Ayudantía Consumo (Pauta)

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Ayudant́ıa control 2
Profesor Loris Rubini
Asistentes: Andrés Garćıa e Isidora Echaurren
1. Un individuo vive por dos peŕıodos. Su utilidad es
√
c1 + βE
√
c2
El individuo genera su ingreso en base al trabajo, donde cada peŕıodo en el que está
empleado recibe un salario de $10. Sin embargo, el individuo corre el riesgo de ser
despedido por incompetente. Su probabilidad de despido es 20%, en cuyo caso no
ganará nada. Asuma que β = 1 y r = 0.
(a) Suponga que en el peŕıodo 1 el individuo está empleado. Plantee el problema
de maximización del individuo.
max
c1,c2(1),c2(2)
√
c1 + βE
√
c2 =
max
c1,c2(1),c2(2)
√
c1 + β[0, 8
√
c2(1) + 0, 2
√
c2(1)]
s.a.
c1 + a = 10
c2(1) = 10 + a(1 + r)
c2(2) = a(1 + r)
(b) Encuentre las condiciones de primer orden del problema.
El Lagrangiano es
L =
√
c1 + β[0, 8
√
c2(1) + 0, 2
√
c2(1)]+
λ1 [10− (c1 + a)] + λ2(1) [10 + a(1 + r)− c2(1)] + λ2(2) [a(1 + r)− c2(2)]
c1 : u
′(c1) = λ1
c2(1) : 0, 8u
′(c2(1)) = λ2(1)(1 + r)
c2(2) : 0, 2u
′(c2(2)) = λ2(2)(1 + r)
Juntando todo esto
u′(c1) = (1 + r)(λ2(1) + λ2(2)) = (1 + r)(0, 8u
′(c2(1)) + 0, 2u
′(c2(2))) =
u′(c1) = β(1 + r)Eu
′(c2)⇒
c
−1/2
1 = 0, 8c2(1)
−1/2 + 0, 2c2(2)
−1/2
c1 + a = 10
c2(1) = 10 + a(1 + r)
c2(2) = a(1 + r)
1
(c) Muestre que el ahorro el primer peŕıodo será positivo
(10− a)−1/2 = 0, 8(10 + a)−1/2 + 0, 2a−1/2
Si a → 0 ⇒ lado izq. → 10−1/2, lado der. → ∞. También, ∂ lado izq.
∂a
>
0, ∂ lado der.
∂a
< 0⇒ a > 0. Ver figura.
(d) (Dif́ıcil) Pruebe que hay ahorro precautorio. Ayuda: primero plantee qué
significa que haya ahorro precautorio, después determine un nivel de ahorro
mı́nimo tal que si el ahorro es mayor a ese nive mı́nimo, habrá ahorro precau-
torio. Por último, muestre que el ahorro debe ser mayor a ese nivel mı́nimo
para satisfacer las condiciones de primer orden.
Ahorro precautorio significa que
c1 < Ec2 = 0, 8c2(1) + 0, 2c2(2)⇒
10− a < 0, 8(10 + a) + 0, 2a = 8 + a
El nivel mı́nimo de ahorro para que sea precautorio debe satisfacer
10− a = 8 + a⇒ a = 1
O sea, si a > 1, habrá ahorro precautorio. Insertando esto en la condición de
primer orden,
(10− a)−1/2 = 9−1/2 = 0, 33
0, 8(10 + a)−1/2 + 0, 2a−1/2 = 0, 8× 11−1/2 + 0, 2 = 0, 44
2
Como antes probamos que ∂ lado izq.
∂a
> 0, ∂ lado der.
∂a
< 0, podemos usar este
resultado para demostrar que a tiene que ser mayor a 1.
2. Imagine una economı́a donde los individuos viven por 35 años. Su función de utilidad
es
U = max
{ct}
35∑
t=1
(0, 91)t−1 log ct
Cada peŕıodo, enfrentan la siguiente restricción presupuestaria:
ct + at = Yt + at−1(1 + r)
donde at es el ahorro (deuda) que paga (hay que pagar) en el peŕıodo t+1. Suponga
que a0 = 0. Su ingreso depende de la edad de la siguiente forma
Y1 = Y2 = · · · = Y10 = 10
Y11 = Y12 = · · · = Y30 = 20
Y31 = Y32 = · · · = Y35 = 15
(a) Muestre que las 65 restricciones presupuestarias se pueden escribir como una
sola restricción.
De la restricción en t + 1, despejamos at e introducimos esto en la restricción
en t. Llegamos a
35∑
t=1
(
1
1 + r
)t
ct + a36 =
35∑
t=1
(
1
1 + r
)t
Yt + a0(1 + r)
En el óptimo, sabemos que a36 = 0.
(b) ¿Bajo qué condiciones el consumidor elegirá un patrón de consumo constante?
Demuéstrelo.
De la ecuacion de Euler
ct+1
0, 9ct
= 1 + r ⇒ ct = ct+1 ⇐⇒ r = 1− 1/0, 9
(c) Suponga que se cumplen las condiciones en (2b). ¿Cúanto es el consumo del
individuo en cada peŕıodo?
Sea Wt el valor presente del ingreso del individuo. Sabemos que
Wt = c̄
35∑
t=1
(
1
1 + r
)t−1
3
35∑
t=1
(
1
1 + r
)t−1
=
34∑
t=0
(
1
1 + r
)t
=
∞∑
t=0
(
1
1 + r
)t
−
∞∑
t=35
(
1
1 + r
)t
=
∞∑
t=0
(
1
1 + r
)t
−
∞∑
t=35
(
1
1 + r
)t
=
∞∑
t=0
(
1
1 + r
)t
−
(
1
1 + r
)35 ∞∑
t=0
(
1
1 + r
)t
=
(
1 + r
r
)(
1−
(
1
1 + r
)35)
= 11× (1− 0, 04) = 10, 56
Entonces,
c̄ =
Wt
10, 56
donde
Wt =10
10∑
t=1
(
1
1 + r
)t−1
+ 20
30∑
t=11
(
1
1 + r
)t−1
+ 15
35∑
t=31
(
1
1 + r
)t−1
=10
9∑
t=0
(
1
1 + r
)t
+ 20
(
1
1 + r
)10 19∑
t=0
(
1
1 + r
)t
+ 15
(
1
1 + r
)30 4∑
t=0
(
1
1 + r
)t
=10
((
1 + r
r
)(
1−
(
1
1 + r
)10))
+
20
(
1
1 + r
)10((
1 + r
r
)(
1−
(
1
1 + r
)20))
+
15
(
1
1 + r
)30((
1 + r
r
)(
1−
(
1
1 + r
)5))
3. Considere un individuo que vive por dos peŕıodos y maximiza la siguiente función
de utilidad:
U(c1, c2) = min{c1, c2}
El individuo recibe su ingreso Y repartido en los dos peŕıodos. En 1 recibe αY y en
2 recibe (1− α)Y . Suponga que la tasa de inters es r.
(a) ¿Cuál es el ahorro óptimo?
En este caso sabemos que el individuo elegirá c1 = c2, y el nivel de consumo
vendrá dado por la igualdad del valor presente del consumo y del ingreso,
entonces tenemos que:
c1(1 + 1/(1 + r)) = Y (α + (1− α)/(1 + r))
4
De donde se llega a:
c1 = c2 = Y ((1 + αr)/(2 + r))
Y por tanto:
S = αY − c1 = Y ((2α− 1)/(2 + r))
(b) Discuta el efecto de un aumento de r sobre el ahorro cuando α = 0 y α = 1.
¿Es posible que el ahorro se reduzca cuando sube la tasa de interés?
Note que si α = 1, todo el ingreso se recibe en el peŕıodo 1 y el ahorro cae con
un alza de la tasa de interés. Aqúı sólo hay efecto ingreso ya que este individuo
no sustituye intertemporalmente, y como es ahorrador, se beneficia del alza de
la tasa que el permite aumentar su consumo en ambos peŕıodos reduciendo el
ahorro. Este individuo es más rico cuando sube la tasa. El caso opuesto ocurre
cuando α = 0, es decir todo el ingreso se recibe en el peŕıodo 2. En este caso
el individuo es un deudor, el cual se empobrece cuando la tasa sube y baja su
consumo en ambos peŕıodos con un alza de tasas, aumentando su ahorro.
4. En clase vimos que si el consumo aumenta, disminuye, o es constante en el tiempo
depende de la relacion entre β y r. Pero el modelo visto no permite por una relación
no monótona entre el consumo y el ingreso, como sucede en los datos en EE.UU.
y Polonia. Discuta qué tipo de fallas hay en el modelo que puede explicar por
qué observamos patrones no monótonos en los datos. Su explicación, ¿sirve para
entender las diferencias entre EE.UU. y Polonia?
Las razones pueden ser varias. Una que discutimos en clase es la siguiente: si hay
restricciones al crédito, por ejemplo a ≥ 0, el individuo no puede consumir más
de su ingreso al principio, cuando su ingreso es bajo. Si las restricciones son más
estrictas en Polonia que en EE.UU., la correlación entre ingreso y consumo debeŕıa
ser más alta en Polonia, como vemos en los datos.
5
Figure 1: Estados Unidos
CONSUMPTION OVER THE LIFE CYCLE 67 
Thousands of 1987 dollars 
27 
Consumption (smoothed) 
26 O Consumption (raw) 
25 - 
21 
17 , , l , , l l 25 30 35 40 45 50 55 60 65 
Age 
FIGURE 2- Household consumption and income over the life cycle. 
and interest income and, as noted, those expenditures subtracted from consump- 
tion. The first two adjustments are saving in illiquid form and so are available to 
the household only after retirement. We remove asset income since the input to 
our theoretical model is a profile of income net of liquid asset returns. Consis- 
tent with the spirit of our model, all items removed from income involve a large 
amount of commitment and are hard to substitute intertemporally. 
Finally, we put all data into real 1987 dollars using the Gross Domestic Product 
implicit price deflator for personal consumption expenditures.31 
5.3. Life Cycle Profiles 
Figure 2 presents consumption (raw and smoothed) and income profiles for 
our entire sample when the family-size is held constant over the life-cycle. Even 
after correcting for the effects of cohort, time, and family, both profiles are still 
hump shaped and track each other early in life. Consumption lies above income 
over the late twenties. Given that the CEX wealth data, and better household 
wealth surveys, show modest increases in liquid wealth over these ranges, this fea- 
ture seems likely due to misreporting of income or consumption. One possibility 
is underreporting the assistance that is providedby intergenerational transfers 
early in life. After these first few years, consumption rises with income from age 
30 to age 45, when consumption drops significantly below income. This tracking 
is however a lot less than is observed in profiles constructed by simply averaging 
cross-sections because we control for changes in family size and cohorts effects. 
31 t is important not to use different deflators for income and consumption. This could break 
the relationship between cash on hand and consumption in nominal terms, which is the relationlship 
predicted by the buffer-stock theory. 
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All use subject to JSTOR Terms and Conditions
6
Figure 2: Polonia
Figures and tables
:25.,1*�3$3(5�1R����� 21
5
Figure 3: Average income and consumption over the life cycle
20 30 40 50 60 70 80
6.
4
6.
6
6.
8
7.
0
7.
2
age of household head
m
ea
n 
of
 th
e 
lo
ga
rit
hm
 o
f i
nc
om
e/
co
ns
um
pt
io
n
Notes: black line - consumption; blue line - income; dashed lines - 95% boot-
strap confidence intervals; estimates based on the Polish HBS 2000-2010, adult
equivalent (square root equivalence scale).
25
Figure 4: Inequality in income over the life cycle
20 30 40 50 60 70 80
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
age of household head
va
ria
nc
e 
of
 th
e 
lo
ga
rit
hm
 o
f i
nc
om
e
Notes: black line - square root equivalence scale; blue line - household level;
dashed lines - 95% bootstrap confidence intervals; estimates based on the Polish
HBS 2000-2010.
26
Figure 4: Inequality in income over the life cycle
20 30 40 50 60 70 80
0.
2
0.
3
0.
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0.
5
age of household head
va
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hm
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Notes: black line - square root equivalence scale; blue line - household level;
dashed lines - 95% bootstrap confidence intervals; estimates based on the Polish
HBS 2000-2010.
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Figure 3: Average income and consumption over the life cycle
20 30 40 50 60 70 80
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Notes: black line - consumption; blue line - income; dashed lines - 95% boot-
strap confidence intervals; estimates based on the Polish HBS 2000-2010, adult
equivalent (square root equivalence scale).
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