Ayudantía 3 Pauta

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios III
Demanda de dinero en modelos con dinero por adelantado y
equilibrio monetario
Macroeconomı́a II - EAE220B
Ejercicio 1
1. Dividiendo la restricción presupuestal por Pt:
ct + kt + bt +mt = f(kt−1) + (1 + it−1)
Bt−1
Pt
+
Mt−1
Pt
+ (1− δ)kt−1 + τt
Reacomodando:
ct + kt + bt +mt = f(kt−1) + (1 + it−1)
Bt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+ (1− δ)kt−1 + τt
ct + kt + bt +mt = f(kt−1) +
1 + it−1
1 + πt
bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt
Usando la ecuación de Fisher:
ct + kt + bt +mt = f(kt−1) + (1 + rt−1) bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt
Similarmente, dividimos la restricción CIA por Pt y reordenamos:
ψct ≤
Mt−1
Pt
+ τtψct ≤
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+ τtψct ≤
mt−1
1 + πt
+ τt
2. El lagrangeano nos queda:
L =
∞∑
t=0
βt
{
u(ct)− µt
[
ψct −
mt−1
1 + πt
− τt
]
..
...− λt
[
ct + kt + bt +mt − f(kt−1)− (1 + rt−1) bt−1 −
mt−1
1 + πt
− (1− δ)kt−1 − τt
]
La condición de primer orden respecto de ct es:
βt [u′(ct)− λt − µtψ] = 0 FOC1
La condición de primer orden respecto de kt nos queda:
−βtλt + βt+1λt+1 [f ′(kt) + 1− δ] = 0 FOC2
La condición de primer orden respecto de bt es:
−βtλt + βt+1λt+1 (1 + rt) = 0 FOC3
La CPO respecto de mt es:
−βtλt +
βt+1
1 + πt+1
(µt+1 + λt+1) = 0 FOC4
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
3. Restando (FOC4) de (FOC3) y resolviendo para µt+1:
βt+1λt+1 (1 + rt)−
βt+1
1 + πt+1
(µt+1 + λt+1) = 0µt+1 = λt+1 [(1 + πt+1) (1 + rt)− 1]
Aśı, reemplazando µt = λt [(1 + πt) (1 + rt−1)− 1] en (FOC1) obtenemos:
u′(ct)− λt − ψλt [(1 + πt) (1 + rt−1)− 1] = 0
Usando la ecuación de Fisher nos queda:
u′(ct) = ψλt
[
1 + it−1 +
1− ψ
ψ
]
(1)
Iterando (1) hacia adelante y dividiendo por (1):
u′(ct)
u′(ct+1)
=
λt
λt+1
[
1 + it−1 +
1−ψ
ψ
]
[
1 + it +
1−ψ
ψ
]
Pero (FOC3) implica λtλt+1 = β (1 + rt) y entonces:
u′(ct)
u′(ct+1)
= β (1 + rt)
(
1 + it−1 +
1−ψ
ψ
1 + it +
1−ψ
ψ
)
(2)
Aśı,
h(it−1, it, ψ) =
1 + it−1 +
1−ψ
ψ
1 + it +
1−ψ
ψ
4. Cuando ψ = 1 tenemos:
u′(ct)
1 + it−1
=
β (1 + rt)u
′(ct+1)
1 + it
El lado izquierdo es el beneficio marginal de una unidad de consumo en t dividida por una
función del costo de oportunidad de consumir en t (que es el interés it−1 que el agente tiene que
incurrir al comprar menos bonos y trasladar más dinero en t− 1). El lado derecho es el beneficio
marginal de consumir en t + 1 dividido por una función del costo de oportunidad de consumir
en t+ 1 (que es el interés it que el agente tiene que incurrir comprando menos bonos y levando
el dinero hacia t). Para que el agente esté indiferente entre consumir en ambas fechas, este ratio
“costo-beneficio” debe ser igual.
Ejercicio 2
1. El problema es idéntico al que teńıamos antes, y la única diferencia es la restricción CIA. La
restricción presupuestal en términos reales es la misma, aśı que no la derivaremos nuevamente.
Escribamos la restricción CIA como: Ptct ≤Mt−1 Que reordenando nos queda:
ct ≤
Mt−1
Pt
=
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
=
mt−1
1 + πt
Aśı, el problema de los hogares es:
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
max
{ct,kt,Bt,Mt}t≥0
∞∑
t=0
βtu (ct)
s.t. ct + kt + bt +mt = f(kt−1) + (1 + rt−1) bt−1
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt, ∀t ≥ 0
ct ≤
mt−1
1 + πt
, ∀t ≥ 0
b−1 = b ≡ B/P−1 > 0, M−1 = m = M/P−1 > 0
lim
t→∞
(bt) = 0,
ct,mt, kt ≥ 0, ∀t ≥ 0.
donde u(c)=ln c.
2. El lagrangeano está dado por:
L =
∞∑
t=0
βt
{
u(ct)− µt
[
ct −
mt−1
1 + πt
]
−λt
[
ct + kt + bt +mt − f(kt−1)− (1 + rt−1) bt−1 −
mt−1
1 + πt
− (1− δ)kt−1 − τt
]}
La condición de primer orden con respecto a ct es:
βt [u′(ct)− λt − µt] = 0 FOC1
La condición de primer orden respecto de kt es:
−βtλt + βt+1λt+1 [f ′(kt) + 1− δ] = 0 FOC2
La condición de primer orden respecto a bt es:
−βtλt + βt+1λt+1 (1 + rt) = 0 FOC3
La condición de primer orden respecto de mt:
−βtλt +
βt+1
1 + πt+1
(µt+1 + λt+1) = 0 FOC4
3. Podemos reescribir (FOC1) y (FOC4) como (note que usamos (FOC4) rezagado):
u′(ct) = λt + µt
βλt−1
1 + πt
= λt + µt
Entonces:
u′(ct) =
(1 + πt)λt−1
β
Dividiendo la ecuación arriba por la misma ecuación rezagada y multiplicando los dos lados por (1):
β :
1
β
u′(ct)
u′(ct+1)
=
1 + πt
1 + πt+1
λt−1
λtβ
Pero (FOC3) rezagada implica que:
λt−1
λtβ
= 1 + rt−1
Por lo tanto :
1
β
u′(ct)
u′(ct+1)
=
1 + πt
1 + πt+1
(1 + rt−1)
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Multiplicando el miembro derecho de la expresión por (1 + rt)/(1 + rt):
1
β
u′(ct)
u′(ct+1)
=
(1 + πt) (1 + rt−1)
(1 + πt+1) (1 + rt)
(1 + rt)
Usando la ecuación de Fisher obtenemos:
1
β
u′(ct)
u′(ct+1)
=
1 + it−1
1 + it
(1 + rt)
Dado u′(c) = 1/c Y podemos escribir
: ct+1 = β
1 + it−1
1 + it
(1 + rt) ct
4. Dado que la restricción CIA está activa, tenemos que
ct =
mt−1
1 + πt
para todo t. Utilizando esto en la ecuación de Euler tenemos:
mt
1 + πt+1
= β
1 + it−1
1 + it
(1 + rt)
mt−1
1 + πt
Mt
Pt
= β
1 + it−1
1 + it
1 + πt+1
1 + πt
(1 + rt)
Mt−1
Pt−1
Mt = β
1 + it−1
1 + it
1 + πt+1
1 + πt
(1 + rt)Mt−1(1 + πt)
Mt = β
1 + it−1
1 + it
(1 + πt+1) (1 + rt)Mt−1
Usando la ecuación de Fisher:
Mt = β
1 + it−1
1 + it
(1 + it)Mt−1
Mt
Mt−1
= β (1 + it−1)
5. En el escenario (a) tenemos que:
β (1 + it−1) = 1 + µ
Entonces la tasa de interés permanece constante. En el escenario (b) tenemos que :
β (1 + it−1) = 1 + µt
Entonces, la tasa de interés aumenta a medida que pasa el tiempo.
Finalmente, en el escenario (c) tenemos que:
β (1 + it−1) = 1 + 1/ (µt)
Aśı, la tasa de interés decrece a medida que pasa el tiempo.
Note que en el escenario (a) aún cuando la oferta de dinero es creciente, la tasa de interés permanece
constante. En el escenario (b), la oferta de dinero es creciente a tasa creciente y la tasa de interés es
creciente. Note que esto es lo opuesto de lo que debeŕıamos esperar de un modelo estático simple de
demanda y oferta de dinero. Esta es una caracteŕıstica t́ıpica en este tipo de modelos. En un aversión
estocástica de modelos CIA, uno puede encontrar a menudo que la tasa de interés aumenta luego de
una expansión monetaria aleatoria (esto es llamado el puzzle de la liquidez).
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ejercicio 3
1. Dividiendo la restricción presupuestal por Pt:
ct + kt + bt +mt = Rtkt−1 + (1 + it−1)
Bt−1
Pt
+
Mt−1
Pt
+ (1− δ)kt−1 + τt +Dt
Reordenando:
ct + kt + bt +mt = Rtkt−1 + (1 + it−1)
Bt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+ (1− δ)kt−1 + τt + dt
ct + kt + bt +mt = Rtkt−1 +
1 + it−1
1 + πt
bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt + dt
Usando la ecuación de Fisher:
ct + kt + bt +mt = Rtkt−1 + (1 + rt−1) bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt + dt
De manera similar, dividimos la restricción CIA por Pt y reordenamos:
ct ≤
Mt−1
Pt
+ τtct ≤
Mt−1
Pt−1
Pt−1
Pt
+ τtct ≤
mt−1
1 + πt
+ τt
Entonces, el hogar representativo resuelve:
max
{ct,kt,Bt,Mt}t≥0
∞∑
t=0
βtu (ct)
s.t. ct + kt + bt +mt = Rtkt−1 + (1 + rt−1) bt−1 +
mt−1
1 + πt
+ (1− δ)kt−1 + τt + dt, ∀t ≥ 0
ct ≤
mt−1
1 + πt
+ τt, ∀t ≥ 0
b−1 = b ≡ B/P−1 > 0, M−1 = m = M/P−1 > 0
lim
t→∞
(bt) = 0,
ct,mt, kt ≥ 0, ∀t ≥ 0.
2. El lagrangeano está dado por:
L =
∞∑
t=0
βt
{
u(ct)− µt
[
ct −
mt−1
1 + πt
− τt
]
−λt [ct + kt + bt +mt −Rtkt−1 − (1 + rt−1) bt−1...
...− mt−1
1 + πt
− (1− δ)kt−1 − τt − dt
La condición de primer orden respecto de ct es:
βt [u′(ct)− λt − µt] = 0 FOC1
La CPO respecto de kt es:
−βtλt + βt+1λt+1 [Rt+1 + 1− δ] = 0 FOC2
La condición de primer orden respecto de bt es:
−βtλt + βt+1λt+1 (1 + rt) = 0 FOC3
La CPO respecto de mt es:
−βtλt +
βt+1
1 + πt+1
(µt+1 + λt+1) = 0 FOC4
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
3. La condición de primer orden de la firma es:
f ′
(
k̃t
)
= Rt FOC5
4. El clareo del mercado implica que k̃t = kt−1. Entonces, (FOC5) implica que:
f ′ (kt−1) = Rt
Combinando (FOC2) y (FOC3) obtenemos:
βt+1λt+1 [Rt+1 + 1− δ] = βt+1λt+1 (1 + rt) rt = Rt+1 − δ
5. Todas las CPO coinciden con las del modelo visto en clase excepto por (FOC2). Usandof ′ (kt−1) = Rt en (FOC2):
−βtλt + βt+1λt+1 [f ′ (kt) + 1− δ] = 0 FOC2′
Note que (FOC1), (FOC2’), (FOC3) y (FOC4) son idénticas a las CPO del modelo centralizado
visto en clase. Aśı, debeŕıamos llegar al mismo estado estacionario, dado que estamos partiendo
del mismo conjunto de condiciones de equilibrio.
Ejercicio 4
De acuerdo con la ecuación cuantitativa:
MtV = PtytPt =
MtV
yt
Note que la velocidad del dinero no tiene t dado que es constante. Tomando logaritmos, podemos
escribir:
lnPt = lnMt + lnV − ln yt (1)
lnPt−1 = lnMt−1 + lnV − ln yt−1 (2)
Restando (2) de (1):
lnPt − lnPt−1 = lnMt − lnMt−1 − (ln yt − ln yt−1)
Sea ∆Xt ≡ Xt −Xt−1 dado
lnX − lnY ≈ (X − Y ) /Y
podemos escribir:
πt =
∆Pt
Pt−1
≈ ∆Mt
Mt−1
− ∆yt
yt−1
Como
∆Mt
Mt−1
= 0.08
y ∆ytyt−1 = 0.03 tenemos que la inflación es πt ≈ 0.08 − 0.03 = 0.05. Para obtener la tasa de
crecimiento del PBI en términos nominales (Yt) salimos desde:
Yt = PtytlnYt = lnPt + ln yt
Iterando hacia atrás y restando de la ecuación arriba:
∆Yt
Yt−1
≈ ∆Pt
Pt−1
+
∆yt
yt−1
= πt +
∆yt
yt−1
Entonces, la tasa de crecimiento del PBI nominal es 0.05+0.03 = 0.08 (alternativamente podemos
usar MtV = Ptyt = Yt para ver que el crecimiento del PBI en términos nominales es igual a la
tasa de crecimiento de Mt). Usando la ecuación de Fisher, obtenemos una tasa de interés real
de r = 0.09− 0.05 = 0.04.
Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ejercicio 5
1. Denotemos M la oferta de dinero. Podemos entonces escribir P = M/ (κy). Entonces, agregando
sub́ındices de tiempo y tomando logaritmos:
lnPt = lnMt − lnκ− ln yt
Iterando hacia atrás y restando de la ecuación obtenemos la misma relación que obtuvimos en el
Ejercicio 3:
πt =
∆Pt
Pt−1
≈ ∆Mt
Mt−1
− ∆yt
yt−1
(3)
Dado ∆MtMt−1 = 0.12 y
∆yt
yt−1
= 0.04, obtenemos entonces que la inflación es 8% por año.
2. Si el producto en términos reales creciera a a una tasa mayor, la inflación seŕıa menor, tal como
(3) muestra. Un crecimiento más alto del producto en términos reales aumenta la presión sobre
la oferta real de dinero bajando los precios (asumiendo todo lo demás constante).
3. El parámetro κ captura cuán sensible es la demanda por saldos reales al producto en términos
reales. Si κ es muy grande, cualquier aumento en el producto en términos reales implica un
aumento importante en la demanda por dinero. Escribiendo M 1κ = Py, podemos ver que 1/κ
puede interpretarse como la velocidad del dinero. Si la velocidad del dinero es muy baja, cualquier
aumento en la cantidad de transacciones que la gente quiere hacer debe ser satisfecha por un
aumento de la oferta real de dinero, dado que el dinero no cambia de manos muchas veces.
4. Tomando logaritmos en la ecuación cuantitativa, podemos escribir:
lnPt = lnMt + lnVt − ln yt (4)
lnPt−1 = lnMt−1 + lnVt−1 − ln yt−1 (5)
Restando (4) de (5):
lnPt − lnPt−1 = (lnMt − lnMt−1) + (lnVt − lnVt−1)−− (ln yt − ln yt−1)
Sea
∆Xt ≡ Xt −Xt−1
Dado lnX − lnY ≈ (X − Y ) /Y podemos escribir:
πt =
∆Pt
Pt−1
≈ ∆Mt
Mt−1
+
∆Vt
Vt−1
− ∆yt
yt−1
Aśı, si ∆Vt > 0 por innovación financiera, debeŕıamos esperar que la tasa de inflación aumentara.
Intuitivamente, si la velocidad del dinero es creciente, la gente demanda menos dinero para sus
transacciones (dado que los mismos billetes están dando muchas vueltas). Para una oferta de
dinero nominal, los precios debeŕıan aumentar para garantizar que la oferta de dinero en términos
reales cae, igualando la menor demanda.