AyudantÝa 1 2006

Vista previa del material en texto

Macroeconomı́a I
EAE220b-1
Profesor Diego Saravia
Ayudant́ıa 1
Felipe Benguria
fpbengur@uc.cl
Problema 1
Para un individuo que vive dos peŕıodos y recibe ingresos Y1 e Y2 en el primer
y segundo peŕıodo respectivamente, encuentre el nivel de consumo óptimo en
cada peŕıodo. La tasa de interés es r y la tasa de descuento es ρ. Asuma que
el individuo tiene una función de utilidad CRRA (aversión relativa al riesgo
constante).
Respuesta: El problema a resolver es :
máx
C1,C2
u(C1) +
1
1 + ρ
· u(C2)
s.a. Y1 +
Y2
1 + r
= C1 +
C2
1 + r
La función objetivo nos muestra que el individuo busca maximizar la suma
de la utilidad que le reporta el consumo en cada peŕıodo. La utilidad del peŕıodo
2 está multiplicada por la tasa de impaciencia 11+ρ . Es decir, la utilidad de un
peŕıodo futuro es menos valiosa para este individuo que la utilidad en el peŕıodo
presente. La restricción muestra que el total de ingresos debe ser igual al total de
gasto en consumo. Es una restricción presupuestaria. Los valores para el peŕıodo
2 van descontados por la tasa de interés r.
La función de utilidad CRRA está dada por:
u(C) =
C1−σ − 1
1− σ
para σ ≥ 0, σ 6= 1
Usamos el método de multiplicadores de Lagrange. Escribimos el lagrangeano
L como la función objetivo más la restricción multiplicada por un multiplicador
de Lagrange (λ).
L =
C1−σ1 − 1
1− σ
+
1
1 + ρ
· C
1−σ
2 − 1
1− σ
+ λ · (Y1 +
Y2
1 + r
− C1 −
C2
1 + r
)
Luego igualamos las derivadas de L con respecto a C1, C2, λ a cero, obte-
niendo las condiciones de primer orden.
∂L
∂C1
= C−σ1 − λ = 0 (1)
1
∂L
∂C2
=
C−σ2
1 + ρ
− λ
1 + r
= 0 (2)
∂L
∂λ
= Y1 +
Y2
1 + r
− C1 −
C2
1 + r
= 0 (3)
De las dos primeras condiciones, podemos despejar(
C1
C2
)σ
=
1 + ρ
1 + r
A partir de esto se reemplaza C2 en la restricción, obteniéndose que:
C1 =
(
Y1 +
Y2
1 + r
)
(1 + ρ)
1
σ
[
(1 + r)
1−σ
σ + (1 + ρ)
1
σ
]−1
C2 =
(
Y1 +
Y2
1 + r
) [
1
1 + r
+
(
1 + ρ
1 + r
) 1
σ
]−1
Nota 1: Podemos ver por que la función CRRA recibe ese nombre. La elas-
ticidad intertemporal de sustitución se define como
EIS = −∂log(C1/C2)
∂log(1 + r)
A partir de (
C1
C2
)σ
=
1 + ρ
1 + r
tomamos logaritmo a cada lado,
σlog(C1/C2) = log(1 + r)− log(1 + ρ)
Diferenciando, con respecto a lo que se indica en la definición de la EIS,
σ∂log(C1/C2) = ∂log(1 + r)
Por lo que finalmente, EIS = 1σ es constante.
Nota 2: Otra forma de resolver esto es sustituir la restricción en la función
objetivo. Se despeja C1 (por ejemplo) de la restricción:
C1 = Y1 +
Y2
1 + r
− C2
1 + r
Luego se reemplaza en la función objetivo.
[Y1 + Y21+r −
C2
1+r ]
1−σ − 1
1− σ
+
1
1 + ρ
· C
1−σ
2 − 1
1− σ
2
Luego se maximiza con respecto a C2, derivando. La solución obtenida será la
misma que con el primer método.
Problema 2
A partir de la relación para el PIB Y = C + I + G + X − M deduzca la
expresión para el modelo de tres brechas.
Respuesta:
Si restamos los impuestos T a cada lado, tenemos:
(Y − T ) = C + I + (G− T ) + (X −M)
A Y − T podemos llamarlo ingreso disponible Y d (el ingreso tras pago de
impuestos). Y restando C, nos queda:
(Y d − C) = I + (G− T ) + (X −M)
El término (Y d−C) es justamente el ahorro, S. Por lo tanto, reemplazando,
S = I + (G− T ) + (X −M)
Y luego llegamos al modelo de tres brechas:
(X −M) = (S − I)− (G− T )
Problema 3
Discuta las siguientes afirmaciones.
a) No es posible que en un páıs las exportaciones sean mayores al PIB, ya
que las mismas son parte de la producción.
b) Si M < X habrá un superavit en la cuenta corriente de la balanza de
pagos.
c) Es común que en un año de elecciones presidenciales el gobierno intente
captar votos aumentando el gasto público sin aumentar los impuestos. Un anal-
ista económico dice que la única manera de sostener esta estrategia es reduciendo
la inversión privada.
Respuesta:
a) Esto no es cierto ya que el PIB es función de las exportaciones netas
(exportaciones menos importaciones). Podŕıa darse que las exportaciones fuesen
mayores al PIB y las importaciones también, compensandose entre ellas. Un
ejemplo que puede ayudar a ver esto es el siguiente. Chile importa molibdeno
peruano para luego exportarlo a otros páıses. La exportación de molibdeno
puede ser grande, pero al restar la importación no lo es tanto.
b) No necesariamente. La cuenta corriente es:
CC = X −M − F
Si las importaciones M son menores que las exportaciones X, lo que suceda
con la cuenta corriente dependerá de F, pagos netos al exterior.
3
c) Podemos usar el modelo de tres brechas para responder. Del problema 2
tenemos que:
(X −M) = (S − I)− (G− T )
Entonces nos dicen que aumenta G sin aumentar T. Vemos que puede com-
pensarse si la inversión se reduce, como dice la afirmación, pero también hay
otras formas, por ejemplo, disminuyendo las importaciones.
Problema 4
a) Comente los tres sesgos del IPC en la medición del costo de vida.
b) Explique las diferencias entre el IPC y el deflactor del PIB.
c) Describa cómo afecta a la cuenta corriente un cambio en:
i) el ahorro privado, ii) la inversión, iii) el gasto de gobierno
Respuesta:
a) Los sesgos son:
i) Sustitución. No se toma en cuenta que cuando suben los precios de un
bien las personas consumen menos de este bien, aumentando su consumo
de bienes sustitutos.
ii) Introducción de nuevos bienes. La canasta de bienes es fija, y no considera
los nuevos bienes que van consumiendo las personas, hasta que se actualiza
la canasta cada cierto número de años.
iii) Cambio no medido de calidad. Se considera, por ejemplo, que un
computador de hace 10 años es el mismo bien que un computador hoy,
lo cual no es realista ya que la calidad ha mejorado fuertemente.
b) Las principales diferencias entre el IPC y el deflactor del PIB son:
i) El IPC y el deflactor del PIB se calculan de forma distinta. El IPC
se calcula como:
IPCt =
n∑
i=0
pi,t · αi
donde α es el ponderador de cada bien, definido como:
αi =
pi,0 · qi,0∑n
k=0 pk,0 · qk,0
(el sub́ındice 0 indica el año base).
El deflactor del PIB se calcula como
Pt =
∑n
i=0 pi,t · qi,t∑n
i=0 pi,0 · qi,t
El deflactor del PIB subestima los aumentos en el costo de vida, mientras
que el IPC los sobreestima.
4
ii) El IPC usa una canasta de bienes de consumo, sin importar si se producen
o no en el páıs. No incorpora bienes que son producidos en el páıs pero no
consumidos (ej: cobre, celulosa, etc...). En el caso del deflactor del PIB
sucede lo contrario.
c) Sabemos que el PIB (Y) puede escribirse como
Y = C + I + G + (X −M) (4)
El ahorro privado está dado por la diferencia entre ingresos y gastos
de los privados:
SP = Y + TR− T − F − C (5)
El ahorro del gobierno, como ingresos menos gastos del gobierno, es:
SG = T −G− TR (6)
El ahorro externo es:
SE = M −X + F
La cuenta corriente es igual al ahorro externo con signo negativo:
CC = −SE = X −M − F
De la ecuación (6) podemos despejar X - M :
X −M = Y − C − I −G
Reemplazando esto en la ecuación de la cuenta corriente tenemos:
CC = Y − C − I −G− F (7)
Ahora observamos las ecuaciones para el ahorro privado y el ahorro del
gobierno, (7) y (8), y vemos la suma es:
SP + SG = Y − F − C −G
Esto es una parte del lado derecho de la ecuación de la cuenta corriente, (9),
por lo que reemplazando en esta nos queda que
CC = SP + SG − I
Vemos que un aumento en el ahorro privado hace crecer la cuenta
corriente, mientras que un aumento en la inversión la hace disminuir.
Para ver que ocurre con un aumento en el gasto de gobierno,
recordamos que
SG = T −G− TR
5
Al haber un aumento en el gasto de gobierno, cae el ahorro de gobierno, SG
y por tanto cae también la cuenta corriente.
Notación:
Y: producto (PIB)
C: consumo
I: inversión
G: gasto de gobierno
T: impuestos
X: exportaciones
M: importaciones
TR: transferencias del gobierno a los privados
F: pagos netos al exterior
Problema 5
La siguiente tabla muestra las cantidades y precios de peras y manzanas,
los únicos bienes de cierta economı́a para los años 2004 y 2005.Año Peras Manzanas Precio Peras Precio Manzanas
2004 300 140 10 15
2005 320 110 12 20
Calcule
i) el PIB nominal en cada año
ii) el PIB real en 2005 a precios de 2004.
iii) El IPC en 2004 y en 2005, tomando 2004 como año base, y la inflación
en este peŕıodo medida usando el IPC.
Respuesta
Nota: usualmente cuando las variables están expresadas en términos reales
se escriben con minúsculas y cuando están expresadas en términos nominales
se usan mayúsculas.
i) El PIB nominal de 2004 se calcula con precios y cantidades de ese año.
PIB2004 = Peras× PrecioPeras + Manzanas× PrecioManzanas
= 300× 10 + 140× 15 = 5100
De la misma forma el PIB nominal del año 2005 es:
PIB2005 = 320× 12 + 110× 20 = 6040
ii) El PIB real del año 2005 expresado en precios del año 2004 es:
pib2005 = Peras2005×PrecioPeras2004+Manzanas2005×PrecioManzanas2004
6
= 300× 12 + 140× 20 = 6400
iii) El IPC se calcula usando una cantidades de un año base (en este caso
2004) y los precios de cada año.
El IPC de un año t, con n bienes, es:
IPCt =
n∑
i=0
pi,t · αi
α es el ponderador de cada bien, y está definido como:
αi =
pi,0 · qi,0∑n
k=0 pk,0 · qk,0
Nota: El sub́ındice 0 se refiere al año base.
Ahora aplicamos lo anterior para calcular el IPC de 2004.
El ponderador para las peras es:
αperas =
300× 10
300× 10 + 140× 15
= 0, 5882
El ponderador para las peras es:
αmanzanas =
140× 15
300× 10 + 140× 15
= 0, 412
Con esto calculamos el IPC de 2004:
IPC2004 = 10× αperas + 15× αmanzanas = 12, 06
Usando los mismos ponderadores calculamos el IPC de 2005:
IPC2005 = 12× αperas + 20× αmanzanas = 15, 29
Para calcular la inflación de un año a otro medida con el IPC se toma la
razón
IPC2005
IPC2004
= 1,27
Es decir, la inflación fue de π = 27 % aproximadamente.
Problema 6
Resuelva el siguiente problema de optimización.
máx
x,y
ln(x) + α · ln(y)
s.a. x + β · y = m
Respuesta:
7
Usamos el método de multiplicadores de Lagrange. Escribimos el
lagrangeano L como la función objetivo más la restricción multiplicada
por un multiplicador de Lagrange (λ).
L = ln(x) + α · ln(y) + λ · (m− x− β · y)
Luego igualamos las derivadas de L con respecto a x, y, λ a cero, obteniendo
las condiciones de primer orden.
∂L
∂x
=
1
x
− λ = 0 (8)
∂L
∂y
=
α
y
− λ · β = 0 (9)
∂L
∂λ
= m− x− β · y = 0 (10)
De las dos primeras condiciones, podemos despejar
λ =
1
x
=
α
β · y
Es decir,
y =
αx
β
Reemplazando esto en (3),
x · (1 + α) = m
Finalmente, la solución es:
x =
m
1 + α
y =
m · α
β · (1 + α)
Problema 7
Calcule
∞∑
i=0
A
(1 + x)i
Respuesta:
Para calcular una sumatoria hasta infinito, la calculamos hasta N y hacemos
tender N a infinito.
N∑
i=0
A
(1 + x)i
8
En primer lugar podemos pasar A hacia afuera de la sumatoria, ya que es
constante. Entonces nos interesa calcular el valor de la sumatoria
S =
N∑
i=0
ri
siendo en este caso r = 11+x
Para resolver esto uno puede recordar la fórmula o deducirla, lo cual
se hace aśı:
S =
N∑
i=0
ri = 1 + r + r2 + r3 + .... + rN (11)
Entonces,
r · S = r + r2 + r3 + .... + rN + rN+1 (12)
Si restamos las ecuaciones (4) de la (5) nos queda:
(1− r) · S = 1− rN+1
Por lo tanto podemos despejar S:
S =
1− rN+1
1− r
La sumatoria pedida originalmente se encuentra reemplazando
r = 11+x y multiplicando por A:
N∑
i=0
A
(1 + x)i
=
A(1− ( 11+x )
N+1)
1− 11+x
Finalmente hacemos tender N a infinito. Siempre y cuando
r = 11+x sea menor que 1, tendremos que el término
1
1+x
N+1 tiende a cero, por lo que la solución es
∞∑
i=0
A
(1 + x)i
=
A
1− 11+x
=
A(1 + x)
x
Nota: La sumatoria partiendo desde i = 1 se deduce de forma similar.
9