Ayudantía 4 Pauta

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Macroeconomı́a I
Ayudant́ıa 4
Profesor: Rodrigo Cifuentes Abril 2021
Ayudante: Maŕıa Antonia Yung mayung@uc.cl
Problema 1. Muestre que la solución del modelo de Hall (camino aleatorio) en el modelo de
Carrol (ahorro precautorio) no cumple con la ecuación de Euler. ¿Significa esto que en el modelo
de Hall nunca vamos a tener ahorro precautorio y que solo los agentes aversos al riesgo lo tendrán?
Consideremos el modelo de 2 periodos, pero esta vez, el ingreso en el periodo 2 es incierto (aleatorio).
Suponemos que el individuo toma su decisión en t para t y t+ 1.
max
ct,ct+1
u(ct) + βEt[u(ct+1)]
S. a. ct +
ct+1
(1 + r)
≤ yt +
yt+1
(1 + r)
con β = 11+ρ , donde ρ es la tasa de descuento intertemporal. El individuo maximiza el valor esperado
de la utilidad en el siguiente periodo. El valor esperado se toma basado en toda la información
acumulada al periodo t. Esto corresponde a las expectativas racionales.
Resolviendo el problema de maximización para una solución interior (y asumiendo no saciedad
local), tenemos:
∂
∂ct
= u′(ct)− λ = 0 → u′(ct) = λ
∂
∂ct+1
= βEt[u
′(ct+1)]−
λ
(1 + r)
= 0 → β(1 + r)Et[u′(ct+1)] = λ
⇒ u′(ct) = β(1 + r)Et[u′(ct+1)]
Suponemos, por simplicidad, que β(1 + r) = 1.
u′(ct) = Et[u
′(ct+1)]
Es decir, el consumo en valor esperado en el periodo 2 es igual al consumo cierto del periodo 1.
Nota:
Dado que el valor esperado ha sido tomando en consideración toda la información disponible en
t, el único origen de desviaciones serán shocks inesperados al consumo, es decir, Ct+1 = EtCt+1
+ ªt+1, donde el valor esperado en t de εt+1 es 0. En consecuencia, la condición de primer orden
implica que:
Ct+1 = Ct + εt+1
Es decir, C sigue un camino aleatorio.
1
Hall propone una función de utilidad cuadrática, donde
u′(c) > 0
u′′(c) < 0
u′′′(c) = 0
Esto significa que tiene una utilidad marginal lineal, es decir,
E[u′(c)] = u′(E[c])
Usando esto en la ecuación de Euler encontrada, tenemos que
u′(ct) = Et[u
′(ct+1)] = u
′(Et[ct+1])
⇒ ct = Et[ct+1]
Por otro lado, el modelo del ahorro precautorio nos dice que
u′(c) > 0
u′′(c) < 0
u′′′(c) > 0
Esto significa que la utilidad marginal es convexa. Consumir más siempre es mejor, pero una unidad
extra de consumo aporta cada vez menos a la utilidad del individuo (me hace feliz, pero cada vez
menos). La tercera derivada positiva me dice que esa cáıda en el aporte a la utilidad es cada vez
más rápida (no es una cáıda constante, es más exponencial). Por lo tanto, el impacto de ganar una
unidad de consumo adicional mañana es menor al daño que me produce perder esa unidad mañana.
Es decir, el riesgo me hace “daño”.
Luego, tenemos
Et[u
′(ct+1)] > u
′(Et[ct+1])
Como en Hall teńıamos que ct = Et[ct+1], significa que la solución encontrada en ese modelo
rompe con la Ecuación de Euler para el modelo de ahorro precautorio.
Et[u
′(ct+1)] > u
′(ct)
Intuitivamente, la utilidad de consumir una unidad más de consumo hoy es menor que la que
ganaŕıa consumiendo esa unidad en el futuro. Entonces, existe ahorro precautorio.
Esto no significa que en el modelo de Hall no vayamos a tener ahorro precautorio nunca, pero
para que esto ocurra, debe haber restricciones de liquidez. Por ejemplo, si el individuo no se puede
endeudar y solo puede ahorrar, se verá obligado a ahorrar más que el óptimo, lo que reduce su
consumo hoy y aumenta el valor esperado del consumo mañana. Es decir, debido a la restricción
de liquidez, los agentes aumentan su ahorro para tener un “colchón” que los cubra, dado que ya no
pueden usar deuda, en caso de recibir un shock negativo a su ingreso en el futuro.
2
Problema 2. Suponga que las familias chilenas deciden su consumo maximizando la siguiente
función de utilidad:
U(C1, C2) = u(C1) + βu(C2)
u(Ci) = ln(Ci)
Además, suponga que la tasa de interés r entre el periodo 1 y 2 es cero.
La situación que enfrentan las familias chilenas en el actual escenario de pandemia se puede
resumir en las siguientes tres situaciones:
• Algunas de ellas (familia tipo 1) ha logrado mantener su empleo por lo que Y 11 = 100.
• Un segundo tipo de familia (tipo 2) han visto sus ingresos reducidos a Y 21 = 60. Su situación
no la califica para recibir ayudas del Estado.
• Un tercer tipo de familia (tipo 3) se encuentra desempleada en el peŕıodo 1, de manera que
su ingreso del trabajo es cero. Suponga que recibe ayuda del Estado tal que Y 31 = 20.
Todas ellas evalúan en 50% la probabilidad de estar plenamente empleados en el peŕıodo sigu-
iente (Y 12e = Y
2
2e = Y
3
2e = 100), y en 50% la probabilidad de no estarlo. En ese caso, podrán recibir
ayuda básica del Estado (Y 12d = Y
2
2d = Y
3
2d = 20).
Suponga que ninguna de estas familias cuenta con ahorros previos, y que ρ = 0.
1. Indique el nivel de consumo deseado en el peŕıodo 1 de cada uno de los tipos de familia.
Sugerencia: Defina Y iT j = Y
i
1 + Y
i
2 , donde j = {e, d} e i = {1, 2, 3}. Es decir Y iT j es la suma
del ingreso en los periodos 1 y 2 en cada escenario posible j, para cada tipo de familia i. No
reporte más de un decimal en sus cálculos1.
Tenemos que cada tipo de familia se enfrenta al siguiente problema
max ln(C1) + 0.5 ln(C2e) + 0.5 ln(C2d)
S. a. YTe = C1 + C2e → C2e = YTe − C1
YTd = C1 + C2d → C2d = YTd − C1
Entonces, nuestro lagrangeano será
L = ln(C1) + 0.5 ln(C2e) + 0.5 ln(C2d) + λe(YTe − C1 − C2e) + λd(YTd − C1 − C2d)
CPO:
∂L
∂C1
=
1
C1
− λe − λd = 0
∂L
∂C2e
=
0.5
C2e
− λe = 0 → λe =
0.5
C2e
∂L
∂C2d
=
0.5
C2d
− λd = 0 → λd =
0.5
C2d
1Recuerde que la solución de una ecuación de segundo orden es
−b±
√
b2−4ac
2a
3
=⇒ 1
C1
− 0.5
C2e
− 0.5
C2d
= 0
1
C1
− 0.5
(YTe − C1)
− 0.5
(YTd − C1)
= 0
(YTe − C1)(YTd − C1)− 0.5C1(YTd − C1)− 0.5C1(YTe − C1) = 0
Desarrollando el álgebra llegamos a:
2C21 − (1.5YTe + 1.5YTd)C1 + YTeYTd =
La cual tiene dos soluciones, dadas por:
C1 =
1.5(YTe + YTd)±
√
(1.5(YTe + YTd))2 − 8YTeYTd
4
Familia Tipo 1
YTe = 100 + 100 = 200
YTd = 100 + 20 = 120
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = {��167︸︷︷︸
>120
, 71}
Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 100− 71 = 29
⇒ C2e = 129
C2d = 49
Familia Tipo 2
YTe = 60 + 100 = 160
YTd = 60 + 20 = 80
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = {���131.2︸ ︷︷ ︸
>80
, 48.8}
Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 60− 48.8 = 11.2
⇒ C2e = 111.2
C2d = 31.2
Familia Tipo 3
YTe = 20 + 100 = 120
YTd = 20 + 20 = 40
4
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = {���94.6︸︷︷︸
>40
, 25.4}
Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 20− 25.4 = −5.4
⇒ C2e = 94.6
C2d = 14.6
En este caso, las familias son aversas al riesgo, ahorran no solo por suavizar consumo, sino
porque la incertidumbre les genera des-utilidad. En consecuencia, ahorran precautoriamente.
u′(c) =
1
c
u′′(c) = − 1
c2
u′′′(c) =
2
c3
> 0 −→ Prudente!
2. ¿Cómo cambiaŕıa su decisión de consumo si las familias no fueran prudentes? En particular,
suponga una función cuadrática tipo modelo de Hall: u(Ci) = Ci − C2i .
Entonces, tenemos:
u′(c) = 1− 2c
u′′(c) = −2
u′′′(c)= 0 −→ NO prudente!
Entonces, el problema será
maxC1 −
C21
+
0.5
(
C2e −
C22e ) + 0.5
(
C2d −
C22d )
S. a. YTe = C1 + C2e → C2e = YTe − C1
YTd = C1 + C2d → C2d = YTd − C1
Entonces, nuestro lagrangeano será
L = C1 − C21 + 0.5(C2e − C22e) + 0.5(C2d − C22d) + λe(YTe − C1 − C2e) + λd(YTd − C1 − C2d)
CPO:
∂L
∂C1
= 1− 2C1 − λe − λd = 0
∂L
∂C2e
= 0.5− C2e − λe = 0 → λe = 0, 5− C2e
∂L
∂C2d
= 0.5− C2d − λd = 0 → λd = 0.5− C2d
5
=⇒ 2C1 − C2e − C2d = 0
C1 = 0.5C2e + 0.5C2d
→ Intenta igualar el consumo 1 al promedio en 2
2C1 − (YTe − C1)− (YTd − C1) = 0
2C1 = (YTe − C1) + (YTd − C1)
4C1 = YTe + YTd
C1 =
YTe + YTd
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Familia Tipo 1
YTe = 100 + 100 = 200
YTd = 100 + 20 = 120
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = 80
Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 100− 80 = 20 - Menor al ahorro con una función
de utilidad CRRA. Ahora solo están suavizando consumo.
⇒ C2e = 120
C2d = 40Familia Tipo 2
YTe = 60 + 100 = 160
YTd = 60 + 20 = 80
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = 60
Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 60− 60 = 0
⇒ C2e = 100
C2d = 20
Familia Tipo 3
YTe = 20 + 100 = 120
YTd = 20 + 20 = 40
Reemplazando en la ecuación para C1, tenemos:
C1 = 40
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Por lo tanto, el ahorro en el periodo 1 será: 20− 40 = −20
⇒ C2e = 80
C2d = 0
Para las siguientes preguntas considere la función de utilidad original.
3. Comente si cree que todas las familias enfrentan una situación similar para lograr su nivel de
consumo deseado. Si cree que algunas tienen más dificultades que otras, señale cuáles seŕıan
estas.
No todas las familias enfrentan una situación similar, la familia tipo 3 debe endeudarse para
obtener el nivel deseado de consumo (dadas las circunstacias). Sin embargo, los otros dos
tipos de familia ahorran en el periodo 1.
Es importante notar que la probabilidad de que la familia tipo 3 logre endeudarse es baja,
debido a que está desempleada en el periodo 1, por lo que se enfrentará a restricciones de
liquidez. Mientras que para las otras familias, su senda de consumo depende únicamente de
ellos y podrán cumplirla sin restricciones.
4. Suponiendo que cada tipo de familia representa el mismo porcentaje de la población, indique
el nivel de ahorro agregado de las familias si ellas logran implementar su consumo deseado,
y cuál seŕıa si no lo logran. Calcule y compare ambos con el nivel de ahorro que existiŕıa si
hubiese pleno empleo y no hubiese riesgo de desempleo (es decir los tres tipos de familias están
trabajando y recibiendo un ingreso de 100 y tienen la certeza de que eso seguirá ocurriendo
en el peŕıodo 2). Comente las diferencias que se producen entre ambos escenarios (es decir,
con y sin pandemia), y las consecuencias que tienen esas diferencias para el equilibrio macro.
Si todas las familias logran su consumo deseado, el ahorro agregado es 29+11.2–5.4 = 34.8. Si
las familias tipo 3 no lo logran, el ahorro agregado es 29+11.2 = 40.2. Si no hay incertidumbre,
el ahorro agregado es 0.
La pandemia aumenta el ahorro de esta economı́a. Este ahorro es máximo cuando hay re-
stricciones de liquidez, es decir, cuando la familia tipo 3 no logra acceder a un crédito en el
peŕıodo 1. Cuando hay mercados financieros perfectos, es decir, la familia 3 logra acceder a
un crédito, el ahorro es menor. Consecuencias macro: La pandemia aumenta el ahorro (si
bien no el bienestar!). El acceso al crédito (mercado financiero perfecto) disminuye el ahorro.
5. Suponga ahora que se permite retirar el 10% de los fondos que las familias tienen en su Fondo
de Pensiones (FP). Sin incluir consideraciones adicionales a las planteadas, comente qué tan
probable (verbalmente, no se piden cálculos numéricos) cree usted es que cada tipo de familia
lo retire y por qué.
Familia 1: Poco probable que lo saque (sin consideraciones adicionales), ya que en el peŕıodo
actual no ha cáıdo su ingreso. Si en el siguiente cayera (50% de probabilidades), ah́ı podŕıa
sacarlo.
Familia 2: Su ingreso cayó en el peŕıodo 1. Hay una probabilidad positiva de que quiera
sacarlo.
Familia 3: Su ingreso cayó mucho en el peŕıodo 1. Su consumo deseado en la situación actual
requiere de acceso al crédito que probablemente no logre. Es altamente probable que saque
el 10%.
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6. Suponga ahora que en cada una de los tipos de familias hay tanto familias jóvenes donde
los adultos recién empiezan su vida laboral como familias donde los adultos se encuentran
cerca de su jubilación. Indique si esta consideración cambia en algo su respuesta anterior.
Puede incluir consideraciones tanto de transitoriedad versus permanencia de los efectos como
de efectos ciclo de vida.
Consideración de transitoriedad/permanencia del shock: los shocks permanentes se absorben
en su totalidad. Los shocks transitorios se suavizan. Este shock es transitorio.
Consideraciones Ciclo de Vida: Para las familias más cerca de su jubilación esto se parece más
a un shock permanente, ya que hay menos peŕıodos de normalidad hacia adelante. Para las
familias jóvenes, no hay cambios en la percepción del shock como transitorio, ya que tienen
muchos peŕıodos de normalidad (sin pandemia), hacia adelante.
Por lo tanto, es esperable que las familias tipo 2 y 3 jóvenes saquen su fondo porque querrán
suavizar más este shock. Las familias tipo 2 y 3 más cerca de su retiro serán menos propensas
a sacar su fondo (puede que saquen un monto más bajo), ya que querrán absorber parte de la
perdida hoy (suavizarán consumo menos que los jóvenes) y aśı no ver perjudicados demasiados
sus ingresos de la vejez.
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