Ayudantías Porpuestos 2018-2

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Segundo semestre 2018
MAT1279 - Algebra Lineal - Ejercicios para ayudant́ıas
Caṕıtulo 1: Vectores en Rn
1. Decida si
[
1
3
2
]
es combinación lineal de v1 =
[
3
1
1
]
y v2 =
[
1
2
0
]
2. Decida si

 10−1
2
 ,
 110
0
 ,
 120
−1

 es linealmente independiente.
3. Decida si Gen

 100
2
 ,
 110
0

 = Gen

 320
2
 ,
 0−10
2

.
4. Escriba el conjunto
{[
1
3
]
+ α
[
2
6
]
: α ∈ R
}
como
{[
x
y
]
: y = mx+ n
}
para
algún m,n ∈ R.
5. Escriba el conjunto
{[
1
3
]
+ α
[
1
2
]
: α ∈ R
}
como
{[
x
y
]
: y = mx+ n
}
para
algún m,n ∈ R.
6. Escriba el conjunto
{
α
[
2
1
]
: α ∈ R
}
como
{[
x
y
]
: y = mx+ n
}
para algún
m,n ∈ R.
7. Escriba Gen

 10−1
2
 ,
 110
0
 ,
 2−1−3
6

 como un conjunto generado por vectores
L.I.
8. Sea α, β ∈ R. Caracterice los siguientes conjuntos
a) {α
[
1
3
]
tal que α > 1}.
1
b) {α
[
1
3
]
tal que α > 0}.
c) {α
[
1
3
]
tal que 0 < α < 1}.
d) {α
[
1
3
]
+
[
2
6
]
}.
e) {α
[
1
3
]
+
[
1
1
]
}.
f ) {α
[
1
3
]
+ β
[
1
1
]
}.
g) {α
[
1
3
]
+ β
[
1
1
]
tal que α > 0, β > 0}.
h) {α
[
1
3
]
+ β
[
1
1
]
tal que 0 < α < 1, 0 < β < 1}.
i) {α
[
1
3
]
+ β
[
1
1
]
tal que α > 0, β > 0, α + β = 1}.
j ) {α
[
1
3
]
+ β
[
1
1
]
tal que α + β = 1}.
9. Grafique
{[
1
1
]
,
[
1
2
]}
y Gen
{[
1
1
]
,
[
1
2
]}
.
10. Explique la diferencia entre {v1, v2} y Gen{v1, v2}.
11. Sean v1 = u1+3u2 y v2 = −u1+u2 vectores en R3. Demuestre que existen escalares
a, b, c, d tal que u1 = av1 + bv2 y u2 = cv1 + dv2.
12. Sean {u1, u2, u3, u4} vectores no nulos de Rn tal que u3 = 2u1−5u2+u4. Demuestre
que
a) u1 ∈ Gen{u2, u3, u4}.
b) Gen{u1, u2, u3, u4} = Gen{u1, u2, u3} = Gen{u1, u2, u4} = Gen{u1, u3, u4} =
Gen{u2, u3, u4}
13. Demuestre que Gen

 110
0
 ,
 101
0

 = Gen

 01−1
0
 ,
 211
0
 ,
 23−1
0


2
14. Sea S = {u1, u2, u3} ⊂ Rn un conjunto L.I. Demuestre que el conjunto {u1−2u2, u2+
2u3} es un conjunto L.I.
15. Sea S = {u1, u2, u3} ⊂ Rn un conjunto L.D. Demuestre que al menos uno de los
vectores de S es combinación lineal de los otros dos.
16. Demuestre que d(ei, ej) =
{
0 si i = j√
2 si i ̸= j.
para todo i, j = 1, . . . , n.
17. Escriba Gen

 10−1
2
 ,
 110
0
 ,
 2−10
1

 como un conjunto generado por vectores
ortogonales.
18. Escriba Gen

 10−1
2
 ,
 110
0
 ,
 2−1−3
6

 como un conjunto generado por vectores
ortogonales.
19. Escriba Gen

 10−1
2
 ,
 110
0
 ,
 2−1−3
6

 como un conjunto generado por vectores
ortonormales.
20. V o F
a) La suma de vectores en Rn es conmutativa.
b) El producto punto es asociativo.
c) Si u � u = 0, entonces u = 0⃗.
d) Si u � u = 1, entonces u es un vector canónico.
e) u � u u+ ∥u∥ u es un número real.
f ) Para todo u y v en Rn se tiene que ∥u+ v∥ < ∥u∥+ ∥v∥.
g) Todo conjunto generado en Rn es cerrado bajo la suma y la multiplicación por
escalar.
h) Sean v1, v2, v3 vectores en R8, entonces
Gen{v1, v2 + v3, v1 − v3} = Gen{v1 + v3, v2 − v1, v3}.
i) Si {u, v} es L.D., entonces v es un múltiplo de u.
j ) Si {u, v} es L.D, con u, v no nulos, entonces v es un múltiplo de u.
k) Existe un único conjunto de vectores en Rn que no es L.I. y no es L.D.
3
l) Sea u ∈ Rn. u ̸= 0⃗ si y sólo si {u} es L.I.
m) Si u ∈ Gen{v1, v2} , entonces Gen{u, v1} ⊆ Gen{u, v2}.
4
Caṕıtulo 2: Sistemas de ecuaciones
1. Construya una matriz A = [ai,j] de 3× 4 tal que ai,j = i+ j.
2. Sea A = [v1 v2 v3 v4] una matriz de 3× 4. Encuentre un vector x ∈ R4 tal que:
a) Ax = v1.
b) Ax = 0⃗.
c) Ax = v1 + v2.
d) Ax = 3v1 − 5v2 + 4v3 − v4.
3. Encuentre la forma escalonada reducida de las matrices:
A =

1 0 1 −2
3 0 0 1
4 4 0 2
1 2 0 −3
 B =

−2 2 0 0 −1
−2 0 4 2 −1
0 2 1 1 −3
−1 1 1 0 −1

C =
 2 −2 1−1 0 −1
1 0 3
 D =
 1 1 1 2 10 −1 −4 0 −1
2 −3 3 0 −4

4. Determine la solución general del sistema
x1 + 3x3 = 2
2x1 + x2 + 3x3 = 1
x2 + 2x3 + 5x4 = 2.
5. Determine la solución general de los siguientes sistemas:
a)
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0
x2 + x3 + x4 = 1
2x1 − x2 − 3x3 − x4 = 1.
b)
x1 + x2 + x3 = 0
−2x1 − 5x3 = −2
2x1 + x2 + 3x3 = 1.
5
6. En cada uno de los siguientes casos se entrega la forma escalonada de la matriz
ampliada de un sistema de ecuaciones. Decida cuántas ecuaciones y cuántas variables
tiene cada sistema. Luego, si existe, escriba la solución general
a)
[
1 −2 0 1
0 0 1 3
]
.
b)
[
1 −2 0 1
0 0 1 0
]
.
c)
[
1 −2 0 1
0 0 0 1
]
.
d)
 1 0 0 −10 1 0 2
0 0 1 5
.
e)
 1 0 0 −10 1 0 2
0 0 1 0
.
f )
 1 0 0 −10 1 0 2
0 0 0 1
.
g)
 1 0 0 −10 1 7 2
0 0 0 0
.
h)
 1 0 0 −10 1 0 2
0 0 0 0
.
i)

1 0 0 −1
0 1 0 2
0 0 1 4
0 0 0 1
.
j )

1 0 0 −1
0 1 0 2
0 0 1 4
0 0 0 0
.
k)

1 0 0 −1
0 1 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
.
6
7. Determine condiciones sobre a para que el siguiente sistema no tenga solución
x1 + 2x3 = 3
2x1 + x2 + x3 = 4
−x1 + ax3 = 1.
8. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde a es una constante.
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x2 + ax3 = 1
ax1 + ax2 + x3 = a
x1 − ax2 + ax3 = 0
a) Determine valores de a para los cuales el sistema es inconsistente.
b) Determine valores de a para los cuales el sistema es consistente, y encuentre la
solución.
9. Determine condiciones sobre los números p y q tal que el sistema
px1 + qx3 = q + 1/q
px2 + qx4 = q + 1/q
qx1 + px3 = p+ 1/p
qx2 + px4 = p+ 1/p
• No tenga soluciones.
• Tenga infinitas soluciones, y encuentre el conjunto solución.
• Tenga una única solución, y encuentre la solución.
10. Sea a ∈ R. Estudie la consistencia del siguiente sistema. En los casos en que exista
solución, encuéntrelas.
x1 + 2x2 = 1
x1 + 3x2 + x3 = 0
−x1 + x2 + ax3 = 2
x1 + x2 = a
Solución: 1 2 0 11 3 1 0−1 1 a 2
1 1 0 a
 ∼
 1 2 0 10 1 1 −10 3 a 3
0 −1 0 a− 1

7
∼
 1 0 −2 30 1 1 −10 0 a− 3 6
0 0 1 a− 2
 ∼
 1 0 0 2a− 10 1 0 1− a0 0 1 a− 2
0 0 a− 3 6

Por lo tanto si a = 3, el sitema no tiene solución.
Si a ̸= 3, entonces
∼
 1 0 0 2a− 10 1 0 1− a0 0 1 a− 2
0 0 0 a(5− a)

Luego, si a ̸= 0 y a ̸= 5 el sistema no tiene solución.
Si a = 0 la solución es única: x1 = −1, x2 = 1 y x3 = −2.
Si a = 5 la solución es única: x1 = 9, x2 = −4 y x3 = 3.
11. Demuestre que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas, entonces
tiene una cantidad infinita de soluciones.
Solución:
Sea u y v vectores distintos tales que solucionan el sistema Ax = b.
Entonces basta tomar cualquier vector de la forma: x = u+α(u− v) para cualquier
α ∈ R y se tiene que:
Ax = A(u+ α(u− v)) = Au+ α(Au− Av) = b+ α(b− b) = b.
12. Sean p, q ∈ R y Ax = b un sistema de ecuaciones tal que la forma escalonada
reducida de [A | b] es la matriz, 1 0 −1 1 10 1 1 0 1
0 0 0 p q

Determine si existen valores de p y de q para que:
8
a) el sistema no tenga solución,
b) el sistema tenga solución única y en tal caso encuéntrela,
c) el sistema tenga infinitas soluciones y en tal caso encuéntrelas,
d) columnas de A sean L.I.,
e) filas de A sean L.I.
13. V o F
a) Reemplazar una fila por el doble de ella más el doble de otra es una operación
elemental.
b) Reemplazar los elementos de una fila por los inversos aditivos de sus elementos
es una operación elemental.
c) Reemplazar los elementos de una fila por los inversos multiplicativos de sus
elementos es una operación elemental.
d) Existen matrices de 2× 2 tal que la suma de los elementos de cada fila y cada
columna es 1.
e) Si u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u + 7v es solución de
Ax = 8b.
f ) Existen vectores u, v, w ∈ R4 tal que
u+ v =
 101
1
, u+ 2v + w =
 1−11
0
 y v + 2w =
 002
0
.
g) Existe un sistema con más variablesque columnas, pero que no tiene solución.
h) Existe una única parábola que pasa por los puntos (1, 3), (2, 5) y (3, 9).
i) Si A es una matriz de n×m con n < m, entonces el sistema Ax = 0⃗ no puede
tener infinitas soluciones.
j ) Todo sistema homogéneo tiene infinitas soluciones.
k) Los únicos sistemas que tienen solución única son aquellos que tienen igual
número de variables y ecuaciones.
l) Dado un conjunto solución S, existen infinitos sistemas Ax = b tal que la
solución del sistema es S.
m) Si una matriz A es de 3×4, entonces el sistema Ax = 0⃗ tiene infinitas soluciones.
9
Caṕıtulo 3: Matrices
1. Determine A = (aij) de tamaño
a) (5× 6) tal que aij = min{i, j}
b) (3× 4) tal que aij = max{i, j}
c) (4× 4) tal que aij = 2i− j
d) (4× 3) tal que aij = 2i+ j
e) (2× 3) tal que aij = i2 − j2
f ) (3× 3) tal que aij =
{
i2 si i = j
j si i ̸= j
2. Sean v1, v2, v3 ∈ R2, A = [v1 v2 v3] de 2× 3 y B = [v2 2v2] de 2× 2 tal que
A ·
 1 10 0
1 −1
 = B.
Calcule A ·
 −1 −11 2
−1 1
.
3. Sea A = (aij) una matriz cuadrada de tamaño 3× 3 donde
aij =
{
1 si i+ 1 = j
0 si i+ 1 ̸= j
Pruebe que A3 = 0 y A2 ̸= 0.
4. Muestre con un ejemplo que el producto de matrices no siempre es conmutativo
5. Calcule An para todo n ∈ N si
a) A =
[
1 1
0 1
]
.
b) A =
 1 1 00 1 1
0 0 1
.
6. Encuentre todas las matrices (2× 2) que conmutan con
10
a)
[
1 0
0 3
]
.
b)
[
1 1
1 0
]
.
7. Sea A =
 2 01 1
1 −1
 y B =
 −11
1
.
a) Calcule A(AtA)−1At.
b) Calcule B(BtB)−1Bt.
c) Muestre que A(AtA)−1At +B(BtB)−1Bt = I.
8. Sea A una matriz de n×m con columnas L.I. Demuestre que si P = A(AtA)−1At,
entonces P 2 = P y P = P t.
9. Sea A una matriz de 3× 3 tal que
A
[
1
0
1
]
=
[
1
1
1
]
, A
[
1
−2
−4
]
=
[
1
0
1
]
, A
[
−1
1
1
]
=
[
2
1
1
]
Calcule A−1.
10. Sea B una matriz cuadrada tal que B3−B2− 5B+5I = 0. Escriba B−1 en función
de B.
11. Sea A =
[
a b
c d
]
. Demuestre que A es invertible si y sólo si ad− bc ̸= 0.
12. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una fila de ceros entonces no es inver-
tible.
13. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene una columna de ceros entonces no es
invertible.
14. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A2 = 0, entonces I − A es
invertible.
11
15. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que A3 = 0, entonces I − A es
invertible.
16. Demuestre que el producto de matrices triangulares superiores (inferiores) de 3× 3
es una matriz triangular superior (inferior).
17. Si A es una matriz antisimétrica, demuestre que A2 es simétrica.
18. Demuestre que para toda A cuadrada, la matriz
(A+ At)
2
es simétrica y la matriz
(A− At)
2
es antisimétrica.
19. Calcule la inversa de las siguientes matrices
A =
[
1 −2
3 0
]
B =
[
1 2 0
1 2 −1
0 0 −3
]
C =
[
2 7
3 8
]
D =
[
1 1 0
0 1 1
1 0 0
]
20. Sea A = [v1 v2 v3] una matriz de n× 3. Demuestre que:
Si AtA es
[
1 0 0
0 1 0
0 0 0
]
entonces {v1, v2, v3} es L.D.
21. Sea A de 3× 4 tal que existen v1, v2, v3 ∈ R4 tales que
Av1 =
[
1
1
0
]
, Av2 =
[
0
1
2
]
, Av3 =
[
1
1
−1
]
a) Demuestre que el sistema Ax = b es consistente para todo b ∈ R3
b) Determine un vector x ∈ R4 tal que Ax =
[
1
2
3
]
22. ¿Existe una matriz de 2 × 3 tal que la suma de cada fila y cada columna sea 1?
(Construya un sistema de ecuaciones y luego decida si es consistente).
23. V o F
a) Si los sistemas Ax =
[
1
2
]
y Ax =
[
1
5
]
son consistentes, entonces el sistema
Ax = b es consistente para todo b ∈ R2.
12
b) Si A es de 2 × 5 y Ax =
[
1
2
]
tiene solución, entonces Ax =
[
2
1
]
tiene
solución.
c) Si una matriz A es de 3× 3, entonces el sistema Ax = 0⃗ tiene solución única.
d) Si una matriz A es de 3×3, entonces el sistema Ax = b no puede tener infinitas
soluciones.
e) La suma de matrices es cerrada.
f ) El producto de matrices no es conmutativo.
g) Si A es de 3× 4, entonces AtA es de 3× 3.
h) Si A y B son matrices de n× n, entonces (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
i) Sea A de n× n, entonces el rango de A es n.
j ) Sea A de n×m tal que n < m, entonces las columnas de A son L.D.
k) Sea A de n×m tal que sus filas forman un conjunto L.D., entonces n ≥ m.
l) Si A tiene columnas L.I. y Ax = b tiene solución, entonces esta solución es
única.
m) Si A es de 2× 3 tal que Ax =
[
1
1
]
y Ax =
[
1
2
]
tienen solución, entonces las
filas de A son L.I.
n) Si A y B son matrices cuadradas tal que AB = A, entonces B es la matriz
identidad.
ñ) Si A y B son matrices simétricas de 3× 3, entonces AB es simétrica.
o) Toda matriz simétrica es invertible.
p) Toda matriz antisimétrica es invertible.
q) Si A es cuadrada, y existe B tal que AB = I, entonces BA = I.
r) Si A es cuadrada, y existe B tal que AB = I, entonces A5B5 = I.
s) Si A es cuadrada, y existe B tal que AB = I, entonces (A−B)2 = A2 +B2.
t) Si A es cuadrada e invertible, entonces existe una matriz B tal que ABA−1 ̸= B.
u) Si A es invertible, entonces no pueden existir ceros en su diagonal.
v) Si A es la inversa de BAB, entonces B es invertible.
w) Si ABC es invertible, entonces A, B y C son invertibles.
13
Caṕıtulo 4: Bases
1. Demuestre que el vector coordenado es único.
2. Decida si los siguientes conjuntos forman una base.
a)
{(
1
3
)
,
(
3
4
)}
de R3.
b)

 12
0
 ,
 34
2
 ,
 11
−1
 de R3.
c)


1
0
0
1
 ,

3
4
2
1
 ,

1
1
−1
−1
 ,

0
1
−1
0

 de R4.
3. Escriba el vector coordenado de
 21
−1
 con respecto a la base

 11
0
 ,
 01
1
 ,
 13
7

de R3
4. Encuentre una base de R3 tal que sus primeros dos elementos son

 11
5
 ,
 01
6

5. Determine valores de k ∈ R tal que los vectores columna de la matriz A sean una
base de R3, donde
A =
 −1 k −1k −3 0
−3 5 −1

6. Determine una matriz P tal que P [x]1 = [x]2 para todo x ∈ R3, si:
B1 =

 11
0
 ,
 01
1
 ,
 13
7
 y B2 =

 12
0
 ,
 25
1
 ,
 00
1
.
7. Determine una base B1 tal que P [x]1 = [x]2 para todo x ∈ R3, si:
P =
 1 0 −11 −3 0
2 1 −1
 y B2 =

 12
0
 ,
 25
1
 ,
 00
1
.
14
8. Determine una base B2 tal que P [x]1 = [x]2 para todo x ∈ R3, si:
B1 =

 11
0
 ,
 01
1
 ,
 13
7
 y P =
 1 0 11 1 0
2 1 −1
.
15
Caṕıtulo 5: Transformaciones lineales
1. Decida cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales y en tal caso
determine Ker(T ), Im(T ).
a) T : R3 → R3, dada por
T (−→x ) = ||−→x ||a con a =
 11
2

b) T : R3 → R, dada por
T (−→x ) = ||−→x ||
c) T : R4 → R4, dada por
T


a
b
c
d

 =


3a− b+ 7c+ d
4a+ b− c
c+ 3b− d
a+ b+ c− d


d) T : R4 → R4, dada por
T


a
b
c
d

 =


a− b+ 3c
d+ a− b+ c
2c+ d− a
a− b+ c− 2d


2. Sea A =
[
1 1 −1 1
2 1 0 1
3 −1 1 3
]
.
a) Calcule el Ker(A) y la Im(A).
Solución:
A ∼
[
1 1 −1 1
0 −1 2 −1
0 −4 4 0
]
∼
[
1 0 1 0
0 1 −2 1
0 0 −4 4
]
∼
[
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 −1
]
Entonces se tiene que Ker(A) = Gen{
 −111
1
}
y se tiene que Im(A) = Gen{
[
1
2
3
]
,
[
1
1
−1
]
,
[
−1
0
1
]
}
16
b) Decida (justificadamente) si A es inyectiva y/o sobre.
Solución:
Dado que el rango de A es 3 que es el mismo que el número de filas de la
matriz, se tiene que A es sobre.
Dado que el rango de A es 3 que es el mayor que el número de columnas de la
matriz, se tiene que A no es inyectiva.
3. En cada caso calcule una base de Ker(A), Im(A), C(A) y F (A). Además determi-
ne la linealidad de sus filas y columnas. Por último decida si son inyectivas y/o
sobreyectivas.
a)
[
1 0 0
1 1 0
1 −1 1
]
b)
[
1 2 3 −1
1 1 0 1
1 −1 1 2
]
c)
 1 2 31 1 31 −1 2
3 −1 4

4. Sea A de 3× 4 tal que la F.E.R. de [A | I] es 1 0 −1 0 1 2 30 1 2 0 0 1 −1
0 0 0 1 2 1 1

Sin calcular A ni At:
a) Determine el Ker(A).
b) Determine el F (A).
c) Determine el Ker(At).
d) Determine la solución general de Atx =
 000
1
.17
5. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que T
[
0
0
1
]
= T
[
1
1
]
, T
[
1
−1
2
]
=
T
[
1
2
]
y T
[
1
2
5
]
= T
[
1
3
]
.
Encuentre la forma general de T .
6. Decida si es cierto que si A es una matriz de n×m, entonces m+Dim(Ker(At)) =
n+Dim(Ker(A)).
7. V o F
a) Sea A una matriz de 3× 4. El rango de A es 3 si y sólo si Ker(At) = {⃗0}.
b) Sean A y B matrices de n × n. Im(B) ⊂ Ker(A) si y sólo si AB es la matriz
nula.
18
Caṕıtulo 6: Determinantes
1. Sea A ∈ M4(R) tal que |A| = 5, encuentre |2A|, |4A|, |2kA|, |A5|, | − A|, |A−1|,
||A|A−1|, |A−3|, ||A|A|
2. Sea A de 5× 5 tal que Det(A− I) = 0.
Demuestre que existe v ∈ R5 tal que Av = v.
3. Sea A de 4 × 4 tal que existen v1, v2, v3, v4 ∈ R4 linealmente independientes tales
que
Av1 = v1 + 2v2 + 3v3 + 4v4
Av2 = v1 + 2v2 + 3v3
Av3 = v1 + 2v2
Av4 = v1
Demuestre que Det(A) es un número natural múltiplo de 4.
4. Dé un ejemplo de matrices tal que |A+B| ̸= |A|+ |B|.
5. Sea A = [v1 v2 . . . vn−1 vn] y B = [vn vn−1 . . . v2 v1]
t. Encuentre una relación entre
|A| y |B|
6. Sea A ∈ M3(R) tal que Ae2 = 8e2. Demuestre que |A− 8I| = 0
7. Usando determinantes, determine el valor de k tal que las siguientes matrices sean
invertibles
(a)

2 1 0 k
1 2 k 0
2 k 1 0
k 1 2 0
 (b)
 k 1 k0 k 1
1 k 0

8. Resuelva la ecuación Det(A) = 0, con
A =
 1 1 x2 2 2
3 x 3

9. Calcule la inversa de las siguientes matrices mediante la matriz adjunta
(a)
 1 1 12 3 4
5 6 7
 (b)
 1 0 31 2 0
0 2 3

19
10. Demuestre que Det
 x+ 1 0 x+ 2 00 x+ 3 0 x+ 4x+ 5 0 x+ 6 0
0 x+ 7 0 x+ 8
 no depende de x.
11. Sea a ∈ R, calcule el determinante de la siguiente matriz de n× n
a 1 1 · · · 1 1
1 a 1 · · · 1 1
1 1 a · · · 1 1
...
. . .
...
1 1 1 · · · a 1
1 1 1 · · · 1 a

Solución:
Si a = 1, quedan todas las filas iguales y entonces el determinante es 0.
Haciendo las operaciones: Fi → Fi − Fi+1, para i = 1, . . . , n− 1 queda:
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a− 1 1− a 0 · · · 0 0
0 a− 1 1− a · · · 0 0
0 0 a− 1 · · · 0 0
...
. . .
...
0 0 0 · · · a− 1 1− a
1 1 1 · · · 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Haciendo las operaciones: Fi → (1/(a− 1))Fi, para i = 1, . . . , n− 1 queda:
= (a− 1)n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 · · · 0 0
0 1 −1 · · · 0 0
0 0 1 · · · 0 0
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1 −1
1 1 1 · · · 1 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Haciendo las operaciones: Fn → Fn − F1, . . ., Fn → Fn − Fn−1 queda:
= (a− 1)n−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 · · · 0 0
0 1 −1 · · · 0 0
0 0 1 · · · 0 0
...
. . .
...
0 0 0 · · · 1 −1
0 0 0 · · · 0 a+ n− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
20
Queda una matriz diagonal, entonces el determinante pedido es:
(a− 1)n−1(a+ n− 1).
12. Sean v1, v2, v3 vectores linealmente independientes de R3 y A matriz de 3 × 3, tal
que: Av1 = v2, Av2 = v3 y Av3 = v1. Demuestre que Adj(A) = A
−1.
Solución:
Matricialmente se tiene:
A · [v1 v2 v3] = [v2 v3 v1].
Tomando determinantes queda |A · [v1 v2 v3]| = |A| · |[v1 v2 v3]| = |[v2 v3 v1]|.
Dado que |[v2 v3 v1]| = −|[v3 v2 v1]| = |[v1 v2 v3]|,
se tiene que |A| · |[v1 v2 v3]| = |[v1 v2 v3]|.
Pero v1, v2, v3 es LI, entonces la matriz [v1 v2 v3] es invertible, por lo tanto su deter-
minantes es distinto de 0.
Luego |A| = 1.
Dado que A · Adj(A) = 1 · I, entonces Adj(A) = A−1.
13. Sean a, b ∈ R, calcule el determinante de la siguiente matriz de n× n
a b b · · · b b
b a b · · · b b
b b a · · · b b
...
. . .
...
b b b · · · a b
b b b · · · b a

14. V o F
a) Si A es invertible, entonces Adj(A) es invertible.
21
b) Si una matriz A de 7× 7 y antisimétrica, entonces no es invertible.
c) Si existe un vector no nulo u tal que Au = cu, con c ∈ R, entonces Det(A−cI) =
0.
d) Existen matrices tal que |A+B| = |A|+ |B|.
e) Existe una matriz tal que 2|A| = |2A|.
f ) Existe una matriz tal que para todo c ∈ R, c|A| = |cA|.
g) Si A es de n× n y |A| = 5, entonces |At| = 5.
h) Si A es de n× n y |A| = 5, entonces |Adj(A)| = 1/5.
i) Si A es de n× n, entonces |A+ A| = n2|A|.
j ) Si A es una matriz simétrica, entonces Adj(A) es simétrica.
22
Caṕıtulo 7: Valores propios
1. Determine valores y vectores propios, multiplicidades y espacios propios de las si-
guientes matrices
a)
[
2 2 3
0 3 0
0 1 3
]
b)
[
2 2 3
0 3 0
0 1 4
]
c)
[
1 0 1
0 0 0
1 0 1
]
d)
[
1 0 1
0 2 0
1 0 1
]
2. Demuestre que si A ∈ Mn(R) es invertible, entonces los rećıprocos de sus valores
propios son valores propios de A−1.
3. Sea A de n×n tal que A8 = 7A7. Pruebe que si 7 no es valor propio de A, entonces
A es no invertible.
4. Sea A =
[
a b
0 1
]
. Encuentre condiciones sobre los coeficientes de la matriz para
que
a) 0 sea un valor propio de A.
b) A tenga un único valor propio.
c) A sea diagonalizable.
5. Demuestre que la matriz
[
a a− 1
a+ 1 a
]
es diagonalizable si y sólo si |a| > 1
6. Si A es una matriz cuadrada tal que A2 = A, demuestre que la matriz sólo admite
los valores propios 0 y 1.
7. Sea A de 3× 3 y e1, e2, e3 vectores canónicos de R3 tal que
A(e1 + e2) = e3
A(e1 + e3) = e2
A(e1) = 3e1
23
Encuentre y diagonalice A.
8. Sea A de 3× 3 simétrica con valores propios λ, λ+1, λ+2, con λ ∈ R. Muestre que
existe a ∈ R tal que la matriz A+ aI tiene sólo valores propios positivos.
9. Si R3 = Gen{v1, v2, v3}, y T : V → V lineal tal que Ker(T ) = Gen{v1+v2, v1+v3}
y Im(T ) = Gen{v1}.
Decida justificadamente si T es diagonalizable.
10. Sea A ∈ Mn(R) y a ∈ R. Demuestre que A es diagonalizable si y sólo si A + aI es
diagonalizable.
11. Sea A ∈ Mn(R) tal que A2 = A + 2I. Pruebe que si 2 no es valor propio de A,
entonces A+ I es no invertible.
12. Diagonalice A =
[
2 0 1
0 1 0
1 0 2
]
.
13. Calcule ĺım
k→∞
Ak, con A =
[
2/3 1/3
1/3 2/3
]
.
14. Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = 2A + 3I. Demuestre que si 3 no es valor
propio de A, entonces A+ I es no invertible.
Solución:
Se tiene que A2 − 2A− 3I = 0, entonces (A− 3I)(A+ I) = 0.
Tomando determinantes:
|A− 3I| · |A+ I| = 0.
Dado que 3 no es valor propio de A, entonces |A− 3I| ̸= 0.
Por lo tanto |A+ I| = 0 y entonces A+ I es no invertible.
24
15. Sea A una matriz de 3× 3 tal que A
[
1
2
3
]
=
[
2
4
6
]
y la forma escalonada reducida
de A es
[
1 0 −1
0 0 0
0 0 0
]
.
Diagonalice A.
Solución:
De la escalonada reducida Ker(A) = Gen{(0, 1, 0)t, (1, 0, 1)t}.
Por lo tanto 0 es un valor propio de A con m.g. = 2.
Además A(1, 2, 3)t = 2(1, 2, 3)t.
Por lo tanto 2 es un valor propio de A con m.g. = 1. (no puede ser mayor pues la
matriz es de 3× 3).
La diagonalización queda:
P =
[
0 1 1
1 0 2
0 1 3
]
.
D =
[
0 0 0
0 0 0
0 0 2
]
.
P−1 =
[
1 1 −1
3/2 0 −1/2
−1/2 0 1/2
]
.
16. V o F
a) A cuadrada es invertible si y sólo si 0 es valor propio de A.
b) Si A cuadrada no tiene el 0 como valor propio, entonces A es invertible.
c) Si A es una matriz tal que At = −A, entonces 0 es valor propio de A.
d) Si A es una matriz tal que A2 = I, entonces 1 es valor propio de A.
e) Sea A cuadrada. A y At tienen los mismos valores propios.
f ) Sea A una matriz tal que At
[
2
1
]
=
[
4
2
]
. Entonces |2I − A| = 0.
25
g) La matriz A =
[
1 2 3
0 2 1
0 0 2
]
es diagonalizable.
h) Si una matriz A cuadrada es diagonalizable, entonces A es invertible.
i) Si una matriz A cuadrada es invertible, entonces A es diagonalizable.
j ) Sea A de n× n. A es diagonalizable si y sólo si At es diagonalizable.
k) Sea A una matriz cuadrada e invertible. A es diagonalizable si y sólo si A−1 es
diagonalizable.
l) Sea A una matriz de 3×3. Si el polinomios caracteŕıstico de A tiene tres ráıces
reales, entonces A es diagonalizable.
m) La suma de matrices diagonalizables es diagonalizable.
n) Si una matriz cuadrada A tiene sólo valores propios reales, entonces A es
simétrica.
ñ) Si una matriz A tiene vectores columnas ortonormales, entonces sus vectores
fila también son ortonormales.
o) Sea A una matriz cuadrada. Entonces A+ At es diagonalizable.
26