Ayudantía5-Pauta

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PAUTA
Ayudantía 5
Macroeconomía I
Profesor: Matias Tapia
Ayudantes: Vicente Breguel Gallaher y Sebastián Schindler
29 de septiembre, 2017.
1. Las rosquillas de Homero
La función de utilidad de Homero Simpson se puede escribir como:
U =
TX
1
u(ci � ↵ci�1) + v(xi)
donde u y v son funciones crecientes y cónvacas, y 0 < ↵ < 1. En cada periodo, la utilidad de Homero
depende de su consumo de rosquillas en el periodo, ci, su consumo de rosquillas en el periodo anterior,
ci�1, y su consumo de otros bienes, xi.
Su restricción presupuestaria intertemporal es:
Y =
i=TX
i=1
(pci + xi)
donde Y es el valor presente de syu ingreso y p el precio de las rosquillas en términos de los otros
bienes. Por simplicidad, suponemos que la tasa de interés es cero y que homero valora de igual forma
presente y futuro.
1. Interprete la ecuación que describe la utilidad asociada al consumo de rosquillas.
La función de utilidad puede interpretarse como un problema de adicción. Si Homero no consume
un porcentaje ↵de lo consumido el período pasado, no tiene utilidad de su consumo de rosquillas.
Lo anterior se explica ya que si suponemos que ci < ↵ci�1, la utilidad se definirá para un número
negativo y por ende será 0.
2. Suponga inicialmente que solo hay 2 periodos. Si no existe incertidumbre, determine la condición
de consumo óptimo de rosquillas y otros bienes de Homero en cada periodo. ¿Es la utilidad aso-
ciada al consumo óptimo de rosquillas en cada período (llamémosla u
⇤
) constante en el tiempo?
Si sólo hay 2 períodos, el problema es:
U = u(c
1
) + v(x
1
) + u(c
2
� ↵c
1
) + v(x
2
)
sujeto a restricción de presupuesto:
Y = p(c
1
+ c
2
) + x
1
+ x
2
De ese modo, el lagrangiano es:
L
c1,c2,x1,x2 =u(c1) + v(x1) + u(c2 � ↵c1) + v(x2) + � {Y � p(c1 + c2)� x1 � x2}
1
2 CONSUMO CON GENERACIONES TRASLAPADAS
Las condiciones de primer orden serán:
[c
1
] 99K u0(c
1
)� ↵u0(c
2
� ↵c
1
)� �p = 0
[c
2
] 99K u0(c
2
� ↵c
1
)� �p
[x
1
] 99K v0(x
1
)� � = 0
[x
2
] 99K v0(x
2
)� � = 0
De las 2 primeras, obtenemos la ecuación de euler en términos del consumo de manzanas:
u
0(c
1
) = (1 + ↵)u0(c
2
� ↵c
1
)
Ahora, como tenemos que v
0(x
1
) = v0(x
2
) 99K x
1
= x
2
.
Como ↵ > 0, vemos que:
u
0(c
1
) > u0(c
2
� ↵c
1
) 99K c
1
< c
2
� ↵c
1
lo que sucede por la concavidad de la función de utilidad u, lo que significa que es creciente a
tasas decrecientes.
) c
1
(1 + ↵) < c
2
Es decir, c
1
es necesariamente menor que c
2
. Homero conoce su adicción, y por ello modera su
consumo de rosquillas hoy. Como el consumo va creciendo con el tiempo, y la utilidad es creciente
en el consumo, vemos que no habrá un nivel de utilidad que sea constante en el tiempo.
3. ¿Qué pasa con c
1
y c
2
a medida que crece ↵?
A medida que crece ↵, c
1
es cada vez menor.
4. Suponga ahora que T es muy grande, pero un número finito. Describa la evolución del consumo
de rosquillas y u
⇤
a lo largo del tiempo. ¿Cómo depende ello de ↵?
No cambia nada relevante, y podemos aplicar la misma lógica previa. Por tanto, la trayecto-
ria del consumo y la utilidad son crecientes, de manera más fuerte mientras mayor sea ↵.
2. Consumo con generaciones traslapadas
Suponga un mundo en que cada período hay 2 tipos de agentes, jóvenes y viejos. Los únicos capaces
de generar ingreso son los jóvenes: cada uno de ellos produce 1 manzana. Los viejos no son capaces de
producir. Cada persona vive exactamente dos periodos: es joven y productiva en el primero, y vieja (y
retirada) en el segundo. Todo el mundo muere tras su segundo período en la economía.
Las preferencias de un agente (joven) son:
U = u(c
1
) + u(c
2
)
donde c
1
es el consumo de manzanas del agente cuando joven y c
2
su consumo de manzanas cuando
viejo. Además, Ud. sabe que u
0
> 0, u00 < 0 y u0(0) = 1.
Como puede ver, las preferencias implican que en esta economía no hay ningún tipo de lazos fa-
miliares: los jóvenes no se preocupan del bienestar de los viejos, y viceversa. Cada persona se preocupa
sólo por su propio bienestar.
1. Suponga que las manzanas son perecibles y se pudren totalmente si son guardadas de un periodo
a otro. Escriba la restricción presupuestaria para un individuo joven y determine su consumo
óptimo en la juventud y en la vejez (hint: piense en los incentivos a transar que tienen los agentes
jóvenes y viejos). Explique cuidadosamente.
2
2 CONSUMO CON GENERACIONES TRASLAPADAS
Lo principal en esta pregunta era tratar de entender como se comportaba en esta economía,
antes de ponerse a hacer derivaciones o escribir restricciones que son validas para otros proble-
mas pero no para este. Pensemos primero en cuales son los incentivos a transar en la economía.
En cualquier minuto del tiempo, el producto en la economia es propiedad exclusiva de los jóvenes.
Los viejos quieren consumir, pero no tienen producto de su propiedad. Pueden transar ambos
grupos? No. La única transacción posible seria que el producto del periodo fuera compartido
entre viejos y jóvenes; es decir, que los jóvenes dieran parte de su producto a los viejos. Pero
ningún joven tiene incentivo a hacer eso: sacrificaría parte de su consumo sin recibir nada a
cambio, ya que el agente viejo no tiene como pagar de vuelta el “préstamo” (no tiene producción
propia y además habrá muerto el siguiente periodo). No hay ningún mecanismo que permita a
los jóvenes de hoy exigir un pago a los jóvenes de mañana. Por tanto, no existe opción de llegar
a un acuerdo, y cada agente tendrá que arreglárselas por su cuenta.
Por lo tanto, en general, para cualquier agente joven se cumplirá que:
c
1
= 1� s
c
2
= sR ; s � 0.
Donde s es el ahorro de autarquía (guardar mi manzana en casa) y R es el retorno de ese ahorro.
Cómo es perecible, R = 0. Como es obvio que no saco nada con ahorrar, s = 0 y, por tanto,
c
1
= 1 y c
2
= 0. Todos los jóvenes se comen su manzana cuando la producen y no comen nada
en su vejez. Es claro que esta no satisface las condiciones de primer orden de un mundo en que
si hay un mercado de ahorro:
u
0(c
2
) > u0(c
1
)
y por tanto existe ahorro ya que «conviene» trasparsarlo entre períodos.
2. Suponga que el gobierno de esta economía decide instaurar un sistema de pensiones para la vejez.
Para ello, se cobrará un impuesto a los jóvenes, el cual se usara para darle una pensión a los
viejos. ¿Cree Ud. que este sistema podría aumentar el bienestar? ¿Por qué?
En el equilibrio anterior ocurría que:
U = u(1) + u(0)
Es claro que esta es una muy mala solución: la utilidad marginal del consumo en el periodo 2 es
infinita y, por tanto, la utilidad total podría aumentar muchísimo si logro repartir mi consumo
de formas más pareja entre ambos periodos.
En la política propuesta, tendríamos que:
c
1
= 1� t
c
2
= t
si es que ocurre que la población es constante. (Si la población fuese creciente (más viejos que
jovenes), c
2
< t. Si la población fuese decreciente (menos viejos que jovenes), c
2
> t). En
cualquier caso, es claro que la política genera un resultado similar a un mundo en que existieran
incentivos para transar: los jóvenes de cada generación le entregan consumo a los viejos de ese
periodo, y reciben un pago por esa deuda en su vejez, como una transferencia de los jóvenes
de ese periodo. El sistema de pensiones hace que los jóvenes se hagan responsables de la deuda
implícita en que incurren los viejos del periodo anterior. Esta política permitirá suavizar el
consumo y aumentará el bienestar.
3. Suponga ahora que las manzanas se pueden guardar de un período a otro sin que se echen a
perder. Si no hay sistema de pensiones, escriba la restricción presupuestaria para un individuo
joven y determine su consumo óptimo en la juventud y en la vejez (hint: de nuevo piense en los
incentivos a transar que tienen los agentes jóvenes y viejos). Explique cuidadosamente.
3
3 CONSUMO Y LA TASA DE INTERÉS.
Esto es igual a la parte (a), en el sentido de que no existen incentivos a realizar transaccio-nes privadas. Por tanto, otra vez la restricción del agente es:
c
1
= 1� s
c
2
= s ; s � 0.
Por lo tanto, la condición de optimización será:
u
0(c
1
) = u0(c
2
) = u0(
1
2
)
es decir, cada individuo se come media manzana en su juventud y guarda el resto para su vejez.
Siga suponiendo que las manzanas son no perecibles y que no hay sistema de pensiones. Su-
ponga, además, que cada periodo la cantidad de personas jóvenes en la economía crece a una
tasa (constante) n. Es decir, si en el período t hay M viejos (que eran los jóvenes del periodo
pasado), en ese periodo hay M(1 + n) jóvenes.
4. Escriba la restricción presupuestaria de la economía para el periodo t (use c
t
1
para descibir el
consumo de los jóvenes de ese período y c
t
2
el de los viejos). A la luz de eso, ¿por qué cree Ud.
que la solución descrita en c) sería ineficiente? Explique cuidadosamente. (Hint: piense en la
cantidad de recursos disponibles en la economía y cuando están siendo utilizados). ¿Ayudaría en
este caso un sistema de pensiones como el descrito en b)?
La restricción presupuestaria de la economía en un período cualquier sería:
(1 manzana x c/joven) ⇤N jt = N
j
t c
1
t +N
v
t c
2
t
donde N
j
t es el número de jóvenes y N
v
t el número de viejos. De la parte (c), sabemos que
c
1
t = c
2
t =
1
2
. Además, sabemos que:
N
j
t = (1 + n)N
v
t
De ahí que:
N
j
t = N
j
t c
1
t +N
v
t c
2
t
1 =
1
2
+
1
1 + n
✓
1
2
◆
con n > 0, esta ecuación no se cumple nunca con igualdad, sino que:
1 >
1
2
+
1
1 + n
✓
1
2
◆
Es decir, el producto en la economía es necesariamente mayor que el consumo en cada periodo del
tiempo. Parte del producto que podría ser consumido esta siendo guardado en cajas de manera
permanente (siempre hay un stock de manzanas que permaneces guardado): la economía está
adentro de la frontera de posibilidades de producción. Un sistema de pensiones como el descrito
en b) poria ayudar a la economía a ubicarse sobre la frontera.
3. Consumo y la tasa de interés.
Suponga una persona que vive dos períodos, con ingresos Y
1
e Y
2
, ambos mayores que cero. Las
preferencias de las personas son:
U(c
1
, c
2
) = u(c
1
) + �u(c
2
)
con uc > 0 y ucc < 0. La persona enfrente una tasa de interés R.
4
3 CONSUMO Y LA TASA DE INTERÉS.
¿Qué ocurre con el consumo de la persona si aumenta la tasa de interés? ¿Por qué? ¿Podemos de-
cir con certeza si el consumo en un período sube o cae? ¿De que podría depender? Discuta el efecto
sobre el consumo en cada período de un aumento en la tasa de interés. Distinga entre efectos ingreso
y sustitución. ¿En qué casos hay un efecto ingreso positivo? ¿En qué casos uno negativo?
Sabemos por la ecuación de euler
u
0(c
1
) = �
Rz }| {
(1 + r)u0(c
2
) , u
0(c
1
)
u
0(c
2
)
= �(1 + r)
que si aumenta la tasa de interés, el consumo relativo entre el periodo t = 1 y t = 2 caerá, ya que al
hacerse más rentable el ahorro, aumenta S
1
en t = 1, obligandose a disminuir el c
1
por la igualdad que
se debe cumplir Y = C +S. En ese sentido, como aumenta S
1
, en t = 2 tendría S
1
(1+ r) y, por tanto,
aumenta c
2
. Este efecto de disminución de c
1
y aumento de c
2
es el efecto sustitución.
Para evaluar el efecto ingreso debemos distinguir el caso en que el individuo sea ahorrador neto o
deudor neto. En ese sentido, los efectos son los siguientes:
1. Acreedor neto: Si es acreedor neto (es decir, ahorrador) un aumento en la tasa de interés retorna
más al ahorro y, por lo tanto, soy más rico. El efecto ingreso dice que aumenta el consumo en
ambos períodos.
Por lo tanto, en este caso, si aumenta la tasa de interés, inambiguamente aumentará c
2
y el efecto
sobre c
1
depende de las magnitudes.
2. Deudor neto: Si es deudor (presta plata) un aumento en la tasa de interés generará que la
deuda sea más cara, por lo que soy menos rico. En ese sentido, el efecto ingreso hará disminuir
el consumo en ambos períodos.
Por lo tanto, en este caso, un aumento en la tasa de interés inambiguamente hará caer el c
1
y el
efecto sobre c
2
dependerá de las magnitudes.
5