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EAS201a - Inferencia Estad́ıstica Escuela de Administración UC Material de Apoyo Ayudant́ıa 5 : , 1 Propiedades EMV Tópicos de la Ayudant́ıa I Propiedades EMV I Distribución Asintótica EMV I Distribución Asintótica de una función del EMV I Estimadores Insesgados de Varianza Mı́nima I Ejercicios : , 2 Propiedades EMV Sea X1,X2, ...,Xn una m.a proveniente de la población f (x |θ). El EMV de θ es asintóticamente insesgado, es decir, E(θ̂)→ θ , n→∞ El EMV de θ es debilmente consistente, es decir, θ̂ → θ, en probabilidad cuando n→∞ El EMV de θ es Invariante, es decir, si g(θ) es una función continua en θ, entonces g(θ̂) es el estimador máximo verośımil de g(θ). : , 3 Propiedades EMV Para tamaños muestrales grande, la distribución del EMV se puede aproximar por una Normal de media θ y varianza la cota de Crámer- Rao: CCR(θ) dada por CCR(θ) = 1 I(θ) donde I(θ) es el número de Información de Fisher I(θ) = E ( ∂ ln L(θ) ∂θ )2 = −E ( ∂2 ln L(θ) ∂θ2 ) : , 4 Propiedades EMV Note que la varianza asintótica del EMV depende de θ, Var(θ̂) ≈ 1 I(θ) Se puede estimar reemplazando θ por el EMV, es decir, V̂ar(θ̂) ≈ 1 I(θ̂) y sigue siendo válido que θ̂ ·∼ N ( θ, 1 I(θ̂) ) : , 5 Propiedades EMV Además, el EMV de g(θ) tiene distribución asintótica Normal dada por g(θ̂) ·∼ N ( g(θ),CCR(θ) · ( ∂g(θ) ∂θ )2) De igual manera, la varianza asintótica del EMV de g(θ) depende de θ, luego un estimador de ella es ̂Var(g(θ̂)) ≈ CCR(θ̂) · ̂( ∂g(θ) ∂θ )2 : , 6 Propiedades EMV Estimadores Insesgados de Mı́nima Varianza Si θ̂ es un estimador Insesgado para θ y el recorrido de los Yi no depende de θ (condición de regularidad), entonces Var(θ̂) ≥ CCR(θ) I Este Teorema entrega una cota inferior para Var(θ̂) I Si Var(θ̂) = CCR(θ) entonces este es el único Estimador Insesgado de Varianza Mı́nima (EIMV) para θ : , 7 Propiedades EMV Ejercicio 1 Se quiere determinar la proporción p de mujeres que compran cierta marca de cereal en una cierta cadena de supermercado. En una muestra aleatoria de 700 compras de este cereal, se encontró que 580 compras fueron rea- lizadas por mujeres. Estime la probabilidad de que el EMV de la proporción de mujeres que compran el cereal sea mayor a 0.8. : , 8 Propiedades EMV Solución Ejercicio 1 Sean X1,X2, ...,X700 los individuos que compran el cereal, donde Xi es una v.a Bernoulli(p) tal que Xi = { 1 si es mujer 0 si es hombre Intersa estimar P(p̂ > 0.8) donde p̂ es el EMV de p. Cálculo p̂ : L(p) = 700∏ i=1 f (xi |θ) = 700∏ i=1 pXi · (1− p)1−Xi = p ∑700 i=1 Xi · (1− p)700− ∑700 i=1 Xi : , 9 Propiedades EMV Solución Ejercicio 1 Luego aplicando logaritmo y derivando e igualando a cero se tiene log L(p) = 700∑ i=1 Xi log(p) + (700− 700∑ i=1 Xi ) log(1− p) ∂ log L(p) ∂p = ∑700 i=1 Xi p − (700− ∑700 i=1 Xi ) (1− p) = 0 ⇒ p̂ = ∑700 i=1 Xi 700 Con los datos del problema, se tiene que una estimación de p es 0.828. : , 10 Propiedades EMV Solución Ejercicio 1 Además se tiene por propiedades de los EMV que p̂ ·∼ N ( p, 1 I(p) ) donde I(p) = −E ( ∂2 ln L(p) ∂p2 ) Note que ∂2 ln L(p) ∂p2 = − ∑700 i=1 Xi p2 − (700− ∑700 i=1 Xi ) (1− p)2 −E ( ∂2 ln L(p) ∂p2 ) = ∑700 i=1 E(Xi ) p2 + ( 700− ∑700 i=1 E(Xi ) ) (1− p)2 : , 11 Propiedades EMV Solución Ejercicio 1 Luego, I(p) = 700p p2 + (700− 700p) (1− p)2 = 700 p(1− p) Por lo tanto CCR(p) = p(1−p)700 , y aśı p̂ ·∼ N ( p, p(1−p)700 ) Cálculo de P(p̂ > 0.8) : Como el tamaño muestral es grande podemos usar la distribución asintótica de p̂ de la siguiente manera, P(p̂ > 0.8) ≈ P p̂ − p√ p(1−p) 700 > 0.8− p√ p(1−p) 700 : , 12 Propiedades EMV Solución Ejercicio 1 P(p̂ > 0.8) ≈ 1− P Z < 0.8− p√ p(1−p) 700 = g(p) Note que P(p̂ > 0.8) es una función de p, y es continua, luego por invarianza de los EMV se tiene que g(p̂) es el EMV de g(p), luego un estimador de P(p̂ > 0.8) está dado por ̂P(p̂ > 0.8) = g(p̂) = 1− P Z < 0.8− p̂√ p̂(1−p̂) 700 = 1− Φ(−1.963) = 0.9750 : , 13 Propiedades EMV Ejercicio 2 X1,X2, ...,Xn m.a de X ∼Poisson(θ). Se desea estimar P(X = 0). En- cuentre el estimador máximo verośımil de P(X = 0) y calcule la varianza aproximada del estimador. : , 14 Propiedades EMV Solución Ejercicio 2 Piden calcular el EMV de P(X = 0). Como X ∼Poisson(θ) entonces P(X = 0) = e−θ = g(θ). Note que g(·) es una función continua, luego por propiedad de invarianza de los EMV se tiene que g(θ̂) es el EMV de g(θ). Cáculo de θ̂ L(θ) = n∏ i=1 θXi e−θ Xi ! = θ ∑n i=1 Xi e−nθ∏n i=1 Xi ! log(L(θ)) = log(θ) n∑ i=1 Xi − nθ − n∑ i=1 log(Xi !) : , 15 Propiedades EMV Solución Ejercicio 2 ∂ log(L(θ)) ∂θ = 1 θ n∑ i=1 Xi − n = 0 ⇒ θ̂ = ∑n i=1 Xi n = X Por lo tanto, el EMV de g(θ) = P(X = 0) es ̂P(X = 0) = g(θ̂) = e−X̄ Por propiedades de los EMV se tiene que la varianza aproximada de g(θ̂) está dada por la Cota de Cramer-Rao de g(θ̂) dada por CCR(g(θ̂)) = (g ′(θ))2 I(θ) : , 16 Propiedades EMV Solución Ejercicio 2 Cáculo de I(θ): I(θ) = −E ( ∂2 ln L(θ) ∂θ2 ) = −E ( − 1 θ2 n∑ i=1 Xi ) = 1 θ2 n∑ i=1 E(Xi ) = n θ Además g ′(θ) = −e−θ, luego ̂Var(g(θ̂)) = CCR(g(θ̂)) = (−e−θ̂)2 n/θ̂ = θ̂e−2θ̂ n = X̄ e−2X̄ n : , 17 Propiedades EMV Ejercicio 3 El tiempo de realización en minutos de una determinada tarea dentro de un proceso industrial es una variable aleatoria con función de densidad f (x) = x θ2 e−x/θ x > 0, θ > 0 (a) Calcular el estimador máximo verośımil de E(X ) para una muestra aleatoria simple de tamaño n. (b) Mediante un muestreo aleatorio simple se han recogido los siguientes 15 tiempos de realización de la tarea: 5.56 2.23 0.58 1.37 0.21 1.98 2.44 2.71 10.12 4.69 3.47 1.73 3.51 1.19 0.97 Obtener la estimación máximo verosimil del tiempo medio de realización del proceso. : , 18 Propiedades EMV Ejercicio 3 (c) ¿Es el EMV el estimador insesgado de varianza ḿınima? (d) Para la muestra del apartado anterior, dar una aproximación de la varianza asintótica del estimador de maxima verosimilitud de θ. : , 19 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 (a) Note que la función de densidad corresponde a una distribución Gamma(2, 1θ ), luego E(X ) = 2 1/θ = 2θ = g(θ) Por propiedad de invarianza de los EMV se tiene que el EMV de E(X ) corresponde a g(θ̂) = 2θ̂, donde θ̂ es el EMV de θ. : , 20 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 Cálculo EMV de θ: L(θ) = n∏ i=1 Xi θ2 e −Xi θ = ∏n i=1 Xi θ2n e −1 θ ∑n i=1 Xi `(θ) = n∑ i=1 logXi − 2n log θ − 1 θ n∑ i=1 Xi ∂`(θ) ∂θ = −2n θ + 1 θ2 n∑ i=1 Xi = 0 ⇒ θ̂EMV = ∑n i=1 Xi 2n = 1 2 X : , 21 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 De esta manera, El EMV de E(X ) = g(θ) = 2θ es g(θ̂) = 2θ̂EMV = 2 · 1 2 X = X (b) A partir de los datos se tiene que X 15 = 2.8506 Luego a partir de la muestra la estimación máximo verośımil de E(X ) es 2.8506. : , 22 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 (c) Primero veamos si θ̂EMV es un estimador insesgado de θ E(θ̂EMV ) = E ( 1 2 X ) = 1 2 E(X ) = 1 2n n∑ i=1 E(Xi ) = 1 2n n · 2θ = θ Por lo tanto, θ̂EMV es un estimador insesgado de θ. Para ver si es el estimador de varianza ḿınima, debemos calcular Var(θ̂EMV ) y ver si es igual a la CCR(θ) : , 23 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 Cálculo de Var(θ̂EMV ): Var(θ̂EMV ) = Var ( 1 2 X ) = 1 4 Var(X ) = 1 4n2 n∑ i=1 Var(Xi ) = 1 4n2 n · 2θ2 = θ 2 2n Cálculo de CCR(θ): Por parte (a) se tiene que ∂`(θ) ∂θ = −2n θ + 1 θ2 n∑ i=1 Xi ∂2`(θ) ∂θ2 = 2n θ2 − 2 θ3 n∑ i=1 Xi : , 24 Propiedades EMV Solución Ejercicio 3 Tomando Esperanza en la última ecuación, se tiene E ( ∂2`(θ) ∂θ2 ) = E ( 2n θ2 ) − 2 θ3 n∑ i=1 E(Xi ) = 2n θ2 − 2 θ3 · n2θ = −2n θ2 Luego I(θ) = −E ( ∂2`(θ) ∂θ2 ) = 2nθ2 De esta manera, CCR(θ) = 1I(θ) = θ2 2n Como Var(θ̂EMV ) = CCR(θ), se concluye que θ̂EMV es el estimador insesgado de varianza ḿınima. : , 25
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