Ayudantia_2 Pauta

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Macroeconomı́a I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Ayudante: Raimundo Pino (rpino2@uc.cl)
Ayudant́ıa 2
1. Modelo de Fisher
Considere un individuo que vive por dos peŕıodos cuya función de utilidad es:
U(c1, c2) = ln c1 + βln c2
Suponga que su ingreso en el primer peŕıodo es 1,3 y en el segundo peŕıodo es 1. Además, suponga que β = 0, 5
y que la tasa de interés es r = 20 %
a) Grafique la restricción presupuestaria interptemporal del individuo.
b) Vuelva a graficar la restricción presupuestaria intertemporal pero ahora agregue la curva de utilidad del
individuo y determine si el individuo se endeuda o ahorra. ¿Cuánto consume en cada peŕıodo?
c0 = 1, 4222, c1 = 0, 8533 . Como su consumo en el primer peŕıodo es mayor a su ingreso, sabemos que el
individuo se endeuda.
1
c) Ahora asuma que la tasa de interés aumenta a r = 250 %. Grafique la nueva situación a la quese enfrenta el
individuo y calcule los nuevos niveles de consumo. ¿Está mejor o peor que en lasituación inicial? Muestre
los cambios en un gráfico.
c0 = 1, 0571 , c1 = 1, 85. En el gráfico se puede ver claramente que el individuo está mejor conesta nueva
tasa de interés.
d) Suponga que el individuo es el individuo respresentativo de la economı́a y que es una economı́a cerrada.
¿Cuál es la tasa de interés de equilibrio?
Como el individuo pasa a ser el individuo representativo de esta economı́a, en equilibrio se debe cumplir
que c0 = y0. De las CPO sabemos que c1 = c0β(1 + r)
c0 +
c1
1 + r
= y0 +
y1
1 + r
c0 + βc0 = y0 +
y1
1 + r
2
y0(1 + β) = y0 +
y1
1 + r
Reemplazando con los valores de y0 e y1 tenemos:
r∗ = 0, 5385
2. Restricción de Liquidez
Suponga una economı́a compuesta por tres clases de individuos: jóvenes (de 0 a 20 años), adultos (de21 a 60
años), y viejos (de 61 a 70 años, edad a la cual mueren). Cada año nace un nuevo joven y muere un viejo. Los
ingresos anuales para cada grupo son los siguientes:
La función de utilidad de los individuos viene dada por
∑70
t=1 ln ct, donde ct representa el consumo en cada
peŕıodo. Considere para todo el problema que r = ρ = 0.
a) Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimización
que enfrenta el individuo, incorporando la restricción presupuestaria y obtenga elconsumo óptimo c∗t para
cada peŕıodo. Derive expresiones para el ahorro st a lo largo de la vida del individuo y para el ahorro
agregado St.
Los individuos obtienen distintos niveles de ingresos a lo largo de su vida: durante los primeros veinte
años obtienen YA4 Los siguientes cuarenta años obtienen YA y en los últimos diez añosde su vida obtienen
YA
5 . Por principio de no saciedad, el individuo gasta todo su ingreso enconsumo, por lo que la restricción
puede plantearse aśı:
70∑
t=1
ct =
20YA
4
+ 40YA +
50YA
5
70∑
t=1
ct = 47YA
El problema de maximización es:
L :
70∑
t=1
ln ct + λ(47YA −
70∑
t=1
ct)
Condiciones de primer orden:
[ci] :
1
ci
− λ = 0
[cj ] :
1
cj
− λ = 0
De lo anterior se obtiene: ci = cj para todo i, j.
Reemplazando en la restricción presupuestaria:
47YA = 70ct
c∗t =
47YA
70
Para calcular el ahorro del individuo en cada peŕıodo usamos la ecuación:
st = Yt − ct
3
Ahorro juventud:
sJ =
−59YA
140
Ahorro adultez:
sA =
23YA
70
Ahorro vejez:
sV =
33YA
70
Calculando el ahorro agregado:
St = 20
−59YA
140
+ 40
23YA
70
+ 10
33YA
70
= 0
b) Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de forma tal
que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimización que enfrenta el individuo en este caso
y calcule la trayectoria óptima del consumo c∗t , del ahorro st y del ahorro agregado de la economı́a St.
¿Cómo se compara con el calculado en la parte a)?
Dado que en su juventud los individuos no pueden endeudarse, su consumo durante ese peŕıodoserá igual
al ingreso que reciban en cada momento. Por lo tanto, en cada año de su juventud, suconsumo será YA4 ,
mientras que en el resto de su vida intentará suavizar consumo y queda de la forma:
40YA +
10YA
5
=
70∑
t=21
ct
42YA =
70∑
t=21
ct
ci = cj
42YA = 50c
∗
t
c∗t =
21YA
25
Ahorro juventud:
sJ = 0
Ahorro adultez:
sA =
4YA
25
Ahorro vejez:
sV =
−16YA
25
Calculando el ahorro agregado:
St = 0 + 40
4YA
25
+ 10
−16YA
25
= 0
El ahorro agregado se mantiene en 0, pero ahora el ahorro en la adultez es menor que en el casosin
restricciones de liquidez. Esto ocurre ya que no puede suavizar consumo en sus primeros 20 años.
3. Restricción Presupuestaria Intertemporal
Considere un individuo que vive infinitos peŕıodos. Estamos en el peŕıodo t y su perfil de ingresos es Yt, Yt+1
y Yt+2 y aśı sucesivamente. Ent tiene cero activos netos y no hay impuestos. El individuo consume Ct, Ct+1 y
Ct+2 y aśı sucesivamente. La tasa de interés real es constante e igual a r.
4
a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal.
∞∑
s=t
Cs
(1 + r)s−t
=
∞∑
s=t
Ys
(1 + r)s−t
b) Suponga ahora que el individuo quiere un nivel de consumo constante a lo largo de su vida. Encuentre
una expresión para este nivel de consumo como función de la trayectoria de ingresosy la tasa de interés.
¿Cómo llamaŕıa a la expresión que encontró?
Usando la propiedad de una serie geométrica y un poco de álgebra obtenemos:
C =
r
1 + r
∞∑
s=t
Ys
(1 + r)s−t
= r
∞∑
s=t
Ys
(1 + r)s−t+1
Esta expresión la podŕıamos llamar consumo parejo bajo ingreso permanente constante. Obviamente si el
ingreso además es parejo y el individuo quiere consumo parejo, no queda otra que C = Y . De la restricción
presupuestaria intertemporal tendréıamos:
1 + r
r
C =
1 + r
r
Y → C = Y
c) Indique qué caracteŕısticas de sus preferencias puede llevar a que el individuo quiera un nivel deconsumo
constante.
Para que el individuo quiera un perfil de consumo constante parejo, debeŕıa tener una función de utilidad
con una elasticidad intertemporal de sustitución igual a cero. Ejemplo: Función de utilidad tipo Leontief
en que el individuo no sustituirá consumo entre peŕıodos ante cambies en la tasa de interés.
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