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Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Profesor: Rodrigo Cifuentes Junio 2021 Ayudante: Maŕıa Antonia Yung mayung@uc.cl Resumen Crecimiento Modelo neoclásico de crecimiento Solow (1956) y Swan (1956) Función de Producción: Y = F (K,L) → Producto marginal positivo y decreciente en cada factor: FK , FL > 0; FKK , FLL < 0 → Retornos constantes a escala: F (λK, λL) = λF (K,L) → Cumple INADA [Cuando un factor es escaso, su productividad marginal tiende a infinito; cuando un factor es abundante, su productividad marginal tiende a cero]. En términos per cápita: YL = F ( K L , L L ) ⇒ y = f(k) Dinámica del capital: Kt+1 = I + (1− δ)Kt ⇒ Kt+1 −Kt = I − δKt Ẋ = dX dt K̇ = I − δK = sF (K,L)− δK En términos per cápita: K̇L = i− δk = sf(k)− δk k̇ ≡ dKL dt = dK dt L− dL dtK L2 = dK dt �L L�L − dL dt L K L = K̇ L − L̇ L︸︷︷︸ n k k̇ ≡ K̇ L − nk ⇒ K̇ L = k̇ + nk K̇ L = sf(k)− δk ⇒ k̇ = sf(k)− δk − nk k̇ = sf(k)− (δ + n)k Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 → La variación del capital per cápita depende de la inversión y de su “desgaste”. El capital per cápita se deprecia por su uso, pero también porque si aumenta la población hay un menor número de máquinas por persona. A esto se le llama tasa de depreciación efectiva. Estado Estacionario: Situación en la cual los agregados crecen a tasas constantes. → El capital per cápita es constante (no crece, no vaŕıa), por lo que el producto y consumo per cápita tampoco lo hacen (su única variable es el capital per cápita, lo demás son parámetros). kt = kt+1 = ... = k ∗ ⇒ k̇ = 0 ⇒ sf(k∗) = (δ + n)k∗ ⇒ y∗ = f(k∗) ⇒ c∗ = (1− s)f(k∗) → Las cantidades per cápita son constantes en el estado estacionario. Los niveles de de K, C e Y śı crecen; dependen del crecimiento de la población, por ejemplo. Regla de oro: Tasa de ahorro que maximiza el consumo per cápita. → El capital per cápita depende positivamente de la tasa de ahorro (si ahorro una porción más grande de mi ingreso per cápita, entonces mi inversión per cápita será mayor, y esto implica más capital per cápita). Definimos: c∗ = (1− s)f(k∗) El consumo se maximiza cuando dc ∗ ds = 0 (ojo que es la derivada total, no parcial!) Reescribiendo c∗ = f(k∗)− sf(k∗) Dado que k̇ = 0 ⇒ sf(k∗) = (n+ δ)k∗ Reemplazando en la función de consumo tenemos: c∗ = f(k∗)− (n+ δ)k∗ Dejamos el consumo en función del capital per cápita de ee, que a su vez depende de la tasa de ahorro. Entonces, por regla de la cadena: dc ∗ ds = ∂c∗ ∂k∗ dk∗ ds . dc∗ ds = [f ′(k∗)− (n+ δ)] � ��dk ∗ ds = 0 ⇒ f ′(koro) = (n+ δ) → De aqúı obtenemos (despejamos) el captial per cápita de la regla de oro y con eso podemos obtener el nivel de ahorro y consumo de la regla de oro. Modelo de crecimiento con ahorro óptimo Ramsey (1928), Cass (1965) y Koopmans (1965) Ya no suponemos tasa de ahorro constante, ahora es una variable más de decisión. El hogar representativo debe elegir una senda de consumo (elegir consumo es elegir ahorro) que maximice su utilidad en el tiempo. → El hogar produce y consume los bienes de la economı́a. Lo que no consume lo ahorra e invierte en capital para producir. 2 2 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 El problema del hogar representativo. máx ct U = ∞∑ 0 βtu(ct) S. a. kt+1 = f(kt)− ct + (1− δ)kt k0 = k̄ ĺım t→∞ ktβ t = 0 L = ∞∑ t=0 βtu(ct) + ∞∑ t=0 µt+1[f(kt)− ct + (1− δ)kt − kt+1] Recordemos que µt+1 es el precio sombra de la restricción. Es decir, cuánto valoro aflojar esta restricción y obtener una unidad de capital adicional. CPO. ∂L ∂ct =βtu′(ct)− µt = 0 ⇒ βtu′(ct) = µt ∂L ∂kt =− µt + [(1− δ) + f ′(kt)]µt+1 = 0 ⇒ f ′(kt) + (1− δ) = µt µt+1 ∂L ∂kT+1 =− µT+1 ≤ 0 ⇒ µT+1kT+1 = 0 Ecuación de Euler. Usando ambas ecuaciones anteriores tenemos: ��β tu′(ct) � ��βt+1u′(ct+1) = f ′(kt) + (1− δ) u′(ct) βu′(ct+1) = f ′(kt) + (1− δ) → La tasa marginal de sustitución intertemporal debe ser igual a la productividad marginal del capital y su valor residual. → La tasa de interés de mercado será la rentabilidad del capital (neta de depreciación): r = f ′(kt)−δ (es el costo de oportunidad de usar esa unidad de capital). Reescribiendo la ecuación de Euler: u′(ct) βu′(ct+1) = 1 + f ′(kt)− δ︸ ︷︷ ︸ r u′(ct) u′(ct+1) = β(1 + r) → Si ρ = r ⇒ β(1 + r) = 1. En este caso, el consumo es el mismo en el tiempo. u′(ct) = β(1 + r)︸ ︷︷ ︸ 1 u′(ct+1) ⇒ u′(ct) = u′(ct+1) ⇒ ct = ct+1 → Si ρ > r ⇒ β(1 + r) < 1. En este caso, el consumo hoy es mayor al consumo futuro. Valoro menos mi utilidad futura. u′(ct) = β(1 + r)︸ ︷︷ ︸ <1 u′(ct+1) ⇒ u′(ct) < u′(ct+1) ⇒ ct > ct+1 3 3 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 → Si ρ < r ⇒ β(1 + r) < 1. En este caso, el consumo hoy es menor al consumo futuro. Valoro más mi utilidad futura. u′(ct) = β(1 + r)︸ ︷︷ ︸ >1 u′(ct+1) ⇒ u′(ct) > u′(ct+1) ⇒ ct < ct+1 Tiempo Continuo. Podemos reescribir u′(ct+1)− u′(ct) = u′′(ct)ċ (cuánto cambia la utilidad marginal del consumo entre periodos, por la magnitud del cambio entre periodos). Entonces: u′(ct+1) u′(ct) − 1 = u ′′(ct) u′(ct) ċ u′(ct+1) u′(ct)︸ ︷︷ ︸ 1 β(1+r) = u′′(ct) u′(ct) ċ+ 1 1 + ρ 1 + r = u′′(ct) u′(ct) ċ+ 1 u′′(ct) u′(ct) ċ = ρ− r Estado Estacionario. Para esto, supondremos que la función de utilidad instantánea está dada por una función CRRA. u(ct) = c1−σt −1 1−σ si σ ≥ 0 ∧ 6= 1 ln(ct) si σ = 1 Aplicando en nuestra ecuación de Euler en tiempo continuo tenemos: ċ ct = 1 σ ( r︸︷︷︸ f ′(kt)−δ −ρ) ċ ct = 1 σ (f ′(kt)− δ − ρ) Además, recordemos que k̇ = f(kt)− ct − δkt. En estado estacionario, tanto el capital como el consumo per cápita se mantienen constantes: k̇ = ċ = 0. Aplicando esto en las dos funciones anteriores tenemos: k̇ = 0 :f(kt) = ct + δkt ⇒ ct = f(kt)− δkt ċ = 0 :f ′(kt) = δ + ρ → no depende de ct → Capital Regla Dorada: dct dkt = f ′(kt)− δ = 0 ⇒ f ′(kRD) = δ El capital RD es aquel que maximiza el consumo, y por lo tanto, debe cumplir f ′(kRD) = δ. → Capital Estado Estacionario: Debe cumplir que f ′(kEE) = δ + ρ. → Comparación (suponemos preferencias “razonables” (ρ ∈ [1, 0)) y n = 0): Dado que la producti- vidad marginal del capital es negativa, tenemos que kEE < kRD. 4 4 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Figura 1: Estado Estacionario y Regla de Oro Diagrama de fase. → Si k̇ > 0 ⇒ ct < f(kt)− δkt. Nos encontramos debajo de la curva (zona azul), es decir, tiene que haber recursos para aumentar el k, por lo tanto ct debe ser menor a mi “ingreso disponible” para una kt dado. → Si k̇ < 0 ⇒ ct > f(kt) − (n + δ)kt. Nos encontramos sobre la curva (zona blanca), es decir, estoy reduciendo el k, por lo tanto ct debe ser mayor a mi “ingreso disponible” para una kt dado. Figura 2: Dinámica del capital → Si ċ > 0 ⇒ f ′(kt)− δ︸ ︷︷ ︸ r > ρ. Estamos a la izquierda de la recta vertical (alta productividad 5 5 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 por bajo nivel de capital; zona verde). Esto significa que la tasa de interés es alta debido al bajo stock de capital y por eso los individuos prefieren una trayectoria creciente de consumo. → Si ċ < 0 ⇒ f ′(kt)− δ︸ ︷︷ ︸ r < ρ. Estamos a la derecha de la recta vertical (baja productividad por exceso de capital;zona blanca). Esto significa que la tasa de interés es baja y los individuos prefieren una trayectoria decreciente de consumo. Figura 3: Dinámica del consumo Entonces, tenemos los cuatro conjuntos de flechas que indican el sentido de la dinámica. Dado cualquier k y c, las flechas (solución de ecuaciones diferenciales), indican la trayectoria de equilibrio. Se puede ver que hay una sola trayectoria (SS), conduce al equilibrio (estado estacionario). Este sistema no es globalmente estable, ya que hay muchas trayectorias que divergen, y solo SS conduce a E. Esta trayectoria tiene pendiente positiva, es decir el consumo y el capital o aumentan juntos o se reducen juntos. 6 6 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Figura 4: Diagrama de fase → ¿Cómo hacer para estar en SS y converger a E? Al ser c una variable de control, se puede ajustar instantáneamentea cualquier valor (dado k) y nos permite ubicarnos sobre SS. → → La economı́a podŕıa diverger a un punto como A. Sin embargo, este punto viola la condición de transversalidad ya que se queda con capital en el infinito y sin consumo. CT: µT+1kT+1 = 0; T →∞ Si KT+1 > 0 ⇒ µT+1 = 0 ⇒ µT+1 = βT+1u′(cT+1) = 0 Si cT+1 = 0 ⇒ u′(cT+1) =∞ ⇒ µT+1 > 0 → viola CT → Por otro lado, cualquier trayectoria que llegue a k = 0 no es factible, como no hay capital, el consumo no podŕıa ser creciente, violando la condición de optimalidad. 7 7 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Comente 1. ¿Cómo es la regla de oro y el estado estacionario en el modelo de Ramsey? Compare sus resultados con el modelo de Solow. Hint: Suponga una función de producción Cobb-Douglas tal que f(k) = kα y n = 0. Solow: La dinámica del capital en Solow era la siguiente: k̇ = sf(kt)− δkt. Luego, en estado estacionario tenemos: k̇ = 0 = skαt − δkt skαt = δkt k1−αt = s δ kEES = (s δ ) 1 1−α Por otro lado, el consumo estaba definido por: ct = f(kt) − δkt. Dado que maximizamos el consumo con respecto al ahorro, y el capital depende de la tasa de ahorro, tendremos: dct ds = ∂ct ∂kt ∂kt ∂s = 0 dct ds = (f ′(kt)− δ) � ��∂kt ∂s︸︷︷︸ >0 = 0 f ′(kt) = δ αkα−1t = δ kRDS = (α δ ) 1 1−α Ramsey: La dinámica del capital seguida en el modelo de Ramsey es: k̇ = f(kt)− ct − δkt. Mientras que la dinámica del consumo seŕıa: ċ = ctσ (f ′(kt)− δ − ρ. En EE se cumple que k̇ = ċ = 0, entonces: f ′(kt) = δ + ρ αkα−1t = δ + ρ kEER = ( α δ + ρ ) 1 1−α Por otro lado, el capital de equilibrio que maximiza el consumo está dado por: ∂ct ∂k∗ = f ′(k∗)− δ = 0 αk∗(α−1) = δ kRDR = (α δ ) 1 1−α 8 8 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Comente 2. ¿Qué hará un individuo que se encuentre en el nivel de capital de RD, según el modelo de Ramsey? ¿Por qué esto es óptimo? Instantáneamente su consumo saltará a SS, consumiendo parte del capital, y aprovechando de consumir por sobre el consumo de la regla dorada durante un tiempo para luego descender en el futuro hasta EE. Esto es óptimo porque el consumo presente vale más que el futuro, por lo tanto, dado de que el individuo prefiere consumir ahora, se comerá parte del capital, disfrutando el mayor valor presente de la utilidad, a pesar de que en estado estacionario su consumo es menor. Comente Propuesto. Suponga que un aumento excesivo de regulaciones sobre los nuevos proyectos de inversión y un aumento en la judicialización, reduce las oportunidades de inversión en un páıs. Usando el modelo de Ramsey, indique qué efecto tiene esto sobre la tasa de crecimiento del PIB en el corto y largo plazo y sobre el nivel de PIB en el largo plazo (para cada fecha). Se traslada hacia adentro la función de inversión, porque cae f ′(k) y V PMgk. Como la función de oferta de ahorro tiene pendiente positiva en el modelo de Ramsey, cae la cantidad de ahorro y de inversión en el corto plazo. Esto último reduce el crecimiento del PIB en el corto plazo. Sin embargo, en el largo plazo la tasa de crecimiento del PIB es (n+ δ) y no cambia. Respecto al nivel del PIB en el largo plazo, cae porque k es menor para cada fecha. Es posible que la mayor judicialización también baje el nivel de PTF en cada fecha. Problema 1. Considere una economı́a cerrada con un individuo representativo —no hay crecimiento de la población— (“N” nativos iguales) con utilidad: U = ∞∑ 0 βt ( c1−σt − 1 1− σ ) Todos los individuos tienen una unidad de trabajo sin calificación que percibe un salario w. Además, cada individuo tiene un nivel de calificación h, que paga un salario wh por unidad de h 1. La función de producción Y = F (L,H) (donde H = Nh y L = N) presenta retornos constantes a escala, y los factores son trabajo sin ajuste por calidad (L) y capital humano (N). El nivel de habilidad o capital humano se deprecia a una tasa δ. Otra simplificación es que el capital humano se acumula sacrificando consumo, o sea: ht+1 = (1 + wh − δ)ht + w − ct a) Encuentre una expresión para la tasa de crecimiento del consumo ċc . En esta economı́a no tenemos capital f́ısico, pero tenemos capital humano. Primero, plantiemos el problema de maximización de producción: máx N,h = F (N,Nh)− wN − whhN Reescribiendo la función de producción en términos per cápita. Supuesto importante: F tiene re- 1Esto es como si la gente se desdoblara en una parte con educación y la otra sin educación. Es una simplificación para resolver el modelo con agente representativo y sin heterogeneidad entre nativos. 9 9 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 tornos constantes a escala. Y = F (L,H) = F (N,Nh) Y N = F ( N N , Nh N ) y = f(h) Luego, el problema de optimización, en términos per cápita, será: máx h f(h)− w − whh CPO. ∂ ∂h = f ′(h)− wh = 0 ⇒ f ′(h) = wh Por otro lado, el problema que enfrenta el hogar represetantivo será: máx ct U = ∞∑ 0 βt ( c1−σt − 1 1− σ ) S. a. ht+1 = (1 + wh − δ)ht + w − ct h0 = h̄ ĺım t→∞ htβ t = 0 L = ∞∑ t=0 βt ( c1−σt − 1 1− σ ) + ∞∑ t=0 µt+1[(1 + wh − δ)ht + w − ct − ht+1] CPO. ∂L ∂ct =βtc−σ−1t − µt = 0 ⇒ βtc−σ−1t = µt ∂L ∂ht =− µt + (1 + wh − δ)µt+1 = 0 ⇒ (1 + wh − δ) = µt µt+1 Ecuación de Euler. Usando ambas ecuaciones anteriores tenemos: ��β tu′(ct) � ��βt+1u′(ct+1) = wh︸︷︷︸ f ′(ht) +(1− δ) u′(ct) βu′(ct+1) = f ′(ht) + (1− δ) u′(ct) u′(ct+1) = β(1 + f ′(ht)− δ︸ ︷︷ ︸ r ) Tiempo Continuo. Podemos reescribir u′(ct+1)− u′(ct) = u′′(ct)ċ. 10 10 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Entonces: u′(ct+1) u′(ct) − 1 = u ′′(ct) u′(ct) ċ c−σt+1 c−σt︸︷︷︸ = −σc−σ−1t c−σt ċ+ 1 1 + ρ 1 + f ′(ht)− δ = −σ�� � c−σ−1t � �c−σt ċ+ 1 −σ ct ċ = ρ− f ′(ht)− δ ċ ct = 1 σ (f ′(ht)− δ − ρ) b) Muestre las dos ecuaciones diferenciales que describen la evolución de h y c. ¿Cuál es el estado esta- cionario? ¿Cómo es la dinámica? Sabemos que el capital sigue la siguiente dinámica: ht+1 = (1 + wh − δ)ht + w − ct ht+1 − ht = (wh − δ)ht + w − ct ḣ = (f ′(ht)− δ)ht + w − ct Y del punto anterior tenemos la dinámica del consumo: ċ ct = 1 σ (f ′(ht)− δ − ρ) Para encontrar el estado estacionario, necesitamos que ċ = ḣ = 0. ċ ct = 0 = 1 σ (f ′(ht)− δ − ρ) 0 = f ′(ht)− δ − ρ f ′(ht) = δ + ρ ḣ = 0 = (f ′(ht)− δ)ht + w − ct ct = (wh − δ)ht + w ct = ρht + w El capital de estado estacionario será aquel que satisfaga f ′(ht) = δ+ ρ y la dinámica que seguirá será ct = ρht + w. Supongamos que f(h) = hα, α ∈ (0, 1), entonces, podemos encontrar el capital de estado estacionario 11 11 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 y el consumo que lo acompaña: f ′(h) = αhα−1 ⇒ αhα−1 = δ + ρ h∗ = ( δ + ρ α ) 1 α−1 ⇒ c∗ = ρh∗ + w c∗ = ρ ( δ + ρ α ) 1 α−1 + w c) Suponga una economı́a que parte con h < h∗ (de estado estacionario). A medida que h va subiendo a h∗, comente qué pasa con wh. → A medida que aumenta el nivel de capital humano, su productividad va cayendo. Por ejemplo, si estamos en una economı́a donde hay pocos titulados de la universidad, sus salarios serán más altos porque tendrán menos competencia, serán más escasos. A medida que más gente entra a la universidad y se titula, los salarios de esos profesionales van cayendo porque ya no son tan escasos, tienen menos “poder de negociación”. d) Suponga que repentinamente llegan al páıs M inmigrantes que solo poseen cada uno una unidad de trabajo no calificado y no tienen calificado. Dado que inicialmente la economı́a estaba en equilibrio con h∗ capital humano per cápita, ¿qué pasa con el capital humano per cápita en el instante que llegan los inmigrantes? Escriba la expresión exacta. Explique qué pasa con wh y w cuando llegan los inmigrantes y cómo se ajusta la economı́a al equilibrio. ¿Es h∗ el mismo que antes y después de la llegada de los inmigrantes? Si llegan inmigrantes sin capital humano (solo ofrecen trabajo no calificado), significa que ahora L = N +M y H = Nh. Ahora en capital humano per cápita cae: h′ = N N +M︸ ︷︷ ︸ <1 h. Ahora la productividaddel capital humano aumenta (porque cae debido a un aumento en la población, sin trabajo calificado). El aumento en la productividad del captial humano se traduce en un aumento en el salario pagado por dicho capital, mientras que el salario del trabajo no calificado cae, debido a que la productividad del trabajo no calificado cae. El capital humano de estado estacionario no cambia, porque no ha cambiado la función de producción, solo sus insumos, nos hemos alejado. Lo que śı cambia es la relación entre consumo y capital, por lo tanto, el consumo de estado estacionario es otro. e) (Propuesto) Explique que D = F (Nh,N +M)−F (Nh,N)−MFl(Nh,N +M) es la diferencia entre el ingreso de los nativos antes de la llegada de los inmigrantes y después (cada con sus h de equilibrio). ¿Estarán los nativos mejor o peor después de la llegada de los inmigrantes?2 ¿“Pillarán” los inmigrantes a los nativos en su nivel de capital humano? ¿Por qué? Problema 2. En el modelo de Ramsey visto en clases, introduciremos gobierno. El gobierno tiene un gasto agregado de G, que en términos per cápita es g. Para financiar el gasto el gobierno recauda impuestos de suma alzada, τt por persona. El gobierno mantiene un presupuesto equilibrado en todos los peŕıodos 3. La nueva restricción presupuestaria de los hogares es: 2Para esto, use el hecho que una función estŕıctamente cóncava cumple ∀ x, y que f(x) < f(y) + f ′(y)(x− y). 3Lo importante es el valor de los gastos y el timing de impuestos es irrelevante ya que en este modelo se cumple la equivalencia ricardiana. 12 12 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 ȧ = w + ra− c− τ El equilibrio en esta economı́a se obtiene igual que en el caso sin gobierno, solo cambia la restricción presu- puestaria. Suponiendo g = τ , tenemos: k̇ = f(k)− c− δk − g ċ c = 1 σ (f ′(k)− δ − ρ) a) ¿Qué ocurre con el consumo? Con la llegada del gobierno, lo único que sucede es que baja el consumo, pero el nivel de capital de estado estacionario es el mismo que la economı́a sin gobierno. Es decir, hay crowding out exacto e inmediato. Todo lo que sube el gasto del gobierno es a costa de una reducción del gasto privado de igual magnitud. Los individuos reducen su consumo en la magnitud de los impuestos, y por lo tanto sus decisiones de ahorro e inversión no cambian, con lo cual el modelo es cualitativamente el mismo, ya que ni el gasto ni los impuestos generan distorsiones. Figura 5: EE con gobierno b) Suponga ahora que se encuentra en una economı́a sin gobierno, y debido a una crisis social, se instaura uno de forma repentina, ¿cómo será el ajuste al estado estacionario? Si no hubiera gobierno, y repentinamente aparece uno y decide gastar g, el ajuste hacia el nuevo estado estacionario será instantáneo. Como el capital de estado estacionario es el mismo, la tasa de interés es también la misma. Es decir, tal como ya vimos en el modelo de dos peŕıodos, un aumento permanente del gasto de gobierno no afecta la tasa de interés, pues no necesita cambiar la pendiente de la trayectoria del consumo. c) ¿Qué ocurriŕıa si en vez de aplicar un impuesto de suma alzada se aplicara un impuesto al capital? Si en lugar de aplicar un impuesto de suma alzada se aplica un impuesto al capital lo que va a suceder es que se le va a exigir mayor rentabilidad al capital antes de impuesto. Es decir, el capital per cápita de estado estacionario disminuye, debido a la concavidad de la función de producción. 13 13 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 d) Suponga ahora que se aplica una tasa de impuesto θ sobre el ingreso de los hogares. Suponga además, que el gasto recaudado por ese impuesto se devuelve en forma de suma alzada a los individuos, con una transferencia de γ por individuo. En este caso, la restricción presupuestaria está dada por: ȧ = (w + ra)(1− θ)− c+ γ La ecuación de k̇ = 0 no cambia, porque la restricción agregada de los individuos, al ser los que consumen todos los bienes, no cambia. Sin embargo, la trayectoria del consumo estará afectada por los impuestos: ċ c = 1 σ (f ′(k)(1− θ)− δ − ρ) Esto implica que el capital de EE caerá de k∗0 a k ∗ 1 , debido a que se requerirá un capital con producti- vidad marginal igual a δ+ρ1−θ . El consumo también cae. Si a la economı́a se le aplica impuestos, partiendo del estado estacionario E0 sin impuestos, irá gra- dualmente a E1. La dinámica será un salto inmediato del consumo hacia arriba hasta el punto S, que se ubica sobre la única trayectoria estable. Luego, irá gradualmente convergiendo a E1. Figura 6: Impuestos distorsionadores 14 14 Macroeconomı́a I Ayudant́ıa 7 Referencias Cass, D. (1965). Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation. The Review of economic studies, 32 (3), 233–240. Koopmans, T. C. (1965). On the concept of optimal economic growth. (Study Week on the) Econometric Approach to Development Planning(4). Ramsey, F. P. (1928). A mathematical theory of saving. The economic journal , 38 (152), 543–559. Solow, R. M. (1956). A contribution to the theory of economic growth. The quarterly journal of economics, 70 (1), 65–94. Swan, T. W. (1956). Economic growth and capital accumulation. Economic record , 32 (2), 334–361. 15 15 Referencias
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