Ayudantía 3

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Pauta Ayudantía 3 
Macroeconomía I 
Profesor: Emilio Depetris 
Ayudantes: Marcela Arriagada – Carmen Cifuentes 
 
Preguntas Conceptuales 
 
1. En un modelo de consumo inter-temporal con infinitos periodos, un aumento en la tasa de 
interés genera una caída del consumo debido a que el ingreso permanente disminuye. Comente. 
Respuesta: 
En un modelo de consumo inter temporal existen dos efectos: sustitución e ingreso. Es cierto que 
un aumento de la tasa de interés, por efecto sustitución, disminuye el ingreso permanente. Sin 
embargo, para saber el efecto final necesitamos saber qué pasa con el otro efecto. Esto hace que el 
comente sea falso o incierto, ya que dependerá de si es agente es ahorrador o deudor. 
 
2. Todos los habitantes de Macrolandia están endeudados. Es más, durante el último año los 
Macrolandianos han mostrado consistentemente niveles de consumo mayores a sus niveles de 
ingresos actuales. Ante esta situación, el presidente de Macrolandia le pregunta a usted si existen 
riesgos económicos. Explique bajo qué esquema teórico esta situación no sería preocupante. 
Respuesta: 
Esta situación no sería preocupante bajo un esquema de Hipótesis del Ingreso Permanente o Ciclo de 
Vida. Estas dos teorías complementarias nos dicen que los agentes son racionales y que desean 
suavizar sus niveles de consumo a través del tiempo. 
Éstas establecen que los individuos maximizan su utilidad del consumo a lo largo de su vida y que, 
como resultado de este problema de maximización, los individuos preferirán un nivel de consumo 
constante a través del tiempo. Si los agentes prevén un nivel de ingreso permanente mayor en el 
futuro, esta teoría nos indicaría que es natural que los individuos deseen endeudarse para así poder 
tener un nivel de consumo constante en el tiempo. 
 
Ejercicios 
1. Considere un individuo que vive por dos periodos y que tiene la siguiente función de utilidad: 
𝑢 = log (𝑐1 − 𝛼𝑐0 ) + 𝛽 𝑙𝑜𝑔 (𝑐2 − 𝛼𝑐1) 
Donde 𝛼 es un parámetro positivo y menor que 1, y 𝑐0 es un dato (tal vez su historia de 
consumo antes de que tomará decisiones). El individuo puede prestar y pedir prestado todo 
lo que desee a una tasa de interés r; esta tasa de interés es tal que 𝛽 (1+r) = 1. El individuo 
recibe un ingreso W en el primer período y cero en el segundo. Se pide: 
 
a. Interprete la función de utilidad y encuentre las condiciones de primer orden que relacionan 
𝑐1 y 𝑐2. 
 
 
Respuesta: 
La función de utilidad tiene hábitos: La utilidad del consumo de hoy depende del consumo de ayer. 
Si el consumo de ayer fue alto, la utilidad del consumo actual cae porque el individuo se 
acostumbra al consumo alto. La ecuación de Euler nos dice que se cumple: 
 
𝑢′(𝑐1)
𝑢′(𝑐2)
= 𝛽(1 + 𝑟) = 1 
 
𝑢′(𝑐1) = 𝑢′(𝑐2) 
 
 La utilidad marginal del consumo en 1 es: 
𝑢′(𝑐1) =
1
𝑐1 − 𝛼𝑐0
−
𝛼𝛽
𝑐2 − 𝛼𝑐1
 
 
Mientras que para el consumo en 2 es: 
𝑢′(𝑐2) =
1
𝑐2 − 𝛼𝑐1
 
 
Igualando, 
1
𝑐1 − 𝛼𝑐0
−
𝛼𝛽
𝑐2 − 𝛼𝑐1
=
1
𝑐2 − 𝛼𝑐1
 
 
1
𝑐1 − 𝛼𝑐0
=
1 + 𝛼𝛽
𝑐2 − 𝛼𝑐1
 
Con un poco de algebra simple nos queda: 
𝑐2 = (1 + 𝛼𝛽 + 𝛼)𝑐1 − 𝛼(1 + 𝛼𝛽)𝑐0 
 
 
b. Usando las condiciones de primer orden y la restricción presupuestaria, encuentre 𝑐1 como 
función de los parámetros para (𝛼; 𝛽;W; y 𝑐0)?; ¿Cuál es la solución para 𝑐1 cuando 𝛼 = 0? 
Respuesta: 
La restricción presupuestaria es 𝑐1 +
𝑐2
1+𝑟
= 𝑤 
Reemplazando el consumo en dos se obtiene, el consumo optimo en 1: 
𝑐1 =
𝑤
(1 + 𝛼𝛽)(1 + 𝛽)
+
𝛼𝛽
1 + 𝛽
𝑐0 
 
Con un poco más de algebra simple nos queda para el consumo en 2: 
 
𝑐2 =
(1 + 𝛼 + 𝛼𝛽)𝑤
(1 + 𝛼𝛽)(1 + 𝛽)
−
𝛼
1 + 𝛽
𝑐0 
 
Si 𝛼 = 0, el consumo óptimo en 1 (al igual que el consumo en 2) se reduce a: 
𝑐1 =
𝑤
(1 + 𝛽)
 
 
Es el típico caso cuando tenemos una función de utilidad logarítmica. Es decir, sin preferencias 
con hábitos (de consumo) el consumo óptimo parejo. 
 
c. Suponga que 𝑐0 = 0. ¿Qué pasa con 𝑐1 y 𝑐2, (aumentan o disminuyen) cuando 𝛼 aumenta? 
Si 𝑐0 = 0 nos quedan los consumos óptimos de la siguiente forma: 
𝑐1 =
𝑤
(1 + 𝛼𝛽)(1 + 𝛽)
 
 
𝑐2 =
(1 + 𝛼 + 𝛼𝛽)𝑤
(1 + 𝛼𝛽)(1 + 𝛽)
 
Ergo el consumo óptimo en 1 cae con un aumento de 𝛼 (dado que 𝛼 está relacionado a la 
des-utilidad de consumo presente por persistencia de hábitos) mientras que el consumo 
óptimo en 2 aumenta. Comparado al caso logarítmico, ahora tendremos una trayectoria 
creciente del consumo, donde el consumo en 1 será menor al del caso logarítmico. 
 
d. ¿Qué pasa con 𝑐1 y 𝑐2, (aumentan o disminuyen) cuando 𝑐0 aumenta? 
Respuesta: 
Como es de esperar, cuando 𝑐0 sube el individuo está acostumbrado a consumir harto, por 
lo tanto, el consumo en el período 1 aumenta. Esto es directo de la ecuación para el consumo 
óptimo en 1 como vimos arriba. Pero, de acuerdo con esa ecuación, el consumo en 1 aumenta 
menos que uno porque 
𝛼𝛽
1+𝛽
< 1. Esto hace que el acostumbramiento no se transmita al 
período 2 y por ello (y obviamente por lo contestado arriba) tendremos que en el período 2 el 
consumo cae. 
 
e. Determine el valor de 𝑐0 (como función del resto de los parámetros del problema) que hace 
que el individuo tenga un perfil consumo constante. Compare con los valores de 𝑐1 y 𝑐2 y 
discuta el resultado. 
Respuesta: 
Debemos encontrar el valor de 𝑐0 que hace que 𝑐1 = 𝑐2. Para ello necesitamos entonces: 
 𝑐1 = 𝑐2 
 
𝑐1 +
𝑐2
1 + 𝑟
= 𝑤 
 
pero sabemos que 
1
1+𝑟
= 𝛽. En consecuencia, como es esperable, cuando el consumo se 
reparte en partes iguales este debe igualar 
𝑤
1+𝛽
 en cada período. 
Igualando este valor con la ecuación del consumo óptimo en 1, tenemos que: 
𝑐0 =
𝑤
1 + 𝛼𝛽
 
 
Note que esta expresión es mayor que 𝑐1 = 𝑐2, o sea el nivel de acostumbramiento debe ser 
muy grande para impulsar al individuo a igualar 𝑐1 y 𝑐2, a un valor algo inferior. El alumno 
puede verificar en todo caso que la utilidad está bien definida, pues el argumento del 
logaritmo es positivo. 
 
 
2. Considere un problema de asignación de consumo de tres periodos para un individuo con tasa 
de descuento 𝛽. En el periodo 0, el agente maximiza la siguiente función de utilidad: 
𝑈 = 𝑈0 + (1 − 𝛽)𝑈1 + (1 − 𝛽)
2𝑈2 
 
y recibe, durante los tres periodos (0, 1 y 2), los ingresos 𝑌0, 𝑌1 , 𝑌2, respectivamente. La tasa de interés 
de mercado es r. 
a. Escriba la restricción presupuestaria asociada al problema de optimización del agente y 
derive las condiciones de primer orden para el consumo en los tres periodos. 
Respuesta: 
La RP inter temporal es: 
𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟)2
= 𝐶0 +
𝐶1
1 + 𝑟
+
𝐶2
(1 + 𝑟)2
 
Ahora que tenemos la función a maximizar y la restricción asociada podemos plantear el 
lagrangeano: 
𝐿 = 𝑈0 + (1 − 𝛽)𝑈1 + (1 − 𝛽)
2𝑈2 + 𝜆 [𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟)2
− 𝐶0 −
𝐶1
1 + 𝑟
−
𝐶2
(1 + 𝑟)2
] 
Obtenemos la CPO derivando respecto a cada una de las variables de interés: 
𝜕𝐿
𝜕𝐶𝑜
= 𝑈0
′ − 𝜆 = 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶1
= 𝑈1
′(1 − 𝛽) −
𝜆
1 + 𝑟
= 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶2
= 𝑈2
′(1 − 𝛽)2 −
𝜆
(1 + 𝑟)2
= 0 
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟)2
− 𝐶0 −
𝐶1
1 + 𝑟
−
𝐶2
(1 + 𝑟)2
= 0 
Juntando las CPO tenemos que: 
𝑈0
′ = 𝑈1
′(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) = 𝑈2
′(1 − 𝛽)2(1 + 𝑟)2 
Y así obtenemos nuestra ecuación de Euler: 
𝑈1
′ = 𝑈2
′(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
 
 
b. Asuma que el primer periodo ya ha pasado y que el agente tiene la posibilidad de re-optimizar 
sus niveles de consumo (presente y futuro). ¿Se desviará de la senda de consumo elegido en 
el primer periodo? 
Respuesta: 
Ya pasó un periodo, por lo que nuestro lagrangeano en el primer periodo sería: 
𝐿 = 𝑈1 + (1 − 𝛽)𝑈2 + 𝜆 [𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
− 𝐶1 −
𝐶2
1 + 𝑟
] 
Y las CPO: 
𝜕𝐿
𝜕𝐶1
= 𝑈1
′ − 𝜆 = 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶2
= 𝑈2
′(1 − 𝛽) −
𝜆
1 + 𝑟
= 0 
Juntando las CPO llegamos a la misma condición de optimalidad que en (a): 
𝑈1
′ = 𝑈2
′(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
Como las condicionesde optimalidad son las mismas, el comportamiento del consumo 
es consistente en el tiempo: el individuo no se desvía de su senda elegida de consumo. 
 
c. Cambia su respuesta anterior si asume, desde el inicio, que el agente tiene una función 
de utilidad inter temporal con descuento hiperbólico? 
Cuando consideramos una tasa de descuento hiperbólico (δ) nos queda el siguiente 
lagrangeano: 
𝐿 = 𝑈0 + 𝛿(1 − 𝛽)𝑈1 + 𝛿(1 − 𝛽)
2𝑈2
+ 𝜆 [𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟)2
− 𝐶0 −
𝐶1
1 + 𝑟
−
𝐶2
(1 + 𝑟)2
] 
Calculamos las CPO: 
𝜕𝐿
𝜕𝐶𝑜
= 𝑈0
′ − 𝜆 = 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶1
= 𝛿𝑈1
′(1 − 𝛽) −
𝜆
1 + 𝑟
= 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶2
= 𝛿𝑈2
′(1 − 𝛽)2 −
𝜆
(1 + 𝑟)2
= 0 
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟)2
− 𝐶0 −
𝐶1
1 + 𝑟
−
𝐶2
(1 + 𝑟)2
= 0 
Combinándolas llegamos a nuestra ecuación de Euler: 
𝑈1
′ = 𝑈2
′(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
Si tuviésemos la posibilidad de re-optimizar consumo en el primer periodo (cuando ya pasó 
T=0) resolveríamos el siguiente problema de optimización: 
𝐿 = 𝑈1 + 𝛿(1 − 𝛽)𝑈2 + 𝜆 [𝑌1 +
𝑌2
1 + 𝑟
− 𝐶1 −
𝐶2
1 + 𝑟
] 
Y las CPO: 
𝜕𝐿
𝜕𝐶1
= 𝑈1
′ − 𝜆 = 0 
𝜕𝐿
𝜕𝐶2
= 𝛿𝑈2
′ (1 − 𝛽) −
𝜆
1 + 𝑟
= 0 
Juntando las CPO llegamos a una condición de optimalidad diferente: 
𝑈1
′ = 𝛿𝑈2
′(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
Por lo tanto, con descuento hiperbólico, el agente cambia su senda de consumo cuando 
tiene posibilidad de re-optimizar en el primer periodo. 
Recordar que el descuento hiperbólico, por definición, no es como el exponencial al que 
típicamente nos enfrentamos. Su diferencia principal (no ser exponencial) tiene como 
consecuencia la no consistencia temporal. 
 
 
d. Brinde una interpretación de la función de utilidad con descuento hiperbólico utilizada en 
el inciso (c) (comparada con la función de utilidad con descuento exponencial utilizada 
en los primeros dos incisos). ¿En qué sentido el presente es especial en la función de 
utilidad utilizada en (c) comparada con la utilizada en (a) y (b)? 
Respuesta: 
Con descuento hiperbólico, las condiciones de optimalidad (comparadas con las del descuento 
exponencial) difieren por el parámetro δ. 
Si optimizo en T=0: 
𝑈1
′
𝑈2
′ = (1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
Si optimizo en T=1: 
𝑈1
′
𝑈2
′ = 𝛿(1 − 𝛽)(1 + 𝑟) 
 
Veamos qué pasa con sus valores: 
Si este factor es mayor que uno, esto implica que después de un periodo (en T=1), una unidad 
adicional de consumo en el periodo 1 obtiene mayor utilidad marginal comparada con el 
periodo 2 que la esperada durante el periodo 0. 
Si δ < 1, la utilidad marginal en el periodo 1 comparada con la del periodo 2 es más baja que 
la esperada cuando se optimiza en el periodo 0. 
 
La función es especial respecto del periodo presente porque incluye el factor que permite darle 
un peso relativo al consumo futuro, dependiendo del periodo en el que se optimice. Por tanto, 
esta función de utilidad hace que el individuo no sea temporalmente consistente. 
 
e. Bajo este modelo de tres periodos, asuma que la tasa de interés real entre el periodo 0 
y el periodo 1 es 𝑟1, mientras que entre el periodo 1 y el periodo 2 es 𝑟2. Muestre que 
si la tasa marginal de sustitución es igual al precio relativo del consumo entre periodos 
adyacentes (es decir, el periodo 0 y el periodo 1, por un lado; y el periodo 1 y el periodo 
2, por otro), entonces la tasa marginal de sustitución entre el consumo en el periodo 0 y el 
periodo 3 es igual al precio relativo enfrentado por el agente entre esos periodos. 
La TMS entre los periodos T=0 y T=2 es: 
𝑇𝑀𝑆0,2 = −
𝜕𝑈
𝜕𝐶𝑜
𝜕𝑈
𝜕𝐶2
 
También debemos notar que la RP sería un poco distinta: 
𝑌0 +
𝑌1
1 + 𝑟
+
𝑌2
(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)
= 𝐶0 +
𝐶1
1 + 𝑟
+
𝐶2
(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)
 
Como el enunciado nos indica que la tasa marginal de sustitución es igual al precio relativo 
del consumo entre periodos adyacentes, para el caso de la TMS entre el periodo 0 y el periodo 
2, tendríamos que: 
𝑇𝑀𝑆0,2 =
𝑃𝐶0
𝑃𝐶1
∙
𝑃𝐶1
𝑃𝐶2
=
𝑃𝐶0
𝑃𝐶2
 
Sabemos que el precio del consumo para cada uno de los periodos es: 
𝑃𝐶0 = 1 
𝑃𝐶2 =
1
(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)
 
Luego, 
𝑇𝑀𝑆0,2 =
1
1
(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)
= (1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2) 
 
 
3. Considere un individuo que vive infinito períodos. Estamos en el período 𝑡, y su perfil de ingresos 
es 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡+1 , 𝑌𝑡+2 y así sucesivamente. No hay impuestos, y en 𝑡 tiene cero activos netos. El 
individuo consume 𝐶𝑡 , 𝐶𝑡+1, 𝐶𝑡+2y así sucesivamente. La tasa de interés real es constante e igual 
a 𝑟. 
a. Escriba la restricción presupuestaria inter temporal. 
Ingresos deben ser iguales a egresos en valor presente. 
∑
𝐶𝑠
(1 + 𝑟)𝑠−𝑡
=
∞
𝑠=𝑡
∑
𝑌𝑠
(1 + 𝑟)𝑠−𝑡
∞
𝑠=𝑡
 
 
b. Suponga que ahora el individuo quiere un consumo constante durante su vida. Encuentre 
una expresión para este nivel de consumo como función de la trayectoria de ingresos y la 
tasa de interés ¿Cómo llamaría Ud. a la expresión que encontró? 
Usando la propiedad de una serie geométrica1 vista en ayudantía y algo de álgebra 
despejamos el consumo: 
𝐶 =
𝑟
1 + 𝑟
∑
𝑌𝑠
(1 + 𝑟)𝑠−𝑡
=
∞
𝑠=𝑡
𝑟 ∙ ∑
𝑌𝑠
(1 + 𝑟)𝑠−𝑡+1
∞
𝑠=𝑡
 
Esta expresión la podríamos llamar consumo parejo bajo ingreso permanente constante. 
Obviamente si el ingreso además es parejo y el individuo quiere consumo parejo no queda 
otra que C=Y. De la restricción de presupuesto inter temporal tendríamos: 
1 + 𝑟
𝑟
𝐶 =
1 + 𝑟
𝑟
𝑌 → 𝐶 = 𝑌 
 
c. Indique qué características de sus preferencias (utilidad) puede llevar a que el individuo 
quiera un nivel de consumo parejo. 
La expresión obtenida podría llamarse consumo parejo bajo ingreso permanente constante. 
Para que el individuo quiera consumir siempre un consumo constante parejo debería tener 
una función de utilidad con una elasticidad inter temporal de sustitución igual a cero. Ejemplo: 
Función de utilidad tipo Leontief en que el individuo no sustituirá consumo entre períodos ante 
cambios en la tasa de interés. 
 
 
 
1 Recordar que: ∑ 𝑎 ∙ 𝑅𝑛 =
𝑎
1−𝑅
∞
𝑛=0 
 
 
 
 
4. Una persona tiene la siguiente función de utilidad instantánea 
𝑢(𝑐𝑡) = ln (𝑐𝑡 − 𝑐̅ ) con 𝑐̅ > 0 
Esta persona nace en 𝑡 = 0 y vive para siempre. Asuma que 𝑟 > 𝜃 > 0 donde 𝑟 es la tasa de interés 
y 𝜃 es la tasa de impaciencia. Esta persona recibe un ingreso fijo 𝑊 todos los períodos desde 𝑡 = 0 
y empieza su vida con un stock de activos nulo. No existe incertidumbre sobre ese sendero de 
ingresos. Asuma que 𝑊 > 𝑐̅. Se pide: 
a. Escriba formalmente el problema de maximización inter temporal de esta persona. 
Respuesta. 
El individuo maximiza su utilidad considerando que vive un número infinito de periodos: 
max
{𝐶}𝑡=0
∞
∑ 𝛽𝑡 ∙ 𝑢(𝑐𝑡)
∞
𝑡=0
 
max
{𝐶}𝑡=0
∞
∑
1
(1 + 𝜃)𝑡
∞
𝑡=0
∙ ln (𝑐𝑡 − 𝑐̅ ) 
 
 
Sujeto a: 
 
∑
𝐶𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
=
∞
𝑡=0
∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 
 
b. Obtenga la ecuación de Euler relacionando el consumo entre dos períodos adyacentes 𝑡 y 
𝑡 + 1. 
Primero planteamos el lagrangeano asociado al problema: 
L = ∑
1
(1 + 𝜃)𝑡
∞
𝑡=0
∙ ln(𝑐𝑡 − 𝑐̅ ) + 𝜆 [∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
− ∑
𝐶𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
] 
Luego, derivamos respecto al consumo: 
𝜕𝐿
𝜕𝑐𝑡
=
1
(1 + 𝜃)𝑡
∙
1
(𝑐𝑡 − 𝑐̅ )
− 𝜆 ∙
1
(1 + 𝑟)𝑡
= 0 
1
(1 + 𝜃)𝑡
∙
1
(𝑐𝑡 − 𝑐̅ )
= 𝜆
1
(1 + 𝑟)𝑡
 
(1 + 𝑟)𝑡
(1 + 𝜃)𝑡
∙
1
(𝑐𝑡 − 𝑐̅ )
= 𝜆 
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑐𝑡+1
=
1
(1 + 𝜃)𝑡+1
∙
1
(𝑐𝑡+1 − 𝑐̅ )
− 𝜆 ∙
1
(1 + 𝑟)𝑡+1
= 0 
1
(1 + 𝜃)𝑡+1
∙
1
(𝑐𝑡+1 − 𝑐̅ )
= 𝜆
1
(1 + 𝑟)𝑡+1
 
(1 + 𝑟)𝑡+1
(1 + 𝜃)𝑡+1
∙
1
(𝑐𝑡+1 − 𝑐̅ )
= 𝜆 
(1 + 𝑟)𝑡
(1 + 𝜃)𝑡
∙
1
(𝑐𝑡 − 𝑐̅ )
=
(1 + 𝑟)𝑡+1
(1 + 𝜃)𝑡+1
∙
1
(𝑐𝑡+1 − 𝑐̅ )
 
(𝑐𝑡+1 − 𝑐̅)
(𝑐𝑡 − 𝑐̅ )
=
1 + 𝑟
1 + 𝜃
 
(
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐𝑡 − 𝑐̅ ) = (𝑐𝑡+1 − 𝑐̅) 
𝑐𝑡+1 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐𝑡 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ (1) 
 
 
c. ¿Cómo será el sendero temporal deconsumo de esta persona? 
Primero vemos la solución para el consumo en el segundo periodo: 
𝑐1 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ (2) 
 
Mientras que para el tercero (t=2) 
𝑐2 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐1 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ (3) 
 
Si combinamos (2) y (3) nos queda: 
𝑐2 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ ([(
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅] − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ 
𝑐2 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ ((
1 + 𝑟
1 + 𝜃
) ∙ (𝑐0 − 𝑐̅ )) + 𝑐̅ 
𝑐2 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
)
2
∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ 
 
Por ende, deducimos que la forma general es: 
𝑐𝑡 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
)
𝑡
∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ 
 
 
d. Resuelva por el valor del consumo en t = 0. Es decir, obtenga la solución cerrada para 𝑐𝑜 
como función de los parámetros 𝑟, 𝜃, 𝑐̅ y 𝑊. AYUDA: tiene que trabajar con iteraciones a 
partir de la ecuación de Euler. 
Sabemos que la fórmula general es: 
𝑐𝑡 = (
1 + 𝑟
1 + 𝜃
)
𝑡
∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ 
Y la restricción presupuestaria es: 
∑
𝐶𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
=
∞
𝑡=0
∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 
Reemplazando en el consumo tenemos: 
∑
1
(1 + 𝑟)𝑡
∙ [(
1 + 𝑟
1 + 𝜃
)
𝑡
(𝑐0 − 𝑐̅ ) + 𝑐̅ ] =
∞
𝑡=0
∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 
∑
1
(1 + 𝑟)𝑡
∙ [(
1 + 𝑟
1 + 𝜃
)
𝑡
(𝑐0 − 𝑐̅ ) ] +
1
(1 + 𝑟)𝑡
∙ 𝑐̅ =
∞
𝑡=0
∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 
∑ [
(𝑐0 − 𝑐̅ )
(1 + 𝜃)𝑡
 ] +
𝑐̅
(1 + 𝑟)𝑡
 =
∞
𝑡=0
∑
𝑊𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 
∑ [
(𝑐0 − 𝑐̅ )
(1 + 𝜃)𝑡
 ] + ∑
𝑐̅
(1 + 𝑟)𝑡
∞
𝑡=0
 =
∞
𝑡=0
𝑊 ∙
1 + 𝑟
𝑟
 
1 + 𝜃
𝜃
∙ (𝑐0 − 𝑐̅ ) +
1 + 𝑟
𝑟
𝑐̅ = 𝑊 ∙
1 + 𝑟
𝑟
 
𝑐0 − 𝑐̅ =
𝜃
1 + 𝜃
∙
1 + 𝑟
𝑟
(𝑊 − 𝑐̅) 
𝑐0 =
𝜃
1 + 𝜃
∙
1 + 𝑟
𝑟
(𝑊 − 𝑐̅) + 𝑐̅ 
 
 
 
5. Considere un individuo que vive infinito. Estamos en 𝑡, y sus ingresos pasados han sido siempre 
iguales a 𝑌, y espera que sigan siendo 𝑌 en el futuro. No hay impuestos y el individuo nace sin 
activos financieros. Este individuo quiere tener un consumo parejo siempre. La tasa de interés 
real es constante e igual a 𝑟. 
a. ¿Cuál es su consumo en (𝑡 − 1) y en todos los períodos previos? 
Dado que el individuo cree que sus ingresos seguirán siendo 𝑌𝑡 entonces: 
𝐶𝑡 = 𝑌𝑡 ∀ 𝑡 
b. Considere que repentinamente en t, el individuo recibe un ingreso 𝑌 + 𝑒, donde 𝑒 > 0. 
Podemos pensar que demostró ser muy talentoso y eso le significa un aumento para 
siempre en sus ingresos. En consecuencia, el individuo prevé que su ingreso 
permanecerá constante a partir de (𝑡 + 1) en 𝑌 + 𝑒 con probabilidad 𝑝, pero puede 
aumentar a 𝑌 + 2𝑒 con probabilidad (1 − 𝑝) y quedarse ahí para siempre. Calcule el 
valor presente de sus ingresos en caso de que el ingreso permanezca alto en 𝑌 + 𝑒 y en 
el caso que el ingreso sea aún más alto en 𝑌 + 2𝑒 (llámelos 𝑉𝑎 y 𝑉𝑚, por alto y muy alto, 
respectivamente). Ahora calcule el valor esperado del valor presente de sus ingresos y 
su nuevo nivel de consumo en t. 
Dado que 
∑
𝐴
(1 + 𝑟)𝑡
=
1 + 𝑟
𝑟
∙ 𝐴
∞
𝑡=0
 
Entonces, 
𝑉𝑎 =
1 + 𝑟
𝑟
∙ (𝑌 + 𝑒) 
Notar que acá se recibe desde t al infinito un ingreso de (𝒀 + 𝒆) 
 
𝑉𝑚 =
1 + 𝑟
𝑟
∙ (𝑌 + 𝑒) +
𝑒
𝑟
 
Notar que acá se recibe un ingreso de (𝒀 + 𝒆) desde t al infinito y además un ingreso extra 
de 𝒆 desde (t+1) al infinito (una perpetuidad, de allí la fórmula). 
 
De la RP sabemos que: 
∑
𝐶𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
= 𝑝𝑉𝑎 + (1 − 𝑝)𝑉𝑚
∞
𝑡=0
 
1 + 𝑟
𝑟
∙ �̅� = 𝑝𝑉𝑎 + (1 − 𝑝)𝑉𝑚 
�̅� = (𝑝𝑉𝑎 + (1 − 𝑝)𝑉𝑚)
𝑟
1 + 𝑟
 
Reemplazando, 
�̅� = (𝑝
1 + 𝑟
𝑟
∙ (𝑌 + 𝑒) + (1 − 𝑝) (
1 + 𝑟
𝑟
∙ (𝑌 + 𝑒) +
𝑒
𝑟
))
𝑟
1 + 𝑟
 
�̅� = (𝑝(𝑌 + 𝑒) + (1 − 𝑝) ∙ (𝑌 + 𝑒 +
𝑒
1 + 𝑟
)) 
�̅� = 𝑝𝑌 + 𝑝𝑒 + 𝑌 + 𝑒 +
𝑒
1 + 𝑟
− 𝑝𝑌 − 𝑝𝑒 −
𝑝𝑒
1 + 𝑟
 
�̅� = 𝑌 + 𝑒 +
𝑒
1 + 𝑟
−
𝑝𝑒
1 + 𝑟
 
 
 
Por lo que el consumo en t es: 
�̅� = (𝑌 + 𝑒) + 𝑒
1 − 𝑝
1 + 𝑟
 
 
 
c. Calcule la propensión marginal a consumir que un economista deduciría de los datos; es 
decir, 
𝑐𝑡−𝑐𝑡−1
𝑦𝑡−𝑦𝑡−1
.Un economista plantea que cuando el consumo sube más que el ingreso esto 
es una demostración que la gente es irracional ya que las teorías del consumo son incapaces 
de explicar esto. Discuta esta afirmación a la luz de sus resultados. ¿Cuál es su ahorro o 
endeudamiento en 𝑡? 
Respuesta: 
Lo primero que debemos notar es que 𝐶𝑡−1 = 𝑌𝑡−1 = 𝑌. 
𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 = 𝑌 + 𝑒 + 𝑒
1 − 𝑝
1 + 𝑟
− 𝑌 = 𝑒 + 𝑒
1 − 𝑝
1 + 𝑟
 
𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝑒 
𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1
𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1
=
𝑒 + 𝑒
1 − 𝑝
1 + 𝑟
𝑒
= 1 +
(1 − 𝑝)
1 + 𝑟
 
Podemos ver que la propensión a consumir es creciente en (1-p) que es la probabilidad de que 
el ingreso se mantenga muy alto y es mayor a 1. 
Si una noticia de buen ingreso refleja mayores expectativas (es decir, el ingreso permanece 
alto o sigue subiendo), entonces el ingreso permanente crece más que el ingreso, de manera 
que el consumo crecerá más (suena racional, ¿no?). Dado que el consumo crece más que el 
ingreso, el agente se endeudará en: 
𝑆 = 𝑌 + 𝑒 − 𝐶𝑡 = −
(1 − 𝑝) ∙ 𝑒
1 + 𝑟
 
 
Nota: Para entender mejor este ejercicio mirar sección 3.6 del JDG (Ingreso permanente). No es 
exactamente igual pero es una aplicación de él. 
 
d. Suponga ahora que estamos en (𝑡 + 1), cuando se sabe si el ingreso se mantendrá alto 
o aumentará más. Calcule el consumo del individuo en caso de que se quede alto el 
ingreso en 𝑌 + 𝑒 para siempre (denótelo 𝑐𝑎) y en el caso que suba aún más a 𝑌 + 2𝑒 
(denótelo 𝑐𝑚) y se quede ahí permanentemente. ¿Cómo evolucionan sus activos 
financieros en cada caso? ¿Se queda efectivamente constante el consumo? Discuta. 
Respuesta: 
Notemos que el valor presente del consumo debe ser igual al valor presente del ingreso 
más (1 + 𝑟) 𝑆; es decir, −(1 − 𝑝)𝑒. 
Al calcular los valores presentes, obtenemos los siguientes ingresos en t+1: 
𝐶𝑎 = 𝑌 + 𝑒 −
(1 − 𝑝) ∙ 𝑒 ∙ 𝑟
1 + 𝑟
 
Y, para el caso en que el ingreso sube más: 
𝐶𝑚 = 𝑌 + 2𝑒 −
(1 − 𝑝) ∙ 𝑒 ∙ 𝑟
1 + 𝑟
 
 
En ambos casos, el agente mantendrá una deuda constante ( 
(1−𝑝)𝑒
1+𝑟
 ) e irá pagando los 
intereses. Esto le permite tener un consumo parejo, aunque algo menor que su ingreso. 
El consumo ex-post en t + 1 será distinto a 𝐶𝑡 porque dependerá de qué es lo que ocurra 
en la realidad. El consumo en t es su ingreso esperado; el que después ajusta hacia arriba 
o hacia abajo. A partir de t + 1, el consumo es constante dado que no hay más 
incertidumbre.