Ayudantía 4 Pauta

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios
Equilibrio monetario y señoreaje
Macroeconomı́a II - EAE220B
Soluciones ejercicios 1 a 4
Ejercicio 1
1. Propongamos (guess) una solución de la forma:
pt = m̃+ b0g
t
Utilizamos esa expresión en (1):
−b0gt = −η(b0gt+1 − b0gt)
Resolviendo por g:
g =
1 + η
η
Y aśı finalmente obtenemos una solución para (1):
pt = m̃+ b0
(
1 + η
η
)t
2. La idea para este tipo de equilibrio es la siguiente: suponga que la gente espera que pt aumente
en el futuro (b0 > 0). Entonces, la ecuación de Fisher implica que la tasa de interés nominal
será alta, reduciendo los incentivos de los agentes de mantener dinero. Pero entonces, hay muy
poca demanda de dinero para mucha oferta, y los precios tienen que aumentar para igualar la
oferta y la demanda de saldos reales. Y esto termina confirmando las expectativas iniciales de
los agentes (profećıa auto cumplida).
Ejercicio 2
Multiplicando y dividiendo el lado derecho de S = ∆MP por M obtenemos:
S =
∆M
M
M
P
(1)
Sabemos que M = Pye−αi. Dado que asumimos que Y e i son constantes, cambios en M provienen
solamente por cambios en P y por lo tanto, aplicando diferenciales:
∆M = ye−αi∆P
Dividiendo el lado derecho por M y el izquierdo por PY eαi (utilizando que ambos son iguales):
∆M
M
=
∆P
P
= π (2)
Sustituyendo (2) en (1):
S =
M
P
π
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Usando M/P = ye−α(r+π) obtenemos:
S = ye−α(r+π)π (3)
Tomando la condición de primer orden y resolviendo por π:
dS
dπ
= ye−α(r+π) − αye−α(r+π)π = ye−α(r+π)(1− απ) = 0 (4)
π =
1
α
De (3) podemos ver fácilmente que π ≤ 0 no maximiza el señoreaje, dado que resulta un S cero
o negativo (y cualquier π > 0 entrega un S positivo). De (4) podemos ver que dS/dπ > 0 para
π ∈ [0, 1/α) y dS/sπ < 0 para π > 1/α. Por lo tanto, la condición de primer orden caracteriza el
máximo, y el señoreaje maximizador del ingreso es 1/α.
Ejercicio 3
1. Multiplicando y dividiendo el lado derecho de S = ∆MP por M obtenemos:
S =
∆M
M
M
P
=
∆M
M
y[1− (r + πe)] (5)
Ahora, vamos a computar el ingreso por señoreaje asumiendo valores exógenos para r, πe y
∆M/M . Asumimos y = 250, r = 0.05, y πe = 0.1. Entonces, el ingreso por señoreaje para
diferentes ∆M/M se presenta en la tabla debajo:
∆M/M Señoreaje
25% 53.125
50% 106.25
75% 159.375
Entonces, a medida que aumenta el crecimiento del dinero, mayor el señoreaje. Note que está
impĺıcito aqúı que el aumento de la tasa de inflación no afecta πe, y por esto obtenemos este
efecto monotónico (en lugar de la t́ıpica curva de Laffer).
2. Con los mismos pasos que usamos en el ejercicio 1, (hágalo nuevamente para asegurarse que lo
ha entendido asumiendo una SS con i y y constantes) podemos mostrar que:
∆M
M
=
∆P
P
= π
Aśı, usando πe = π el ingreso por señoreaje viene dado por:
S =
∆M
M
y
[
1−
(
r +
∆M
M
)]
= πy[1− (r + π)]
Asumimos y = 250, r = 0.05. entonces, el ingreso por señoreaje para diferentes aumentos
del dinero se presenta en la tabla debajo: Ahora obtuvimos la t́ıpica forma cóncava. Esto es
∆M/M Señoreaje
25% 43.75
50% 56.25
75% 37.5
porque ahora, a medida que la inflación aumenta, la gente ajusta sus expectativas de inflación
demandando menos saldos reales. Aśı, mientras la tasa del impuesto es creciente, la base del
impuesto es decreciente.
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3. Necesitamos maximizar:
S = πy[1− (r + π)]
Podemos ver fácilmente que esta función es cóncava. La CPO es:
dS
dπ
= y[1− (r + π)]− πy = 0
aśı, el señoreaje maximizador del ingreso es:
π∗ =
1− r
2
Ejercicio 4
1. Tenemos que ser bien cuidadosos aqúı. Hasta ahora, por simplicidad hemos asumido que el
gobierno teńıa el monopolio de la creación del dinero. En otras palabras, hemos asumido un
multiplicador del dinero de 1 (M = base monetaria). Pero cuando la gente utiliza depósitos,
sabemos que eso no es cierto (los bancos también crean dinero). Sean M = C +D = µ̃H (con la
notación standard). Entonces tenemos:
St =
∆Ct
Pt
Note que el aumento en el dinero es ∆Mt = µ̃∆Ct, pero solo una fracción de ese aumento se
transforma en ingreso del gobierno. Aśı, tenemos:
St =
∆Mt
µ̃Pt
=
1
µ̃
∆Mt
Mt
Mt
Pt
Usando i = r + πe y la función de la demanda de dinero (ignorando las t) nos queda:
S =
1
µ̃
∆M
M
αy(b− r − πe) (6)
Pero, aplicando diferenciales a la demanda de dinero M = Pay(b − i) tenemos (asumiendo que
estamos en una SS con y e i constantes):
∆M = αy(b− i)∆P
Dividiendo por M = Pay(b− i):
∆M
M
=
∆P
P
= π
Aśı, (6) nos queda:
S =
1
µ̃
πay(b− r − πe)
Finalmente, asumiendo que π = πe y π = 10% obtenemos:
S =
1
µ̃
πay(b− r − 0.1)
Para obtener la expresión final, tuvimos que asumir π = πe. También asumimos que estábamos
en una SS con i, π y y constantes, pero podŕıamos haberlo hecho asumiendo un crecimiento
constante del producto, por ejemplo (inténtelo).
2. Usando los resultados y supuestos de la pregunta anterior, vamos a maximizar:
S =
1
µ̃
πay(b− r − π)
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esto es claramente estrictamente cóncava. La FOC es:
dS
dπ
=
1
µ̃
{ay(b− r − π)− πay} = 0
Lo cual implica:
π∗ =
b− r
2
3. Cuando el multiplicador del dinero aumenta, S se reduce, dado todo lo demás constante. Esto
es porque ahora, para una tasa de inflación dada, una fracción menor del aumento en la oferta
de dinero es tomada por el gobierno (dado que los bancos “contribuyen ” en parte de la creación
de dinero).
Ejercicio 5
1. Siguiendo los mismos pasos y supuestos que en el Ejercicio 2 (hágalo nuevamente) obtenemos:
S = π
M
P
A partir de ahora asumimos que la inflación iguala la inflación esperada. Aśı,
S = [α− β(r + π) + γy]π
Si β > 0, S es una parábola cóncava, y por tanto obviamente existe un señoreaje maximizador del
ingreso. Si β < 0 es una parábola convexa, y no existe un máximo interno. Si β = 0 obtenemos
una función lineal creciente y un máximo interno tampoco existe. Por tanto, necesitamos β > 0.
2. La condición de primer orden es:
−βπ + [α− β(r + π) + γy] = 0
Que nos da
π∗ =
1
2β
[α− βr + γy]
3. Aún asumimos que ∆i = 0, pero ahora ∆y/y = g. Entonces, aplicando diferenciales a M =
P [α− βi+ γy]:
∆M = [α− βi+ γy]∆P + Pγ∆y
Dividiendo por M = P [α− βi+ γy]:
∆M
M
=
∆P
P
+
γ∆y
α− βi+ γy
= π + γ
∆y
M/P
Y entonces:
S =
∆M
M
M
P
=
[
π + γ
∆y
M/P
]
M
P
= π
M
P
+ γ∆y
= π(α− βi+ γy) + γ∆y
y
y
= π(α− βi+ γy) + γgy
Usando la ecuación de Fisher i = r + π, con π = πe:
S = π[α− β(r + π) + γy] + γgy
4. Es fácil ver que la inflación que maximiza el señoreaje es la misma, dado que hemos sumado una
constante (γyg) a la expresión de señoreaje. La única diferencia es que ahora para un nivel de
inflación dado, el ingreso por señoreaje aumentará en el tiempo, dado que y es creciente.