Ayudantia 9 (P)

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a.) Respuesta
La ecuación describe los flujos de inmigrantes dándole sentido al porqué se trasladan los
trabajadores. Esta ecuación nos dice que a mayor nivel de Kmayor es la cantidad de inmi-
grantes en el paı́s en una razón uno-a-uno. Esto ocurre porque a mayor nivel de capital es
mayor el ingreso per cápita del paı́s, lo que lo hace atractivo para el trabajador extranjero
aumentando la inmigración. Por otro lado, la ecuación nos dice que a mayor cantidad de
trabajadores que hay en el paı́s, L, mas emigran del paı́s en un razón k̄. La razón de esto
es que a mayor masa laboral los trabajadores empiezan a buscar alternativas en donde
trabajar fuera del paı́s y lo hacen en una proporción de k̄.
Al ser la función de inmigración lineal, podemos hacer la transformación a per capita sin
problemas:
m(
K
L
, 1) = k − k̄
Donde k̄ corresponde al nivel de capital per capita que hace que no haya inmigración
per capita (m = 0). Incluir migración a este modelo es similar a hablar de flujo de capital
humano debido a que cada traslado de trabajador lleva consigo la llegada o partida de un
capital humano acumulado. Por ende movilidad laboral implica cierta movilidad de capi-
tales. El supuesto de este modelo, es que aunque la economı́a es cerrada, las personas
pueden moverse entre ellas. Es decir las personas son mas moviles que el capital fı́sico.
b.) Respuesta
Para este modelo, la población crece no solo con los trabajadores sino con los migrantes.
La ecuación de migrantes per capita (m = k − k̄) está expresada como un flujo, es decir,
m > 0 cuando el nivel de capital per cápita sea mayor al que hace que m = 0, y será neg-
ativo, m < 0, cuando el nivel de capital per cápita sea menor al nivel que logra m = 0. Ası́,
el crecimiento de la población será:
L̇/L = n + M/L = n + m
Ası́, el crecimiento de la población se deberá a un crecimiento de los trabajadores prove-
niente de fertilidad neta y al flujo de inmigrantes.
c.) Respuesta
El parámetro k0 se puede interpretar como la acumulación de capital que lleva consigo
el trabajador. Que aunque es capital humano, para este modelo usaremos un capital per
capita de referencia, k.
El cambio en el capital doméstico está dado por:
K̇ = sF(K,L) − δK + k0M
Esto corresponde al planteamiento básico de Solow pero con el nuevo elemento k0M que
es el capital traı́do por inmigrantes o llevado por emigrantes y que contribuye a K̇.
Debido a que sabemos que
k̇ = K̇/L − (n + m)k
y tomando en cuenta que:
K̇/L = sf(k) − δk + k0m
podemos obtener la ecuación de movimiento para el capital per cápita:
k̇ = sf(k) − δk + k0m − (n + m)k
k̇ = sf(k) − (δ+ n)k − m(k − k0)
Aquı́ operamos como antes pero con la diferencia que la tasa efectiva de depreciación es
ahora aumentada por m(k − k0) si m es mayor a cero y disminuida si m es negativo. La
parte mk es el crecimiento de inmigrantes que se consumen parte del capital per cápita,
ası́ como lo hace el crecimiento de la población, y por lo tanto se suma a la tasa de
depreciación efectiva. Por su lado, mk0 es el efecto de los inmigrantes netos que traen
una cantidad de capital k0. Esto tiene signo negativo y disminuye la tasa de depreciación
efectiva.
Encontramos el capital de estado estacionario forzando k̇ = 0 y obtenemos una condición
general para este modelo con migración donde m depende positivamente de k:
0 = sf(k) − (δ+ n)k − m(k − k0)
(δ+ n + m)k = sf(k) + mk0
k∗ =
sf(k) + mk0
δ+ n + m
Existe convergencia condicional y ésta depende en gran medida del valor k0 y ası́, de
cuánto contribuyen los inmigrantes en capital a la economı́a. Eso es lo que diferencia
esta presentación del modelo de Solow frente a otras presentaciones del mismo. Adi-
cionalmente, se tiene que:
k = k0 =⇒ δ+ n + m(1 −
k0
k
) = δ+ n + m(1 − 1) = δ+ n
k = k̄ =⇒ m = k − k̄ = 0 =⇒ δ+ n + m(1 −
k0
k
) = δ+ n
Es decir, k0 = k̄, lo que se ratifica en la gráfica siguiente:
0 k
sf(k)
k
δ+ n + m(1 − k0k )δ+ n
k0 = k̄k
∗
f(k)
k
δ+ n + m
mk0
δ+m+n
En términos de crecimiento, esto queda expresado a continuación.
k̇/k = s
f(k)
k
− (δ+ n) − m(1 −
k0
k
)
La respuesta positiva de la migración neta al ingreso per cápita implica que la tasa de
crecimiento de la población es una función positiva de k. Cuando k = k̄ tenemos que
m = 0 y por lo tanto no hay migración y estamos donde estábamos antes. Si k > k̄
entonces tenemos un m > 0 y ası́ migración hacia nuestra economı́a y por lo tanto la
curva efectiva de depreciación se ubica sobre el nivel que habrı́a tenido en el modelo
básico de Solow, δ + n. Esto porque m depende positivamente de k. A su vez, si k < k̄
la curva de depreciación efectiva se ubica debajo de δ+ n. Finalmente el crecimiento del
capital per cápita se ve en la diferencia entre estas dos curvas.
Sin embargo, es relevante apreciar que el desplazamiento del nivel de capital de estado
estacionario depende de las variables del modelo. Ası́, una inmigración (o una emigración)
puede significar un desplazamiento del estado estacionario, tanto a la izquierda como a
la derecha, todo dependiendo de su posición previa en relación a k y k0 y del valor de
m, δ y n. En este panorama, entonces, es que no se puede asegurar si el efecto de la
migración es positiva para la economı́a, pues los efectos son ambiguos y caracterı́sticos
de cada paı́s.
d.) Respuesta
Para un nuevo nivel k′0 < k0, se produce un desplazamiento de la curva δ+n+m(1−
k′0
k ), lo
que genera una nueva condición de migración, determinada por k̄′ < k̄, con lo que la tasa
de depreciación efectiva es menor a la del caso básico inicial del modelo de Solow y nue-
stro estado estacionario cae. De esta forma, el crecimiento del capital per cápita es menor
porque hay menos contribución de inmigrantes en capital para la economı́a aumentando
la tasa de depreciación efectiva. Por lo tanto seguimos teniendo convergencia condicional
en el sentido que paı́ses más cerca (lejos) de su estado estacionario crecen más lento
(rápido). Lo que cambia es la convergencia, ya que el nivel del estado estacionario ahora
es menor.
0 k
sf(k)
k
δ+ n + m(1 − k
′
0
k )
δ+ n
k′0 = k̄
′k∗1
f(k)
k
δ+ n + m
mk′0
δ+m+n
δ+ n + m(1 − k
′
0
k )
e.) Respuesta
Derivando la expresión del estado estacionario vemos que:
∂k∗
∂k0
=
m
δ+ n + m
Si tomamos a m > 0, es decir, hay un flujo neto de inmigrantes positivo, un aumento de la
cantidad de capital que traen (k0) conlleva a tener un estado estacionario mayor y vicev-
ersa. Esto se produce porque al ser mayor la cantidad de capital que traen, contribuyen a
la acumulación de capital de la economı́a, aumento del ingreso per cápita y disminución
de la tasa de depreciación efectiva.
11.5 Modelo de Solow con deuda pública.
a.) Respuesta
El rol de los bonos en esta economı́a es esconder parte del ahorro de los hogares en algo
que no se use para acumular capital. Dado que el gobierno no lo ahorra, es como si a
cada nivel de capital se acumula menos capital debido a que parte se destina a financiar
el gobierno no productivo.
La restricción presupuestaria del individuo es:
y = c + i + b
donde b es el nivel de deuda pública per-cápita de los habitantes del paı́s. Reescribiendo
esta ecuación obtenemos:
k̇ = sf(k) − δk − b