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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2 Set de ejercicios III Demanda de dinero modelo de dinero por adelantado (CIA) y equilibrio monetario Macroeconomı́a II - EAE220B Profesor: Javier Turen Ayudantes: Valentina Fernandez y Nicole Leigh Algunos de los ejercicios a continuación serán resueltos en la ayudant́ıa del viernes 7 de setiembre. 1 Demanda de dinero Ejercicio 1 Considere una economı́a en la cual hay un único bien que puede ser utilizado como capital o para consumo. El tiempo es discreto y está indexado de acuerdo con t ∈ {−1, 0, 1, 2, ...}. Los hogares resuelven el siguiente problema: max{ct,kt,Bt,Mt}t≥0 ∞∑ t=0 βtu(ct) sa : Ptct + Ptkt +Bt +Mt = Ptf(kt−1) + (1 + it−1)Bt−1 +Mt−1 + (1− δ)Ptkt−1 + Tt,∀t ≥ 0 ψPtct ≤Mt−1 + Tt,∀t ≥ 0 k−1 = k̄ > 0 B−1 = B̄ > 0 M−1 = M̄ > 0 limt→∞ Bt Pt = 0 kt, ct,Mt ≥ 0,∀t ≥ 0 La notación es standard: u(c) es la función de utilidad instantánea, f(k) es la función de producción, Pt denota el precio del bien en la fecha t, Bt es la cantidad nominal de bonos que los hogares eligen mantener en la fecha t, Mt es la cantidad de dinero que elige llevar del peŕıodo t al peŕıodo t + 1, Tt son transferencias de dinero recibidas en t, β ∈ (0, 1) es el factor de descuento y δ ∈ (0, 1) es la tasa de depreciación del capital. Definimos bt ≡ Bt/Pt, mt ≡ Mt/Pt, πt ≡ (Pt − Pt−1)/Pt−1, τt ≡ Tt/Pt y denotamos rt a la tasa de interés real entre t y t+ 1. La condición ψPtct ≤ Mt−1 + Tt se interpreta como la restricción cash in advance standard, excepto que ahora sólo una fracción ψ ∈ (0, 1) del consumo de los hogares se puede gastar utilizando efectivo. En adelante asuma que u(.) y f(.) satisfacen todas las condiciones usuales que garantizan una solución interior (de forma que las restricciones de no negatividad kt, ct,Mt ≥ 0 nunca están activas en el óptimo y entonces usted puede ignorarlas). Asuma además que la restricción de cash in advance está activa en todo t en la solución óptima (lo cual es cierto si it > 0,∀t). No hay incertidumbre y el hogar toma como dados los senderos de todas las variables exógenas. 1. Reescriba la restricción presupuestal y la restricción de cash in advance en unidades reales (esto es en términos sólo de las variables reales {ct, kt, bt,mt, rt,t aut}t≥0 y de la tasa de inflación {πt}t≥0). (Pista: use la ecuación de Fisher para simplificar la tasa de interés nominal). Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2 2. Denote por {λt}t≥0 a los multiplicadores de Lagrange asociados a la restricción presupuestal y {µt}t≥0 a los multiplicadores asociados a la restricción de cash in advance. Escriba el lagrangiano usando la restricción presupuestal en términos reales y derive las condiciones de primer orden para ct, kt, bt y mt. 3. En la solución óptima obtenemos la siguiente ecuación de Euler: u′(ct) u′(ct+1) = β(1 + rt)h(it−1, it, ψ) donde h(it−1, it, ψ) es una función de it−1, it y ψ. Derive la forma funcional de h(it−1, it, ψ). 4. Interprete económicamente la ecuación de Euler que encontró en el punto anterior cuando φ = 1. (Pista: puede servirle reacomodar la ecuación antes deinterpretarla). Ejercicio 2 Considere el modelo en la sección 3.3.1 del libro de Walsh con una modificación: las transferencias recibidas en t no pueden ser directamente usadas para comprar bienes la fecha t, de forma que la restricción de Cash in Advance (CIA) toma ahora la forma: Ptct ≤ Mt−1. Asuma que u(c) = ln(c). Asuma también que la restricción CIA siempre está activa. 1. Escriba el problema de decisión de los hogares. 2. Escriba las condiciones de primer orden de los hogares. 3. Obtenga la ecuación de Euler. 4. Muestre que: Mt Mt−1 = β(1 + it−1) 5. Explique qué pasa con la tasa de interés nominal en tres escenarios: (a) El dinero crece a una tasa constante: MtMt−1 = 1 + µ (b) El dinero crece a una tasa creciente: MtMt−1 = 1 + µt (c) El dinero crece a una tasa decreciente: MtMt−1 = 1 + 1 µt Ejercicio 3 Cuando presentamos los modelos MIU y CIA en clase, escribimos su versión centralizada: un único hogar decide cuánto consumir y en cuánto capital, dinero y bonos invertir. El hogar teńıa acceso a una función de producción que transforma capital en bienes de consumo. Ahora vamos a elaborar la versión descentralizada del modelo CIA. Considere una economı́a en la cual hay un único bien que puede ser utilizado tanto para consumo como para capital. El tiempo es discreto e indexado por t ∈ {−1, 0, 1, 2...}. Hay un hogar representativo y una firma competitiva en la economı́a, ambos tomadores de precios. Hogares El hogar es dueño de la firma y elige cuánto consume y cuánto capital, bonos y dinero mantiene. En cada momento t, el hogar renta el capital que trajo del peŕıodo previo (kt−1) a la firma a un valor Pt×Rt por lo tanto, el costo de arriendo en unidades de consumo es Rt. Cada peŕıodo, el hogar recibe ganancias Dt desde la firma. Por lo tanto, el problema del hogar queda resumido como: Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2 max{ct,kt,Bt,Mt}t≥0 ∞∑ t=0 βtu(ct) sa : Ptct + Ptkt +Bt +Mt = PtRtkt−1 + (1 + it−1)Bt−1 +Mt−1 + (1− δ)Ptkt−1 + Tt +Dt,∀t ≥ 0 Ptct ≤Mt−1 + Yt,∀t ≥ 0 B−1 = B̄ > 0 M−1 = M̄ > 0 limt→∞ Bt Pt = 0 ct,Mt ≥ 0,∀t ≥ 0 Estamos asumiendo que los beneficios Dt se reciben recién al final del peŕıodo (y por lo tanto que ese dinero no sirve para transacciones), mientras que las transferencias Tt se reciben la principio del peŕıodo (y por lo tanto se pueden utilizar para transacciones). Por ello, solo Tt se muestra en la restricción CIA. La notación es standard y coincide con la vista en clases: u(c) es la función de utilidad instantánea, Pt denota el precio del bien en t, Bt es la cantidad nominal de bonos que el hogar elige mantener en t, Mt es la cantidad de dinero que el individuo elige llevar desde el peŕıodo t hacia el peŕıodo t+ 1, it es la tasa de interés nominal entre t y t + 1, ct es el consumo del hogar en le momento t, β ∈ (0, 1) es el factor de descuento y δ ∈ (0, 1) es la tasa de depreciación del capital. Definimos bt ≡ Bt/Pt, mt ≡Mt/Pt, πt ≡ (Pt − Pt−1)/Pt−1, τt ≡ Tt/Pt, dt ≡ Dt/Pt, y denotamos rt a la tasa de interés real entre t y t+ 1. Los hogares resuelven su problema tomando las secuencias de precios, tasas de interés, transferencias y beneficios como dados. Firmas Las firmas emplean la función de producción f(k̃). En cada fecha t, la firma elige cuánto capital k̃t alquila a los hogares. De esta forma, el problema de la firma es: maxk̃tΠt ≡ Ptf(k̃t)− PtRtk̃t sa k̃t ≥ 0 Clareo del mercado Supone el cumplimiento de las siguientes restricciones: Bt = 0,∀t ≥ 0 k̃t = kt−1,∀t ≥ 0 ct + kt = f(kt−1),∀t ≥ 0 Es más, Tt = Mt −Mt−1, dado que el gobierno solo puede hacer transferencias imprimiendo dinero. Asuma que u(.) y f(.) satisfacen todos os supuestos usuales que garantizan una única solución interior (y aśı las restricciones de no negatividad nunca están activas en la elección óptima y pueden ignorarse). Por último, asuma que la restricción de Cash in Advance se mantiene en todas las fechas en la solución óptima (lo cual es cierto si it > 0, par a cada t). No hay incertidumbre y los hogares toman como dados los senderos de precios, tasa de interés y todas las variables exógenas. 1. Escriba el problema de los hogares en términos reales. 2. Derive las condiciones de primer orden del problema de los hogares. Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2 3. Escriba la condición de primer orden de la firma. 4. Muestre que en equilibrio Rt = f ′(kt−1) y rt = Rt+1 − δ 5. Muestre que el estado estacionario en el modelo descentralizado es el mismo que en el modelo centralizado (el modelo de la sección 3.3.1 del libro de Walsh). 2 Equilibrio monetario Ejercicio 4 [Mankiw] En el páıs de Wiknam, la velocidad del dinero es constante. El producto en términos reales crece 3% por año, el stock de dinero crece a 8% por año y la tasa de interés nominal es 9%. ¿Cuál es la tasade crecimiento del producto en términos nominales, la tasa de inflación y la tasa de interés real? Ejercicio 5 [Mankiw] Suponga un páıs que tiene una función de demanda por dinero de la forma: M d P = κy, donde κ es un parámetro constante y y es el ingreso real. La oferta de dinero crece 12% por año, y el ingreso real crece 4% por año. 1. ¿Cuál es la tasa de inflación promedio? 2. ¿Cómo cambiaŕıa la inflación si la tasa de crecimiento del ingreso real fuera mayor? Explique. 3. ¿Cómo interpreta el parámetro κ? ¿Cuál es su relación con la velocidad del dinero? 4. Suponga, en lugar de una demanda de dinero constante, que la velocidad del dinero en esta economı́a crece sostenidamente por la innovación financiera. ¿Cómo afectaŕıa eso la tasa de inflación? Explique. Ejercicios propuestos Ejercicio 6 Suponga que el hogar representativo elige las cantidades a consumir de bienes en efectivo ({ct}t≥0), bienes a crédito ({dt}t≥0), bonos ({Bt}t≥0) y horas de trabajo {nt}t≥0 para maximizar su utilidad, sujeto a las restricciones presupuestal nominal y cash in advance: ∞∑ t=0 βt[u(ct, dt)− γnt] s.a. Pt(ct + dt) +Mt +Bt = Wtnt + (1 + it−1)Bt−1 + Tt +Mt−1 Ptct ≤Mt−1 + Tt Donde γ > 0 es un parámetro, y Wt denota los salarios nominales. El resto de la notación es standard. A los efectos de la resolución, emplearemos wt para denotar el salario real y bt para denotar los saldos reales de bonos. Las restricciones usuales de no negatividad sobre c y l deben cumplirse , aśı como la restricción de solvencia (limt→∞bt = 0). Adicionalmente, los bonos y el dinero al comienzo del peŕıodo cero están dados. Asuma que: u(ct, dt) = αln(ct) + (1− α)ln(dt), conα ∈ (0, 1) 1. Escriba las restricciones de cash in advance y presupuestal en términos reales. Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2 2. Derive las condiciones de primer orden con respecto a ct, nt, dt y bt. 3. Compute el estado estacionario (asumiendo constantes la tasa de inflación, los salarios reales, el consumo, las horas de trabajo y los saldos reales de dinero y bonos). ¿Es este modelo superneu- tral? Explique. 4. Maximizando la utilidad en el estado estacionario ¿Cuál es la inflación óptima en esta economı́a? 5. Escriba una expresión para la porción de efectivo en el consumo total como función de la tasa de interés nominal. ¿Cómo depende la porción de bienes en efectivo consumida de la tasa de interés real? Ejercicio 7 Considere el modelo de dinero por adelantado en la sección Section 3.3.1 del libro de Walsh con una modificación: para acumular capital los agentes tienen que tener dinero por adelantado. En otras palabras, la restricción de dinero por adelantado (CIA) tiene la forma: Mt−1 +Xt ≥ PtCt + Pt(Kt + (1− δ)Kt−1) (1) donde Xt denota las transferencias sin contrapartida recibidas desde el gobierno. 1. Plantee formalmente el problema de optimización, el lagrangeano y derive las condiciones de primer orden. 2. Reescriba la CPO para Kt juntando términos que involucren 1− δ y luego muestre que: U ′(Ct) = βU ′(Ct+1)( 1 1 + it+1 )F ′(Kt) + βU ′(Ct+1)(1− δ) 3. En base al resultado anterior, y asumiendo F (K) = Kα resuelva para el capital de estado estacionario Kss. ¿Es el dinero super neutral en esta versión del modelo? Entregue la intuición detrás de este resultado. 4. En una economı́a similar, pero donde la restricción de dinero anticipado alcanza sólo a los bienes de consumo, el capital de estado estacionario viene dado por: Kss = ( α 1 β − 1 + δ ) 1 1−α Encuentre la tasa de inflación de estado estacionario que logra igualar el capital de estado esta- cionario en las dos economı́as y luego explique cómo se relaciona esta poĺıtica con la regla de Friedman.
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