Ayudantia 1 Teórica

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 
 
 
Ayudantía N°1 
INFERENCIA ESTADISTICA 
 
Primer semestre 2020 
 
 
 
 
 
Pregunta 1 
 
El ministerio de salud, ante las circunstancias actuales, le pide a usted que realice un estudio 
sobre el consumo de mascarillas quirúrgicas. El cual consisten en estimar el consumo 
promedio mensual (per cápita) de mascarillas en la población chilena. Usted posee dos bases 
de datos independientes entre sí a su disposición, la primera (base A) corresponde a una 
m.a.s. 𝑋1, … , 𝑋𝑛 de consumo mensual de mascarillas per cápita, con una media muestral �̅� 
y varianza muestral 𝑆𝑋
2 = 
1
𝑛
∑ (𝑋𝑖 − �̅� )
2𝑛
𝑖=1 . Mientras que la base B también corresponde a 
una m.a.s. 𝑌1, … , 𝑌𝑚 de consumo mensual de mascarillas per cápita con una media y varianza 
muestral de �̅� y 𝑆𝑌
2 = 
1
𝑚
∑ (𝑌𝑖 − �̅� )
2𝑚
𝑖=1 . 
Considere el consumo de mascarillas mensual (per cápita) tiene una media poblacional 𝜇 y 
varianza poblacional 𝜎2. Tomando en cuenta que tiene dos distintos estimadores para 𝜇, los 
cuales son �̅� y �̅�, decide pedirle ayuda a un amigo el cual le entrega dos posibles estimadores 
para 𝜇: 
 
 
𝜇1̂ =
�̅�+ �̅�
2
 𝜇2̂ = 
𝑛�̅�
𝑛+𝑚
+
𝑚�̅�
𝑛+𝑚
 
 
 
 
a) Evalúe si los estimadores propuestos por su amigo son insesgados de 𝜇. 
 
b) Sea 𝜇�̂� = 𝛼�̅� + (1 − 𝛼)�̅� donde 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Encuentre el valor de 𝛼 que minimiza el 
ECM de 𝜇�̂�. 
 
c) Tomando en cuenta lo anterior, ¿Cuál es el mejor estimador de 𝜇? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta 2 
 
Considere que dispone de una muetra aleatoria simple 𝑋1, … , 𝑋𝑛 de una población con la 
siguiente distribución: 
 
 
𝑓(𝑥|𝜃) = 
𝑥
𝜃2
𝑒
−𝑥
𝜃 , 𝑥 ≥ 0, 𝜃 > 0 
 
 
a) Muestre que el EMV es igual a el EM 
 
b) Encuentre el ECM del estimador de máxima verosimilitud 
 
c) Muestre que el EMV es consistente en media cuadratica 
 
 
 
 
Pregunta 3 
 
En septiembre de 2018, Apple lanzó iOS 12, una versión de sistema operativo para 
dispositivos móviles Apple. Si bien posee varias mejoras respecto a su versión anterior, los 
usuarios se quejan de que la batería del IPhone dura mucho menos con este sistema operativo 
que él anterior. Los comentarios de los usuarios han creado interés en una compañía 
consultora para averiguar si es cierto que la nueva versión de sistema operativo tiene un 
efecto negativo sobre la duración de la batería. Para el estudio se extrajo una muestra de 𝑛 =
100 IPhone con iOS 12 y se les registro el tiempo de duración de la batería. Suponiendo que 
los tiempos X (en minutos) es una v.a con función de densidad dada por: 
 
𝑓𝑋(𝑥) = 
1
𝜃2
𝑥𝑒
−𝑥
𝜃 , 𝑥 ≥ 0 
 
A partir de la muestra se obtuvo que �̅� =
1
𝑛
∑ 𝑋𝑖 = 132 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑛
𝑖=1 y 𝑠
2 =
1
𝑛−1
∑ (𝑋𝑖 − �̅� )
2𝑛
𝑖=1 = 48 minutos. 
 
a) Encuentre el estimador máximo verosímil de 𝜃 y a partir de la muestra de una 
estimación de él. 
 
b) Encuentre el EMV del tiempo medio de la duración de la batería con el nuevo 
sistema operativo y estima la probabilidad de que este estimador esté entre 2 y 3 
horas. 
 
 
 
 
Pregunta 4 
 
Sean 𝑌1, … , 𝑌𝑛 variables aleatorias independientes tal que, 𝑌𝑖 ≈ 𝑁(𝑖, 𝜎
2). Defina las 
variables aleatorias 𝑍𝑖 = (
𝑌𝑖−𝑖
𝜎
)2 y 𝑇 = ∑ 𝑍𝑖
𝑛
𝑖=1 . 
 
 
a) Encuentre la distribución exacta de T. Calcule E(T) y Var(T). 
 
b) Encuentre la distribución aproximada de T para 𝑛 = 100, y utilícela para calcular 
P(T>120).