Logo Studenta

Ayudantía 9

Vista previa del material en texto

Ayudantía N°9 
Macroeconomía I 
Profesor: Emilio Depetris 
Ayudantes: Marcela Arriagada – Carmen Cifuentes (ccifuentes2@uc.cl) 
 
 
1. Cuando Solow se junta con Lucas Considere el siguiente modelo híbrido donde el nivel de producto per cápita 
se determina por a siguiente función 
 
𝑦𝑡 = 𝑘𝑡
𝛼[(1 − 𝑢𝑡)ℎ𝑡]
1−𝛼 
 
donde 𝑦, ℎ, 𝑦 𝑘 son el producto, capital humano y capital físico por trabajador, mientras que 𝑢 es la fracción de 
tiempo que el trabajador invierte en acumular capital humano (NOTA: esta definición es la inversa a la presentada 
en clase. No es para hacerlo equivocar sino para facilitar la matemática). No hay crecimiento poblacional ni 
tecnológico, mientras que la ley de movimiento para la acumulación del capital físico por trabajador es la estándar. 
Finalmente, la ley de movimiento para la acumulación del capital humano por trabajador es: 
ℎ̇ = 𝑢𝑡 − 𝛿ℎ𝑡 
 
Donde 𝛿 es la tasa de depreciación tanto del capital físico como del capital humano. Puede asumir también que 
la tasa de depreciación es igual a la tasa de ahorro. Se pide: 
a) Describa el estado estacionario de este modelo ¿Es uno con un nivel de producto per cápita constante o con 
una tasa de crecimiento del producto per cápita constante? 
Respuesta: 
En este modelo la tasa a la cual se acumula el capital humano es: 
ℎ̇
ℎ
=
𝑢𝑡
ℎ𝑡
− 𝛿 
Por lo tanto, el único estado estacionario posible para esta variable es aquel en que: 
 
ℎ̇ = 0 → ℎ𝑠𝑠 =
𝑢𝑡
𝛿
 
 
Como 𝑢𝑡 es una variable que está acotada, no puede crecer en el estado estacionario, es decir: 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑠𝑠 
Luego, el estado estacionario para la acumulación de capital humano es: 
ℎ𝑠𝑠 =
𝑢𝑠𝑠
𝛿
=
𝑢𝑠𝑠
𝑠
 
 
Por otro lado, la tasa a la cual se acumula el capital físico es: 
 
�̇� = 𝑠[𝑘𝑡
𝛼(1 − 𝑢𝑡)
1−𝛼ℎ𝑡
1−𝛼 − 𝑘𝑡] 
(Usando que 𝛿 = 𝑠) 
El estado estacionario es aquel en que: 
�̇� = 0 → 𝑠[𝑘𝑡
𝛼(1 − 𝑢𝑡)
1−𝛼ℎ𝑡
1−𝛼 − 𝑘𝑡] = 0 
𝑘𝑡
𝛼(1 − 𝑢𝑡)
1−𝛼ℎ𝑡
1−𝛼 = 𝑘𝑡 
(1 − 𝑢𝑠𝑠)
1−𝛼ℎ𝑠𝑠
1−𝛼 = 𝑘𝑠𝑠
1−𝛼 
 
Reemplazando para el valor calculado previamente de ℎ𝑠𝑠: 
(1 − 𝑢𝑠𝑠)
1−𝛼 (
𝑢𝑠𝑠
𝑠
)
1−𝛼
= 𝑘𝑠𝑠
1−𝛼 
𝑘𝑠𝑠 =
(1 − 𝑢𝑠𝑠)𝑢𝑠𝑠
𝑠
 
 
Finalmente, vemos como capital humano y físico son constantes en el estado estacionario, el producto per cápita de estado 
estacionario será constante: 
𝑦𝑠𝑠 = (
(1 − 𝑢𝑠𝑠)𝑢𝑠𝑠
𝑠
)
𝛼
[
(1 − 𝑢𝑠𝑠)𝑢𝑠𝑠
𝑠
]
1−𝛼
=
(1 − 𝑢𝑠𝑠)𝑢𝑠𝑠
𝑠
 
 
 
 
b) Calcule el nivel de 𝑢 que maximiza el nivel o la tasa crecimiento (dependiendo de su respuesta en a) del 
producto per cápita de largo plazo. 
Respuesta: 
Queremos maximizar el nivel de producto de estado estacionario (𝑦𝑠𝑠). 
Para ello, derivamos respecto a 𝑢 e igualamos dicha derivada a cero. 
𝜕𝑦𝑠𝑠
𝜕𝑢𝑠𝑠
=
1
𝑠
(1 − 2𝑢𝑠𝑠) = 0 
𝑢𝑠𝑠 =
1
2
 
 
c) Llame 𝑢∗ al nivel calculado en (b). Suponga que la economía está en estado estacionario con un valor 𝑢𝑡 <
𝑢∗ y repentinamente 𝑢 salta al valor 𝑢∗. Explique como transicionarían ℎ y 𝑘 hasta llegar al nuevo estado 
estacionario. 
Respuesta: 
Si el nivel de 𝑢𝑡 está por debajo de su valor óptimo, entonces ambas variables (h, k) se encontrarán en niveles más bajos. Si es 
que 𝑢 salta al valor óptimo, entonces h y k crecerán asintóticamente a los valores de estado estacionario, que serán más altos. 
 
 
2. Crecimiento poblacional en el modelo AK. Considere el modelo AK en el cual el tamaño de la fuerza laboral 
no se normaliza a 1. Considere la siguiente función de producción estándar: 
𝑌 = 𝐵𝐾𝛼𝐿1−𝛼 (1) 
Suponga que las firmas toman el valor de 𝐵 como dado, pero que, en la práctica, la acumulación de capital genera 
nuevos conocimientos acerca de los procesos productivos de esta economía. Particularmente, asuma que: 
𝐵 = 𝐴𝐾1−𝛼 (2) 
 
Combinando ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente función de producción: 
𝑌 = 𝐴𝐾𝐿1−𝛼 (3) 
 
 
a) Usando la función de producción (3) y la ley de movimiento para la acumulación de capital físico estándar, 
muestre que la tasa a la cual crece el producto depende de 𝐿. 
Respuesta: 
La función de producción es: 
𝑌 = 𝐴𝐾𝐿1−𝛼 
Mientras que la ecuación de acumulación de capital estándar es: 
�̇� = 𝑠𝑌 − 𝛿𝐾 
Reemplazando, llegamos a que la tasa de crecimiento del capital físico es: 
�̇�
𝐾
= 𝑠𝐴𝐿1−𝛼 − 𝛿 
Aplicando logaritmo y derivando la función de producción, obtenemos la tasa de crecimiento del producto: 
�̇�
𝑌
=
�̇�
𝐴
+
�̇�
𝐾
+ (1 − 𝛼)
�̇�
𝐿
 
Como en este modelo 𝐴 es un parámetro (constante), la fuerza laboral no se normaliza a 1 y tenemos la ecuación para la 
tasa de crecimiento del capital, simplemente reemplazamos: 
�̇�
𝑌
= 0 +
�̇�
𝐾
+ (1 − 𝛼)
�̇�
𝐿
= 𝑠𝐴𝐿1−𝛼 − 𝛿 + (1 − 𝛼)
�̇�
𝐿
 
En donde podemos ver que la tasa de crecimiento del producto efectivamente depende de la fuerza laboral. 
 
b) Indique qué pasaría si es que la fuerza laboral crece a una tasa constante 𝑛. 
Respuesta: 
Si la fuerza laboral crece a una tasa constante (𝐿𝑡 = 𝐿0𝑒
𝑛𝑡), entonces la tasa a la cual crece el producto (
�̇�
𝑌
) crece 
(aproximadamente) a una tasa exponencial. 
�̇�
𝑌
= 0 +
�̇�
𝐾
+ (1 − 𝛼)
�̇�
𝐿
= 𝑠𝐴(𝐿0𝑒
𝑛𝑡)1−𝛼 − 𝛿 + (1 − 𝛼)𝑛 
 Esto es algo que no ocurre en la práctica. 
 
c) Para evitar esta consecuencia, especifique la externalización de una forma diferente a la ecuación (2). 
Respuesta: 
Consideremos la siguiente función de producción: 
𝑌 = 𝐵𝐾𝛼𝐿1−𝛼 (1) 
Supongamos que la acumulación de capital genera nuevos conocimientos acerca de los diferentes procesos productivos que 
suceden en la economía, mientras que la utilización de trabajo genera externalidades negativas. 
En concreto, asumamos que: 
𝐵 = 𝐴𝐾1−𝛼𝐿𝛼−1 = 𝐴𝐾1−𝛼𝐿−(1−𝛼) = 𝐴 (
𝐾
𝐿
)
1−𝛼
= 𝐴𝑘1−𝛼 
Donde A es constante. 
Al sustituir esta ecuación en la función de producción obtenemos que: 
𝑌 = 𝐴𝐾 
Luego, independiente de la tasa a la cual crezca la fuerza laboral, tendremos que: 
�̇�
𝑌
=
�̇�
𝐾
= 𝑠𝐴 − 𝑑 
Por ende, el producto crece a una tasa constante, en vez de a una tasa creciente. 
 
d) ¿Afecta el trabajo (𝐿) al producto? 
Respuesta: 
El trabajo afecta al producto en (a) pero no en (c). La razón es que en (c) definimos la externalidad en términos de la 
razón capital/trabajo en vez de hacerlo en términos del stock de capital agregado. 
 En (c): Un aumento del trabajo tenderá a elevar la parte “privada” del producto (de la firma a nivel individual) 
debido a que es un input en la función de producción. Pero, al mismo tiempo, reduce B (nivel de productividad 
de la economía), de manera que el cambio neto en el producto es cero. Conforme a la función de producción 
definida, si la economía dobla el stock de trabajo, el producto agregado no cambia (porque ya no depende de 
L). 
 
Se puede apreciar que, en este modelo, para que cambios en el trabajo afecten el producto, la tasa a la cual crece el producto 
debe crecer en la medida que la población crece (caso de la letra a). Por otro lado, para que esto no ocurra, se debe eliminar 
el efecto del trabajo sobre el crecimiento (caso de la letra c). 
 
 
 
3. Cleptocracia en el Modelo de Solow (Ayudantía 8, Ejercicio 4) 
Considere el modelo de Solow básico (sin crecimiento tecnológico y con población constante). Asuma la siguiente 
función de producción: Los hogares ahorran una proporción de sus ahorros. El capital por trabajador se deprecia 
a una tasa. Suponga que existe un gobierno corrupto que cada periodo se roba un monto m per cápita. Este 
monto de dinero se manda a una cuenta bancaria en Suiza. Escriba las ecuaciones fundamentales del modelo de 
Solow para esta situación. Utilice el diagrama de Solow para analizar esta economía (no necesita resolver 
algebraicamente). ¿Pueden existir múltiples equilibrios de largo plazo en esta economía? Si su respuesta es 
afirmativa, identifique todos los equilibrios posibles (por medio deayuda gráfica). Indique en sus gráficos a que 
equilibrios la economía convergerá dependiendo del valor inicial del capital/trabajador. Por favor, haga un análisis 
exhaustivo de las distintas posibilidades. 
Respuesta: 
Pauta Ayudantía 8. 
 
 
4. Crecimiento por Externalidades (Ayudantía 8, Ejercicio 5) 
Suponga que existen 𝑁 firmas en la economía. Éstas son indexadas por 𝑗 y son idénticas entre sí. Cada firma 
tiene la siguiente función de producción: 𝑌𝑗 = �̅�𝐾𝑗
𝛼𝐿𝑗
1−𝛼. 
�̅� es el nivel de conocimiento disponible para todas las firmas, el cual dependerá de la acumulación total de capital 
en la economía: �̅� = 𝐴0[∑ 𝐾𝑗] 
𝑁
𝑗=1
𝛾
. Asuma 𝐿𝑗 = 1 y 0 < 𝛾 < 1. Llame �̃�, �̃� a los valores de producto total y 
stock de capital para toda la economía. 
a) Escriba �̃� como función de 𝑁, 𝐴0, �̃� y el resto de los parámetros del modelo ¿Cuál es la interpretación 
económica del parámetro 𝛾? 
Respuesta: 
Del enunciado sabemos que �̃� = ∑ 𝑌𝑗 
𝑁
𝑗=1 
Sustituyendo la función de producción de cada firma nos queda: 
�̃� = ∑ (�̅�𝐾𝑗
𝛼𝐿𝑗
1−𝛼) 
𝑁
𝑗=1
 
Pero como sabemos que 𝐿𝑗 = 1 y que �̅� = 𝐴0[∑ 𝐾𝑗] 
𝑁
𝑗=1
𝛾
podemos reemplazar estos términos en la ecuación anterior: 
�̃� = ∑ (𝐴0 [∑ 𝐾𝑗
𝑁
𝑗=1
]
𝛾
𝐾𝑗
𝛼) 
𝑁
𝑗=1
 
El enunciado indica que el stock de capital de la economía es la suma del stock de capital de todas las empresas: �̃� = ∑ 𝐾𝑗 
𝑁
𝑗=1 . 
Como las empresas son iguales entre sí, todas tendrán el mismo nivel de capital, por lo cual 𝐾𝑗 = 𝐾. Luego, usando propiedades 
de sumatoria tendremos que: 
�̃� = 𝑁 ∙ 𝐾 → 𝐾 =
�̃�
𝑁
 
De modo que nos queda: 
�̃� = ∑ (𝐴0[�̃�]
𝛾
(
�̃�
𝑁
)
𝛼
) 
𝑁
𝑗=1
 
Como dentro de la sumatoria sólo nos quedan términos que con dependen del subíndice j, podemos usar nuevamente la propiedad 
anterior: 
�̃� = 𝑁 ∙ 𝐴0[�̃�]
𝛾
(
�̃�
𝑁
)
𝛼
= 𝐴0�̃�
𝛼+𝛾𝑁(1−𝛼) 
Donde el parámetro 𝛾 nos dice cuán fuerte es el “derrame” de conocimiento en esta economía, es decir, qué tan fuerte es el efecto 
de la externalidad. 
 
b) Descomponga la tasa de crecimiento del producto total en el crecimiento de las distintas variables relevantes 
del modelo. 
Respuesta: 
Pauta Ayudantía 8. 
 
c) Asuma una ley de movimiento del capital similar a la del modelo de Solow. Identifique los distintos casos 
relacionados en lo que refiere a los valores de los parámetros del modelo para determinar los distintos tipos 
de equilibrio de largo plazo. 
Respuesta: 
Pauta Ayudantía 8. 
 
d) Realice la gráfica usual de la tasa de crecimiento del capital como función del stock de capital para todos los 
casos relevantes discutidos en el punto (c). Muestre gráficamente la estabilidad de los equilibrios. 
Respuesta: 
Pauta Ayudantía 8. 
Ayuda: Para graficar la ecuación de la tasa de crecimiento del capital, es bastante útil calcular las derivadas de dicha función. 
Éstas les darán una pista de si es creciente, decreciente, constante, además de si es convexa, cóncava, lineal.

Otros materiales

Materiales relacionados

15 pag.
ModelodeSolow

User badge image

Central de Apuntes

7 pag.
PS6 (pauta)

User badge image

Central de Apuntes

9 pag.
Ayudantía 8

User badge image

Central de Apuntes