Ayudantía 2

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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica
Escuela de Administración UC
Material de Apoyo
Ayudant́ıa 2
: , 1
Distribuciones derivadas de la Normal
Tópicos de la Ayudant́ıa
I Distribuciones derivadas de la Normal
I Ejercicios
I Ejercicios Propuestos
: , 2
Distribuciones derivadas de la Normal
I Si Z ⇠ N(0, 1), entonces la v.a U = Z 2 tiene distribución �2(1)
I Si U
1
,U
2
, ...,Un son v.a iid �2(1), entonces V =
Pn
i=1 Ui tiene
distribución �2(n)
I Si Z ⇠ N(0, 1) y U ⇠ �2(n) son va independientes, entonces
T = Zp
U/n
tiene distribución t(n)
I Si U ⇠ �2(m) y V ⇠ �2(n) son va independientes, entonces
F = U/mV/n tiene distribución F (m, n)
: , 3
Distribuciones derivadas de la Normal
La Media y Varianza Muestral
Sean X
1
, ...,Xn son una m.a proveniente de la cualquier distribución. Se
define la media y varianza muestral por
X̄ =
1
n
nX
i=1
Xi
S2 =
1
n � 1
nX
i=1
(Xi � X̄ )2
: , 4
Distribuciones derivadas de la Normal
La Media y Varianza Muestral
Suponga que la distribución de la m.a es N(µ,�2), entonces
I La media muestral X̄ tiene distribución N
⇣
µ, �
2
n
⌘
Note que si la m.a tiene otra distribución y n es grande, entonces
por TLC la distribución de X̄ se puede aproximar por N
⇣
µ, �
2
n
⌘
I La varianza muestral no tiene una distribución conocida, pero si la
multiplicamos por un factor, (n�1)S
2
�2 se tiene que la distribución es
�2(n � 1)
I A partir de lo anterior, se tiene que la v.a
¯X�µ
S/
p
n
tiene distribución
t(n � 1)
: , 5
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 1
Utilizando el teorema de transformación de variables aleatorias demuestre
que si Z ⇠ N(0, 1) entonces la v.a U = Z 2 tiene distribución �2(1).
Calcule E (U) y Var(U)
: , 6
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
Z ⇠ N(0, 1) luego fZ (z) = 1p
2⇡
e�
z2
2 , z 2 R
Sea U = Z 2, luego Z = ±
p
U. Defina g�1
1
(z) = �
p
U y g�1
2
(z) =
p
U
Sus respectivas derivadas son
dg�1
1
(z)
du =
�1
2
p
u
y
dg�1
2
(z)
du =
1
2
p
u
Luego por teorema de transformación de v.a se tiene que
fU(u) =
����
�1
2
p
u
����
1p
2⇡
e�
(�
p
u)2
2 +
����
1
2
p
u
����
1p
2⇡
e�
(
p
u)2
2
: , 7
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
De esta manera,
fU(u) =
1p
u
1p
2⇡
e�
u
2 , u > 0
Que corresponde a la densidad de una v.a �2(1)
Note que fU(u) se puede reescribir de la siguiente forma:
fU(u) =
1p
u
1p
2⇡
e�
u
2
=
1p
⇡
✓
1
2
◆
1/2
u
1
2
�1e�
1
2
u
Por propiedades de la función gamma �(·) se tiene que �(1/2) =
p
⇡, luego
: , 8
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 1
fU(u) =
1
�(1/2)
✓
1
2
◆
1/2
u
1
2
�1e�
1
2
u
Que corresponde a la densidad de una v.a Gamma
�
1
2
, 1
2
�
Lo que se concluye que una v.a �2(1) es equivalente a una Gamma
�
1
2
, 1
2
�
Esta relación nos será de utilidad para el cálculo de E(U) y Var(U).
Recuerde que si X ⇠ Gamma(r ,�) entonces
E(X ) =
r
�
Var(X ) =
r
�2
De esta manera,
E(U) =
1/2
1/2
= 1 Var(U) =
1/2
1/4
= 2
: , 9
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 2
(a) Demuestre que si V ⇠ �2(n) entonces para n grande su distribución
se puede aproximar por una distribución Normal de media n y
varianza 2n.
(b) Sea S2 la varianza muestral de una m.a de tamaño n.
Calcule E(S2) y Var(S2).
: , 10
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
(a) Por enunciado se tiene que V ⇠ �2(n), entonces V se puede escribir
como una suma de v.a iid con distribución �2(1), es decir,
V =
nX
i=1
Ui donde Ui
iid⇠ �2(1)
Por ejercicio anterior se tiene que E (Ui ) = 1,Var(Ui ) = 2, luego
E(V ) =
nX
i=1
E(Ui ) = n
Var(V ) =
nX
i=1
Var(Ui ) = 2n
Como V es una suma de v.a iid, por TLC se puede aproximar su
distribución por una Normal con media n y varianza 2n.
: , 11
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
(b) La varianza muestral se define por S2 =
Pn
i=1(Xi� ¯X )
2
n�1 .
Se sabe que
(n � 1)S2
�2
⇠ �2(n � 1)
Luego, por parte (a) del ejercicio se tiene que la media y varianza
están dadas por
E
✓
(n � 1)S2
�2
◆
= n � 1
Var
✓
(n � 1)S2
�2
◆
= 2(n � 1)
: , 12
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 2
Despejando se obtiene,
(n � 1)
�2
E(S2) = (n � 1) ) E(S2) = �2
(n � 1)2
�4
Var(S2) = 2(n � 1) ) Var(S2) = 2�
4
n � 1
: , 13
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicio 3
Sean
X
1
, ...,X
10
una m.a de una población N(µX ,�
2)
Y
1
, ...,Y
15
una m.a de una población N(µY ,�
2)
W
1
, ...,W
20
una m.a de una población N(µW ,�
2)
Todas las muestras son independientes entre śı.
Sean S2X , S
2
Y y S
2
W las respectivas varianzas muestrales.
(a) Obtenga P
⇣
SX
SY
< 1.4365
⌘
(b) Usando la distribución de X + Y +W , construya un estad́ıstico T
tal que T ⇠ t(42)
: , 14
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
(a) Por enunciado se tiene que
S2X =
10X
i=1
(Xi � X̄ )2
9
S2Y =
15X
i=1
(Yi � Ȳ )2
14
S2W =
20X
i=1
(Wi � W̄ )2
19
Se sabe que
9S2X
�2
⇠ �2(9) 14S
2
Y
�2
⇠ �2(14) 19S
2
W
�2
⇠ �2(19)
todas independientes entre śı. De esta manera,
9S2X
�2 /9
14S2Y
�2 /14
⇠ F
9,14 )
S2X
S2Y
⇠ F
9,14
: , 15
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
Nos piden calcular,
P
✓
SX
SY
< 1.4365
◆
= P
✓
S2X
S2Y
< 2.063
◆
Lo que corresponde a calcular la probabilidad acumulada de una F
9,14 en
el valor 2.063.
Dos alternativas:
I El valor exacto de dicha probabilidad se puede obtener por medio del
software R con el comando
pf(2.063,9,14) = 0.8915
: , 16
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
I Usando las tablas F con 9 y 14 grados de libertad que se disponen
para probabilidades de 0.90, 0.95, 0.975. Para dichos valores se
obtiene
P(F < 2.12) = 0.90
P(F < 2.65) = 0.95
P(F < 3.21) = 0.975
En nuestro caso el valor más cercano a 2.063 es 2.12 por lo cual
P
✓
S2X
S2Y
< 2.063
◆
⇡ 0.90
: , 17
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
(b) Por enunciado Xi ,Yi y Wi tienen distribución Normal, luego
X ⇠ N
✓
µX ,
�2
10
◆
Y ⇠ N
✓
µY ,
�2
15
◆
W ⇠ N
✓
µW ,
�2
20
◆
y son todas independientes entre śı. Luego
X + Y +W ⇠ N
✓
µX + µY + µW ,
�2
10
+
�2
15
+
�2
20
◆
: , 18
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
Además,
9S2X
�2
⇠ �2(9) 14S
2
Y
�2
⇠ �2(14) 19S
2
W
�2
⇠ �2(19)
independientes entre śı, luego la suma de ellas también es una v.a con
distribución �2
V =
9S2X
�2
+
14S2Y
�2
+
19S2W
�2
⇠ �2(9 + 14 + 19) = �2(42)
Como (X +Y +W ) y V son v.a independientes, luego se puede construir
un estad́ıstico T con distribución t-student de la siguiente manera
: , 19
Distribuciones derivadas de la Normal
Solución Ejercicio 3
T =
(X+Y+W )�(µX+µY+µW )q
1
�2
( 1
10
+
1
15
+
1
20
)
q
1
�2
(9S2X+14S2Y+19S2W )
42
⇠ t(42)
Lo que es equivalente a
T =
(X + Y +W )� (µX + µY + µW )q
13
60·42 (9S
2
X + 14S
2
Y + 19S
2
W )
⇠ t(42)
: , 20
Distribuciones derivadas de la Normal
Ejercicios Propuestos
1. Suponga que X
1
,X
2
, ...,Xn,Xn+1 constituyen una muestra aleatoria
de una distribución Normal con media µ y varianza �2 y sea
X̄n =
1
n
nX
i=1
Xi Tn = (n
�1
nX
i=1
(Xi � X̄n)2)1/2
Determine el valor de la constante k tal que la v.a k(Xn+1 � X̄n)/Tn
tengs una distribución t-student. Especifique sus grados de libertad.
: , 21