencial con media θ.
(a) Demuestre que U = Y /θ es una función pivote para θ
(b) Utilizando la parte (a) calcule un intervalo bilateral simétrico
(1− α)% para θ
(c) Utilizando la parte (a) calcule un intervalo bilateral No simétrico
(1− α)% para θ
: , 11
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
(a) Como θ es la media, se tiene que Y ∼ exp(1/θ).
Note que U = Y /θ es una función de la muestra Y y del parámetro
θ, y además
FU(u) = P(U ≤ u) = P
(
Y
θ
≤ u
)
= P(Y ≤ θu) =
∫ θu
0
1
θ
e−
1
θ ydy
= 1− e−u
Luego fU(u) =
dFU (u)
du = e
−u u > 0.
Vemos aśı que U ∼ exp(1), y por lo tanto la distribución de U no
depende de θ. Por lo tanto U es una función pivote para θ.
: , 12
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
(b) Nos piden un intervalo bilateral simétrico para θ. A partir de la
función pivote se pueden construir el IC de la siguiente manera
P (a ≤ U ≤ b) = 1− α (2)
El cáculo de a y b se hace en base a la distribución de U y nos piden
un intervalo bilateral de colas simétricas, es decir, α/2 para la cola
izquierda y α/2 para la derecha, como se muestra en el siguiente
gráfico:
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
u
f(u
)
a b
1 −αα 2
α 2
: , 13
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
Luego, se debe encontrar a y b tales que P(U ≤ a) = α2 y P(U ≥ b) =
α
2
P(U ≤ a) = α
2
1− e−a = α
2
⇒ a = − ln
(
1− α
2
)
P(U ≥ b) = 1− FU(b) =
α
2
= 1− (1− e−b) = α
2
⇒ b = − ln
(α
2
)
: , 14
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
Luego, despejando el parámetro θ y reemplazando los valores de a y b en
la ecuación (2), se tiene que
P (a ≤ U ≤ b) = 1− α
P (a ≤ Y /θ ≤ b) = 1− α
P
(
1
a
≥ θ
Y
≥ 1
b
)
= 1− α
P
(
Y
a
≥ θ ≥ Y
b
)
= 1− α
P
(
−Y
ln
(
α
2
) ≤ θ ≤ −Y
ln
(
1− α2
)) = 1− α
Por lo tanto, un IC bilateral de colas simétricas para θ está dado por(
−Y
ln
(
α
2
) , −Y
ln
(
1− α2
))
: , 15
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
(c) Para construir un intervalo bilateral No simétrico para θ, hay que
repartir α de manera no equitativa para ambas colas. Una opción es
repartir 23α para la cola inferior y
α
3 para la cola superior, como se ve
en el siguiente gráfico:
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
u
f(u
)
0 1 a b 6 8
1 −α
2α 3
α 3
: , 16
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
Luego, se debe encontrar a y b tales que P(U ≤ a) = 2α3 y P(U ≥ b) =
α
3
P(U ≤ a) = 2α
3
1− e−a = 2α
3
⇒ a = − ln
(
1− 2α
3
)
P(U ≥ b) = 1− FU(b) =
α
3
= 1− (1− e−b) = α
3
⇒ b = − ln
(α
3
)
: , 17
Ejercicio 1
Solución Ejercicio 1
Por lo tanto, un IC bilateral de colas No simétricas para θ está dado por(
−Y
ln
(
α
3
) , −Y
ln
(
1− 2α3
))
: , 18
Ejercicio 2
El objetivo de los disipadores śısmicos es disminuir los daños que producen
los terremotos en las estructuras de un edificio. Con el fin de determi-
nar su efectividad, se llevó a cabo un estudio de simulación bajo condi-
ciones controladas, donde un disipador es sometido a 15 evaluaciones,
observándose un promedio de 30 mm de disminución en la deformación,
con una desviación estándar de 12 mm. Asuma que las disminuciones de
las deformaciones corresponden a variables aleatorias iid. provenientes de
una distribución Normal.
: , 19
Ejercicio 2
(a) Construya un intervalo bilateral de 95% de confianza para la media
del disipador.
(b) Construya un intervalo bilateral de 95% de confianza para la
varianza del disipador.
(c) ¿Existe evidencia que permita afirmar que la disminución media
producida por este disipador es mayor que 25 mm, para un nivel de
significancia del 5 %?
(d) ¿Tiene evidencia para rebatir el supuesto sobre el valor de la
desviación estándarpoblacional σ = 8mm para un nivel de
significancia del 5 %?
: , 20
Ejercicio 2
Solución Ejercicio 2
(a) Sean X1, ...,Xn, las disminuciones de las deformaciones obtenidas
por el disipador. Se tiene que Xi ∼ N(µ, σ2). Como n = 15 es el
tamaño de la muestra es pequeño, se tiene que un IC bilateral para
µ está dado por (
x̄ ∓ tn−11−α/2
s√
n
)
Con los datos del problema se tiene que α = 0.05, x̄ = 30 y s = 12.
Busando en la tabla t-student con 14 grados de libertad el cuantil de
0.975 se tiene que t140.975 = 2.145.
De esta manera, el IC de 95% de confianza para µ es:(
23.353, 36.646
)
: , 21
Ejercicio 2
Solución Ejercicio 2
(b) Un intervalo bilateral para σ2 está dado por( (n − 1)s2
χ21−α/2,n−1
,
(n − 1)s2
χ2α/2,n−1
)
Para α = 0.05 se tiene que a partir de la tabla chi-cuadrado con 14
grados de libertad se tiene que χ20.975,14 = 26.12 y χ
2
0.025,14 = 5.63.
De esta manera, el IC de 95% de confianza para σ2 es:
(77.182, 358.08)
: , 22
Ejercicio 2
Solución Ejercicio 2
(c) Se quiere evaluar si µ > 25. Para ello se calcula el intervalo de
confianza unilateral inferior para µ(
x̄ − tn−11−α
s√
n
,∞
)
Reemplazando con α = 0.05, x̄ = 30, s = 12 y t140.95 = 1.761 se tiene
que
(24.543,∞)
Como 25 está contenido en el intervalo de confianza, se concluye
con un 95% de confianza que µ ≤ 25.
: , 23
Ejercicio 2
Solución Ejercicio 2
(d) Se quiere evaluar si σ = 8. Por la parte (b) se tiene que un IC
bilateral de 95% para σ2 satisface:
P
( (n − 1)s2
χ20.975,14
≤ σ2 ≤ (n − 1)s
2
χ20.025,14
)
= 0.95
Aplicando ráız al intervalo, se obtiene un IC para σ:
P
(√ (n − 1)s2
χ20.975,14
≤ σ ≤
√
(n − 1)s2
χ20.025,14
)
= 0.95
: , 24
Ejercicio 2
Solución Ejercicio 2
Reemplazando con los datos, se tiene el IC bilateral de 95% para σ está
dado por
(8.7853, 18.923)
Luego como el 8 no está contenido en el intervalo, se concluye con un 5%
de significancia que σ 6= 8.
: , 25
Ejercicio 3
Al interior de la Universidad, se desea llevar a cabo una encuesta para
estudiar el porcentaje de alumnos descontentos con la asignación grupo
- horario realizada para tomar cursos a través del sistema Banner. Las
autoridades creen que este porcentaje es menor a un 20%. A partir de
una muestra de 800 estudiante se obtuvo que 150 estudiantes estaban
descontentos.
(a) Tomando en cuenta la creencia actual de las autoridades, ¿Existe
evidencia estad́ıstica que permita afirmar que la creencia de las
autoridades es correcta? Utilice un nivel de significancia de 5%.
(b) ¿Cuál será el error de estimación de la proporción de alumnos que
están descontentos con el grupo - horario asignado, para un nivel de
98% de confianza?
: , 26
Ejercicio 3
Solución Ejercicio 3
(a) Sea X1, ...,X800 las respuestas de los 800 encuestados, donde Xi = 1
si el estudiante está descontento con la asignación de Banner.
Defina como π la proporción de estudiantes descontentos.
Se quiere evaluar si π < 0.2.
Para ello se tiene que un IC unilateral de cota superior para π está
dado por (
−∞, π̂ + z1−α
√
π̂(1− π̂)
n
)
Reemplazando con los datos del problema, se tiene que
α = 0.05, π̂ = 150800 , n = 800, z0.95 = 1.645, luego
(−∞, 0.21020)
Como 0.2 está contenido en el intervalo, se concluye con un 95% de
confianza que π ≥ 0.2
: , 27
Ejercicio 3
Solución Ejercicio 3
(b) El error de estimación (ee) en un intervalo de confianza unilateral
superior está dado por
(−∞, θ̂ + ee)
En el caso particular en que θ = π, se tiene que
(−∞, π̂ + ee)
donde ee = z1−α
√
π̂(1−π̂)
n , reemplazando con α = 0.02, n = 800,
p̂ = 150/800 , z0.98 = 2.06 se tiene que el error de estimación está
dado por
ee = 2.06
√
150/800 · 650/800
800
= 0.0284
: , 28
Ejercicio 4
La administración de un hospital desea estimar el promedio de d́ıas de
tratamiento de pacientes hospitalizados entre las edades de 25 y 34 años.
Una muestra aleatoria de 500 pacientes hospitalizados entre estas edades
produjo una media y una desviación estándar iguales a 5.4 y 3.1 d́ıas,
respectivamente.
(a) Construya un intervalo de confianza de 95% para el peŕıodo medio
de estancia de hospitalización de los pacientes.
(b) ¿Se puede concluir que el número promedio de d́ıas hospitalizados de
los pacientes es 5 d́ıas? Utilice el nivel de significancia de 5%.
: , 29
Ejercicio 4
Solución Ejercicio 4
Sea X1, ...,Xn la m.a de n = 500 pacientes entre las edades de 25 y 34
años que representan el número de d́ıas hospitalizados. Denotemos µ la
media poblacional.
A partir de la muestra se obtuvo una media muestral de x̄ = 5.4 y
desviación estándar muestral s = 3.1 d́ıas.
(a) Como la población es desconocida pero el tamaño muestral es
grande, podemos usar el IC asintótico para µ que está dado por(
x̄ − z1−α/2
s√
n
, x̄ + z1−α/2
s√
n
)
: , 30
Ejercicio 4
Solución Ejercicio 4
Luego reemplanzando con los datos del problema, se tiene que para
α = 0.05 un IC asintótico para µ que está dado por
(5.1282, 5.6717)
(b) Se quiere evaluar si µ = 5 d́ıas. Utilizando el IC constrúıdo en la
parte (a) se tiene que el 5 no pertenece al intervalo de confianza,
por lo tanto con un 95% de confianza se puede concluir que el
número promedio de d́ıas hospitalizado es distinto a 5 d́ıas.
: , 31
Ejercicios Propuestos
1. Sea Y1,Y2, ...,Yn una m.a de tamaño n de una población con
distribución Uniforme(0, θ).
(a) Demuestre que U = max{Y1, ...,Yn}/θ es una función pivote para θ
(b) Utilizando la parte (a) construya un intervalo bilateral simétrico
(1− α)% para θ
2. Sea X1,X2, ...,Xn una m.a N(0, σ
2),
f (x |σ2) = 1√
2πσ2
e−
1
2σ2
x2 x ∈ R
(a) Construya una función pivote para σ2 basándose en el estad́ıstico
T =
∑n
i=1 X
2
i
(b) Utilizando la función pivote de la parte (a) construya un intervalo
bilateral simétrico (1− α)% para σ2
: , 32
Ejercicios Propuestos
3. Un ingeniero asegura que el tiempo que tarde un operario en realizar
una labor espećıfica tiene desviación estándar de 0.9338 minutos con
una media de 6 minutos. Para poder ratificar su afirmación, toma el
tiempo a 7 operarios:
8.5 7.5 6.0 6.8 7.3 6.6 8.0
(a) Utilizando un IC de 90% de confianza ¿Estará aún convencido el
ingeniero de que la labor en estudio tiene una desviación estándar de
0.9338?
(b) ¿Que conclusión obtiene si no dispone del valor de la desviación
estándar y desea verificar si efectivamente el tiempo medio es de 6
minutos?
: , 33
Ejercicios Propuestos
4. Sea X1, ...,Xn una m.a proveniente de la distribución exponencial de
parámetro θ. Sea Y1, ...,Ym otra m.a independiente de la anterior,
proveniente de la distribución exponencial de parámetro θ
(a) Demuestre que T = 2θ
∑n
i=1 Xi ∼ χ
2
2n
(b) Demuestre que S = θXn
λYm
∼ F (2n, 2m)
(c) Construya un IC bilateral de nivel (1− α)% para θ
λ
5. Suponga que X1, ...,Xn es una m.a proveniente de la población
f (x |θ) = θxθ−1 0 < x < 1
Construya un intervalo bilateral aproximado de nivel (1−α)% para θ
: , 34
Ejercicios Propuestos
6. Suponga que X1, ...,Xn constituye una m.a de una población Normal
con media µ y varianza σ2 desconocidas.
(a) Construya un ĺımite inferior de confianza L(X1, ...,Xn) para µ tal que
P(L(X1, ...,Xn) < µ) = 0.99
(b) Construya un ĺımite superior de confianza U(X1, ...,Xn) para σ
2 tal
que
P(σ2 < U(X1, ...,Xn)) = 0.99
: , 35