Ayudantía 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios II
Demanda de dinero, modelo de dinero en la función de
utilidad (MIU)
Macroeconomı́a II - EAE220B
Profesor: Javier Turen
Ayudantes: Valentina Fernandez y Nicole Leigh
Algunos de los ejercicios a continuación serán resueltos en la ayudant́ıa del viernes 31 de agosto.
Ejercicio 1
De acuerdo con el modelo de tipo Money in the Utility Function (sin trabajo) de la sección 2.2 del
libro de Walsh se puede mostrar que bajo la decisión óptima de dinero y consumo, se cumple1:
um(ct,mt)
uc(ct,mt)
=
it
1 + it
Donde um(ct,mt) y uc(ct,mt) denotan respectivamente la utilidad marginal de los saldos de dinero
y del consumo e it denota la tasa de interés nominal. También sabemos que ese modelo satisface la
ecuación de Euler standard:
uc(ct,mt) = β(1 + rt)uc(ct+1,mt+1)
1. Muestre que la decisión de los hogares satisface la ecuación debajo e interprétela.
um(ct,mt) =
it
1 + πt+1
βuc(ct+1,mt+1)
2. Asuma que u(c,m) = ln(c) − (m − 5)2. ¿Cuáles son la tasa de interés nominal y la tasa de
inflación que maximizan la utilidad del hogar representativo en el estado estacionario? Si la tasa
de interés nominal se elige para maximizar la utilidad del hogar en estado estacionario, ¿cuánto
dinero se demanda en estado estacionario? Provea una intuición para la tasa de interés nominal
óptima. (Pista: recuerde que el dinero es super neutral en este modelo).
Ejercicio 2
[Adaptado de Walsh] Considere el modelo MIU básico en la sección 2.2 del libro de Walsh con una
modificación: ahora los saldos reales que el agente decide mantener en t entregan utilidad solo en la
fecha t + 1. Más precisamente, la utilidad instantánea en la fecha t depende de ct y de los saldos
reales de dinero en t − 1 (en lugar de los que elige en t). Definimos ahora Mt como la cantidad de
dinero que el agente decidió mantener en la fecha t − 1 (en lugar de la cantidad que elige en t como
en la sección 2.2). Definiendo Mt de esa forma, la utilidad del agente puede ser escrita como antes:∑∞
t=0 β
tu(ct,
Mt
Pt
).
1. Escriba la restricción presupuestal en términos nominales (i.e. con la tasa de interés, saldos de
dinero y bonos expresados en unidades nominales).
1Observe cuidadosamente en el Ejercicio 2 los cambios que deben realizarse en el setting del problema para que esta
condición tome la forma:
um(ct,mt)
uc(ct,mt)
= it
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2. Escriba la restricción presupuestal en términos reales (i.e. con la tasa de interés, saldos de dinero
y bonos expresados en unidades reales).
3. Muestre que en el óptimo, la ecuación que sigue se cumple para cada t, e interprétela.
um(ct+1,mt+1)
uc(ct+1,mt+1)
= it
Ejercicio 3
Considere el modelo MIU básico de la sección 2.2 del libro de Walsh, con algunas modificaciones:
ahora los agentes pueden trabajar para aumentar su producción, pero el trabajo les ocasiona una
desutilidad. Más precisamente, la función de producción viene ahora dada por yt = f(kt−1, nt), donde
nt es el número de horas trabajadas. Normalizando el número total de horas que el trabajador tiene
disponibles a 1, tenemos nt = 1− lt, donde lt denota el número de horas gastadas en ocio. La función
de utilidad instantánea del agente está dada por u(ct,mt, lt) donde los supuestos usuales en u(.) y f(.)
que garantizan una solución interna se satisfacen.
1. Escriba la restricción presupuestal en términos nominales (i.e. con la tasa de interés, saldos de
dinero y bonos expresados en unidades nominales).
2. Escriba la restricción presupuestal en términos reales (i.e. con la tasa de interés, saldos de dinero
y bonos expresados en unidades reales).
3. Derive las ecuaciones que determinan el nivel de consumo de estado estacionario, el ocio y el
capital. ¿Bajo qué condiciones tenemos superneutralidad del dinero? Compare los resultados
obtenidos aqúı con los que obtuvo en el modelo sin trabajo.
Ejercicio 4
Sea una economı́a centralizada donde los hogares manejan la producción y por tanto deciden cuánto
invertir en capital y cuánto producir. La función de producción Y (Kt, nt) es homogénea de grado uno
en capital y trabajo. En ese caso, los ingresos son la producción Yt, transferencias del gobierno Tt (ya
expresadas en términos nominales) y saldos reales Mt y los egresos son consumo Ct, inversión It en
capital y la cantidad de saldos reales que se desean para el peŕıodo siguiente Mt + 1. La dinámica del
capital transcurre de acuerdo con la siguiente expresión: Kt+1 = (1 − δ)Kt + It.
Por otro lado, en una organización descentralizada, los hogares son dueños de los medios de producción
capital y trabajo y los arriendan cada peŕıodo percibiendo en pago un salario wt y el capital rt
respectivamente. En esta economı́a también hay transferencias Tt por parte del gobierno y dinero que
se acumula en t para el peŕıodo t+ 1.
1. Presente las respectivas restricciones presupuestales en términos nominales para cada tipo de
economı́a.
2. Exprese las restricciones del punto anterior ahora en términos reales.
3. Muestre que la restricción presupuestal de la economı́a descentralizada en competencia es equiv-
alente a aquella de la economı́a centralizada.
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Ejercicios propuestos
Ejercicio 5
Considere el modelo MIU básico de la sección 2.2 del libro de Walsh con una modificación: ahora no
hay capital y el producto se obtiene de manera exógena. Asuma que:
u(c,m) = ν(c) + ωlnm
donde ν(.) satisface los supuestos usuales que garantizan una solución interior.
1. Compute el precio actual como una función de la oferta actual y futura de dinero.
2. Compute la tasa de interés nominal como una función de la oferta actual y futura de dinero.
Ejercicio 6
Se tiene una economı́a con los siguientes parámetros: β = 0.95, it = 0.07, π
e
t = 0.02. La inflación
esperada se mantiene constante cada peŕıodo mientras la tasa de interés incrementa un punto por-
centual de un peŕıodo al siguiente. Los agentes de la economı́a tienen preferencias logaŕıtmicas, es
decir: U(Ct) = ln(Ct) o U(Ct,Mt) = ln(Ct) + ln(Mt/Pt) según el modelo que utilice.
1. Para cada uno de los modelos a continuación: plantee le problema de optimización y encuentre
las condiciones de primer orden, aśı como la ecuación de Euler calculando cómo se relaciona el
consumo del peŕıodo siguiente con el del peŕıodo actual.
(a) Modelo Cash in advance.
(b) Modelo Money in the Utility Function.
2. ¿Cómo se relacionan ambos resultados? Explique las diferencias.