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Ayudantía 8

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ayudant́ıa 8
Macroeconomı́a I - EAE220D-3
Profesor: Emilio Depetris
Ayudantes: Marcela Arriagada - Carmen Cifuentes
07 de noviembre, 2018
Ejercicio 1: Crecimiento e instituciones
Suponga que la economı́a de un páıs está caracterizada por la siguiente función de producción:
Y = Kαt L
1−α
t N
donde 0 < α < 1, L es la cantidad de población, K el nivel de capital f́ısico y N es la calidad de las instituciones, la
cual se asume fija (note que no depende de t).
La evolución del capital f́ısico está dada por:
k̇t = s · f(kt, N)− (n+ δ)kt
donde s corresponde a la tasa de ahorro de la economı́a, n es la tasa de crecimiento de la población y δ es la tasa de
depreciación del capital.
a. Encuentre el estado estacionario de esta economı́a en función de los parámetros.
Respuesta:
Pauta en ayudant́ıa. kEE = sNn+δ
1
1−α
b. Si existe otro páıs cuyas instituciones son de mala calidad; en particular, un 25 % menos sólidas que las del páıs
descrito en el enunciado principal del problema, ¿cómo se comparan los productos per cápita de estas economı́as?
Para sus cálculos, si lo necesita, asuma que α = 0,5.
Respuesta:
NNuevo = 0,75N
El producto per cápita es menor en el páıs con instituciones de menor calidad.
c. Suponga que el mismo modelo del enunciado principal con α = 0,5; con la diferencia de que la calidad de las
instituciones depende del nivel de desarrollo del páıs: si es rico, tiene mejores instituciones, lo cual queda descrito
mediante la siguiente relación: N = a · kβt +A
donde β = 0,5 y a,A > 0. Explique la dinámica de este modelo y determine si existe estado estacionario.
Respuesta:
Pauta en ayudant́ıa. La tasa de crecimiento del capital es γk =
k̇
k = sa+
sA
k0,5t
− (n+ δ)
A medida que kt crece,
sA
k0,5t
tiende a 0.
La tasa de crecimiento de LP del capital será sa− (n+ δ)
d. ¿Qué sucedeŕıa si aumenta el parámetro a en el modelo descrito en el inciso c)? Explique
Respuesta:
Tanto en el corto como en el largo plazo, un aumento de a implica un mayor crecimiento del capital per-cápita;
sin embargo, este crecimiento no es tan alto en el corto plazo como en el largo plazo debido al segundo término
del lado derecho de la expresión asociada a la dinámica del capital per cápita.
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Ejercicio 2: Solow y trampa de la pobreza
Suponga una economı́a sin crecimiento de la población, con una tasa de depreciación del capital δ, una tasa de ahorro
constante e igual a s y una función de producción (per cápita) igual a:
y = akα
Donde a es un parámetro de productividad dado por:
a = a1 para k < k̃
a = a2 para k ≥ k̃
Donde
a1 < k̃
1−α δ
s
< a2
La idea es que cuando el nivel de producción es elevado, también lo es la productividad dado que hay más conocimiento
para difundir, se aprovechan economı́as de escala, etcétera.
a. Muestre que hay dos estados estacionarios y encuentre el valor del producto de equilibrio en estos dos puntos,
y1 e y2. Diga de qué sirve la condición dada en el enunciado, y qué pasa si:
k̃1−α
δ
s
< a1 < a2
Respuesta:
Dada la condición, tenemos que
(
a1
s
δ
) 1
1−α < k̃ <
(
a2
s
δ
) 1
1−α
Luego, k∗1 < k̃ < k
∗
2
Por lo tanto,
yEE1 = a1
(sa1
δ
) α
1−α
yEE2 = a2
(sa2
δ
) α
1−α
Si k̃1−α δs < a1 < a2 ⇒ k̃ < k
∗
1 < k
∗
2
Ambos estados estacionarios son mayor que k̃, por lo que existe un único equilibrio k∗2 , por lo que existirá un
único valor alcanzable para a.
b. Muestre que si la tasa de ahorro aumenta, una economı́a estancada en el equilibrio de bajo ingreso podŕıa salir
de él. Justifique además que incluso un aumento “transitorio” de la tasa de ahorro podŕıa sacar a la economı́a
de la trampa de pobreza.
Respuesta:
Suponiendo que estamos en el EE de bajos ingresos, se tiene que
(
sa1
δ
) 1
1−α < k̃
Como se puede observar, un aumento de la tasa de ahorro hará que el capital de estado estacionario de bajo
ingreso aumente. Si s aumenta lo suficiente, incluso transitoriamente, como para que k∗1 > k̃, esta economı́a
saldrá de la trampa de la pobreza.
Ejercicio 3: Crecimiento endógeno o exógeno
Considere una economı́a con función de producción:
Y = AK +BKαL1−α
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Donde K denota el stock de capital, L el número de trabajadores y A, B y α constantes positivas con 0 ≤ α ≤ 1. Esta
economı́a cumple con todos los supuestos del modelo de Solow, salvo que la función de producción no satisface una
de las condiciones de Inada. Denotamos la tasa de ahorro mediante s, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo
mediante n, la tasa de depreciación mediante δ y el capital por trabajador mediante k = K/L. No hay progreso
tecnológico y suponemos que sA ≥ n + δ. A continuación se le pide que responda varias preguntas. Recuerde que
k̇ = sf(k)− k(δ + n).
a. Determine la tasa de crecimiento de k: γk =
k̇
k . ¿A qué valores converge γk a medida que k crece?
Respuesta:
Pauta en ayudant́ıa. γk = sA− (n+ δ) + sBk1−α
A medida que aumenta k, γk converge a sA− (n+ δ) que es mayor que cero, por lo que k siempre aumentará a
esa tasa sin llegar a un estado estacionario.
b. Diga en cuánto aumenta γk si:
1. s aumenta en ∆s
Respuesta:
Pauta en ayudant́ıa. Aumento permanente.
2. n disminuye en ∆n.
Respuesta:
Pauta en ayudant́ıa. Aumento permanente.
Determine en cada caso si se trata de un efecto transitorio o permanente.
c. Compare sus respuestas en la parte final de b), si el efecto es transitorio o permanente, con los resultados
correspondientes del modelo de Solow.
Respuesta:
Modelo tradicional de Solow: f(k) = Bkα, por lo que A = 0. Con esto, se tiene que γk =
sB
k1−α − (n+ δ)
Se ve que para un valor dado de k, la tasa de crecimiento del capital aumentará cuando aumente s o disminuya
n. Sin embargo, este valor de todas formas converge a cero cuando se alcanza el nivel de estado estacionario para
el capital, momento en el cual se cumple
k∗ =
[ sB
n+ δ
] 1
1−α
Luego, si aumentamos s o disminuimos n lo que se logra es aumentar el nivel de capital de estado estacionario,
valor en el que se permanecerá cuando sea alcanzado, llegando a una tasa de crecimiento del capital igual a cero.
Es decir, en este caso el aumento es transitorio.
d. Sin ningún cálculo adicional, determine si en el modelo anterior se tiene:
1. Crecimiento endógeno.
Respuesta:
Śı existe crecimiento endógeno. Este modelo se llama Sobelow, que es un cruce entre el modelo de Solow-
Swan y de Rebelo. Existe crecimiento endógeno porque no es necesario un shock externo de productividad
total para que en el largo plazo haya crecimiento. Sin embargo, hay que notar que la condición para que
haya crecimiento de largo plazo es que sA ≥ n+ δ, es decir, que la tecnoloǵıa sea lo suficientemente grande.
2. Que los páıses más pobres crecen más rápido que los páıses más ricos (convergencia).
Respuesta:
Un páıs pobre tendrá stock de capital menor. Esto significará que el páıs ?pobre crecerá a una tasa de
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crecimiento mayor que la del páıs rico. Sin embargo, en el largo plazo, ambos páıses, ricos y pobres crecerán
a la tasa γk encontrada en la primera parte. La diferencia es que el páıs rico probablemente tendrá un
desarrollo tecnológico mayor, por lo que Arico > Apobre. Por lo que el páıs rico aún aśı seguirá creciendo a
tasas mayores.
Ejercicio 4: Cleptocracia en el Modelo de Solow
Considere el modelo de Solow básico (i.e; sin crecimiento tecnológico y con población constante). Asuma la siguiente
función de producción: Yt = AtK
α
t L
1−α
t
Los hogares ahorran una proporción γ de sus ahorros. El capital por trabajador se deprecia a una tasa δ. Suponga
que existe un gobierno corrupto que cada periodo se roba un monto m per cápita. Este monto de dinero se manda a
una cuenta bancaria en Suiza. Escriba las ecuaciones fundamentales del modelo de Solow para esta situación. Utilice
el diagrama de Solow paraanalizar esta economı́a (no necesita resolver algebraicamente). Pueden existir múltiples
equilibrios de largo plazo en esta economı́a? Si su respuesta es afirmativa, identifique todos los equilibrios posibles (por
medio de ayuda gráfica). Indique en sus gráficos a que equilibrios la economı́a convergerá dependiendo del valor inicial
del capital trabajador. Por favor, haga un análisis exhaustivo de las distintas posibilidades.
Respuesta:
Ecuaciones fundamentales:
kEE =
( sAt
δ + n
) 1
1−α
yEE = At
( sAt
δ + n
) α
1−α
γk =
k̇
k
= skα−1 − (δ + n)
El ingrediente principal para su respuesta es reconocer que la curva de inversión γf(k) ahora se traslada hacia abajo
en la cantidad m. La inversión per cápita en esta economı́a será γf(k)−m. Existen tres casos posibles:
1. Un solo EE estable globalmente kEE = 0. En este caso, la ĺınea de depreciación nunca intersecta la curva de
inversión.
2. Dos estados estacionarios en kl = 0 y kh > 0. Para obtener este escenario, la curva de inversión se hace tangente
a la ĺınea de depreciación. En este caso, el EE “high” es inestable por debajo pero estable por arriba.
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3. Tres estados estacionarios en kl = 0, khl > 0 y kh > 0. Este escenario se obtiene cuando la curva de inversión
intersecta la ĺınea de depreciación dos veces. Cuando el capital inicial está por arriba de klh, la economı́a converge
a kh. Cuando el capital inicial esta por debajo de klh, la economı́a converge a kl.
Ejercicio 5: Crecimiento por externalidades
Suponga que existen N firmas en la economı́a. Estas son indexadas por j y son idénticas entre si. Cada firma tiene la
siguiente función de producción: Yj = ĀK
α
j L
1−α
j
Ā es el nivel de conocimiento disponible para todas las firmas. Dependerá de la acumulación total de capital en la
economı́a: Ā = A0[
∑N
j=1Kj ]
γ
Asuma Lj = 1 y 0 < γ < 1. Llame Ỹ y K̃ a los valores de producto total y stock de capital para toda la economı́a.
a. Escriba Ỹ como función de N , A0, K̃ y el resto de los parámetros del modelo ¿Cuál es la interpretación económica
del parámetro γ?
Respuesta:
Se tiene que Ỹ =
∑N
j=1 Yj
Sustituyendo por Yj se tiene: Ỹ =
∑N
j=1 ĀK
α
j L
1−α
j
Sustituyendo para Ā y Lj se tiene:
Ỹ =
N∑
j=1
A0
[ N∑
j=1
]γ
Kαj
Adicionalmente, el capital agregado está dado por: K̃ =
∑N
j=1Kj
De modo que:
Ỹ =
N∑
j=1
A0[K̃]
γKαj
Además, el capital puede medirse como unidades f́ısicas comunes para todas las empresas, las cuales son idénticas
entre śı, de modo que: Kj =
K̃
N
Por lo tanto: Ỹ =
∑N
j=1A0K̃
γ
(
K̃
N
)α
De esa manera: Ỹ =
∑N
j=1A0K̃
γ+αN−α
De manera que: Ỹ = A0K̃
α+γN1−α
Por lo tanto, el parámetro representa los retornos decrecientes al capital sobre cada firma particular del capital
agregado.
b. Descomponga la tasa de crecimiento del producto total en el crecimiento de las distintas variables relevantes del
modelo.
Respuesta:
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Aplicamos logaritmo y derivamos para obtener la tasa:
log(Ỹ ) = log(A0) + (α+ γ) log(K̃) + (1− α) log(N)
Derivamos y obtenemos: ̂̃Y = (γ + α) ̂̃K + (1− α)N̂
c. Asuma una ley de movimiento del capital similar a la del modelo de Solow. Identifique los distintos casos rele-
vantes en lo que refiere a los valores de parámetros del modelo para determinar los distintos tipos de equilibrios
de largo plazo.
Respuesta:
De la ecuación de Solow: K̇ = sY − δK
Se tiene que: K̇ = sA0N
1−αKγ+α − δK
Por lo que: K̂ = sA0N
1−αKγ+α
K − δ
De manera que: K̂ = sA0N
1−αKγ+α−1 − δ
Se tienen tres casos:
1. γ + α < 1: EE único y estable.
2. γ + α > 1: EE inestable.
3. γ + α = 1: Existe crecimiento para siempre.
d. Realice la gráfica usual de la tasa de crecimiento del capital como función del stock de capital para todos los
casos relevantes discutidos en el punto c. Muestre gráficamente la estabilidad de los equilibrios.
Respuesta:
Los gráficos son los siguientes:
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e. Comente que pasa con el crecimiento económico de largo plazo en los casos descritos anteriormente.
Respuesta:
Con respecto al crecimiento de largo plazo, para el caso en el que γ + α < 1, dicho crecimiento es igual a
cero pues existe convergencia; mientras que para el caso en el que γ + α > 1, la economı́a (ante cualquier
perturbación) estará convergiendo a capital igual a cero, por un lado, mientras que crecerá infinitamente, por
otro lado, dada la inestabilidad del estado estacionario producto de los retornos crecientes a nivel agregado y los
retornos decrecientes a nivel individual. Finalmente, en el caso en el que γ + α = 1, el crecimiento en el largo
plazo es igual a sA0 para siempre.
f. Explique brevemente porque la existencia de externalidades implica que el equilibrio del modelo es socialmente
sub-optimo.
Respuesta:
Lo que sucede es que la economı́a le asigna más recursos a la producción, por lo que finaliza con un nivel menor
de producto, dada que la existencia de más fi
rmas produce ineficiencias en la producción pues el efecto que genera la mayor cantidad de empresas en la
economı́a no es internalizado por cada firma, j.
Ejercicio 6: Modelo de Arrow (PAUTA APARTE)
Asuma la siguiente función de producción en forma genérica: Yt = F (At,Kt, Lt)
La población crece a la tasa n. Como ingrediente novedoso asumimos que el progreso tecnológico se determina por la
siguiente formula: At = e
λtKγt , con 0 < γ < 1
a. Encuentre la tasa de crecimiento del progreso tecnológico y la tasa de crecimiento del capital por trabajador.
b. Encuentre la tasa de crecimiento del stock de capital en estado estacionario.
c. Encuentre la tasa de crecimiento del producto total en estado estacionario.
d. Encuentre la tasa de crecimiento del producto por trabajador en estado estacionario. Interprete.
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