AyudantíaSecciónNr 7

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Sección Nr.7
Macroeconomı́a II
EAE 221B
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Ejercicios
1. (Modelo monetario del tipo de cambio versión estática) Dada una situación de equi-
librio en el mercado monetario doméstico y extranjero
mt − pt = −ηit + φyt
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t
Y suponiendo que se cumple la PPC
Pt = EtP
∗
t
Muestre que la tasa de variación del tipo de cambio nominal está definida por el cambio de
oferta y cambio de demanda relativo real por dinero.
et−et−1 = (pt−pt−1)−(p∗t−p∗t−1) =
[
(mt−mt−1)−(m∗t−m∗t−1)
]
+η
[
(it−it−1)−(i∗t−i∗t−1)
]
−φ
[
(yt−yt−1)−(y∗t−y∗t−1)
]
Además argumente por qué la expresión et− et−1 corresponde a la tasa de variación del tipo
de cambio nominal.
R: Usando la PPC Pt = EtP
∗
t en su versión logaritmica
log(Pt) = log(EtP
∗
t )⇔ pt = et + p∗t
De la expresión anterior despejamos el tipo de cambio y nos queda
et = pt − p∗t
Ahora podemos usar el equilibrio monetario ,tanto doméstico omo externo, en la expresión
anterior. Aśı, del equilibrio monetario podemos obtener
mt − pt = −ηit + φyt ⇔ pt = mt + ηit − φyt
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t ⇔ p∗t = m∗t + ηi∗t − φy∗t
1
Luego, usando los resultando anteriores tenemos que
et = pt − p∗t = (mt + ηit − φyt)− (m∗t + ηi∗t − φy∗t )
et = (mt −m∗t ) + η(it − i∗t )− φ(yt − y∗t )
Luego, para obtener la expresión et − et−1 retrocedemos un peŕıodo et y restamos. Aśı,
et−1 = (mt−1 −m∗t−1) + η(it−1 − i∗t−1)− φ(yt−1 − y∗t−1)
Restando y factorizando llegamos a
et−et−1 = (pt−pt−1)−(p∗t−p∗t−1) =
[
(mt−mt−1)−(m∗t−m∗t−1)
]
+η
[
(it−it−1)−(i∗t−i∗t−1)
]
−φ
[
(yt−yt−1)−(y∗t−y∗t−1)
]
¿Por qué decimos que la variación del tipo de cambio es et − et−1? Para esto es necesario
tener claro que estamos trabajando en logaritmos. Aśı,
et − et−1 = log(Et)− log(Et−1) = log
(
Et
Et−1
)
Y al igual que la inflación , o cualquier tasa de variación , la tasa de variación del tipo de
cambio (o cualquier otra variable) se define como
ω =
Et
Et−1
− 1⇔ 1 + ω = Et
Et−1
Usando lo anterior, podemos señalar que
et − et−1 = log
(
Et
Et−1
)
= log(1 + ω)
Y como log(1 + x) ' x
et − et−1 = log
(
Et
Et−1
)
= log(1 + ω) ' ω
2. (Modelo monetario del tipo de cambio versión dinámica) Suponga la versión dinámica
del modelo monetario del tipo de cambio , considerando la condición de arbitraje no cubierto
de tasas
(1 + it) = (1 + i
∗
t )Et
(
Et+1
Et
)
Muestre que se cumple
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms + ηi
∗
s − φys − p∗s
]
R: Aplicando logaritmo a (1 + it) = (1 + i
∗
t )Et
(
Et+1
Et
)
,olvidándonos de la desigualdad de
Jensen (Esto es, podemos descomponer log(Et+1Et ) = log(Et+1) − log(Et) sin problema) y
usando log(1 + x) ' xnos queda
2
log(1 + it) = log
(
(1 + i∗t )Et
(
Et+1
Et
))
⇒ it = i∗t + Et(et+1)− et
Usando lo anterior en el equilibrio monetario doméstico
mt − pt = φyt − ηit = φyt − η(i∗t + Et(et+1 − et))
Agregando la PPC pt − p∗t = et ⇔ −pt = −p∗t − et
mt − p∗t − et = φyt − η(i∗t + Et(et+1)− et
Reordenando
mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t − et = −η(Et(et+1)− et)
[mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t ]− et = −η(Et(et+1)− et)
Si hacemos mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t = ωt
ωt − et = −η(Et(et+1)− et)
et =
ωt + ηEt(et+1)
1 + η
=
ωt
1 + η
+ η
Et(et+1)
1 + η
Luego, adelantando un peŕıodo y tomando esperanza
Et(et+1) =
Et(ωt+1)
1 + η
+ η
Et(et+2)
1 + η
Y reemplazando
et =
ωt
1 + η
+ η
Et(ωt+1)
1+η + η
Et(et+2)
1+η
1 + η
et =
ωt
1 + η
+ η
Et(ωt+1)
1 + η
+ η2
Et(et+2)
(1 + η)2
Y aśı sucesivamente (al igual que en el modelo de Cagan para nivel de precios: ver sección
5)
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ωs
]
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms + ηi
∗
s − φys − p∗s
]
El resultado anterior, al igual que en el modelo de Cagan para el nivel de precios, suponiendo
que
lim
T→∞
ηT
Et(es+T )
(1 + η)T
= 0
3
3. (Modelo monetario del tipo de cambio versión dinámica) Suponga
−φys + ηi∗s − p∗s = 0 ∀s
Además, asuma que el crecimiento de la oferta monetaria doméstica sigue un proceso AR(1)
mt −mt−1 = ρ(mt−1 −mt−2) + εt con εt ∼ N(0, σε)
Muestre que
et = mt +
ηρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1)
R: Usando el resultado encontrado en el ejercicio anterior, y agregando
−φys + ηi∗s − p∗s = 0 ∀s
tenemos que
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms
]
Luego, adelantando un peŕıodo y aplicando esperanza
Et(et+1) =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1
]
Luego, usamos los resultados anteriores (Esto para usar el proceso AR(1))
Et(et+1)− et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1
]
− 1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms
]
Et(et+1)− et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1 −ms
]
Usando ahora el proceso AR(1)
Et(mt+1)−mt = ρ(mt −mt−1)
Et(mt+2 −mt+1) = ρ2(mt −mt−1)
...
Et(mt+s −mt+s−1) = ρs(mt −mt−1)
Aplicando esto en la sumatoria
Et(et+1)− et =
1
1 + η
{
ρ(mt −mt−1) + ρ2
(
η
1 + η
)
(mt −mt−1) + ρ3
(
η
1 + η
)2
(mt −mt−1) + ...
}
=
1
1 + η
ρ(mt −mt−1)
∞∑
s=t
(
ηρ
1 + η
)s−t
4
Nuevamente, recordando las series geométricas asumiendo que
(
ηρ
1+η
)
< 1 , la serie infinita
converge al valor:
∞∑
s=t
(
ηρ
1 + η
)s−t
=
∞∑
s=0
(
ηρ
1 + η
)s
=
1
1− ηρ1+η
Reemplazando en la ecuación anterior
Et(et+1)− et =
1
1 + η
· ρ · 1
1− ηρ1+η
(mt −mt−1)
que equivale a:
Et(et+1)− et =
ρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1) (1)
Ahora, recordando que
[mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t ]− et = −η(Et(et+1)− et)
Y con ηi∗t − φyt − p∗t = 0 y el resultando anterior
mt − et = −η(Et(et+1)− et)
et = mt +
ηρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1)
4. Considere las siguientes tres ecuaciones:
it = i
∗
t + Et (et+1)− et + ψt (2)
et = pt − p∗t (3)
mt − pt = −ηit + φyt (4)
donde it es la tasa de interés nominal, i
∗
t es la tasa de interés nominal extranjera, et es el tipo
de cambio, pt son los precios, p
∗
t son los precios internacionales, mt la cantidad de dinero, yt
es la renta agregada.
(a) Explique cada ecuación. ¿Cómo interpreta ψt?
R:
– La primera ecuación representa la paridad no cubierta de la tasa de interés. Esen-
cialmente es una condición de arbitraje internacional, la cual asegura que la rentabil-
idad neta de los activos internos y externos evaluadas en una misma moneda deben
ser iguales.
– La segunda ecuación representa la parida de poder de compra en logaritmos. De
esta manera, el diferencial de precios explicaŕıa los cambios en el tipo de cambio.
– La tercera ecuación es la condición de equilibrio monetario en el mercado local. La
oferta de dinero será exógena y la demanda de dinero dependerá negativamente de
la tasa de interés y positivamente del nivel de producción.
5
– Se puede interpretar a ψt como desviaciones respecto a la paridad no cubierta
generada por costos de transacción, imperfecciones financieras, riesgo páıs, etc.
Intuitivamente si los agentes son aversos al riesgo, el diferencial de rentabilidades
no es suficiente y se exigirá un prima representada por ψt.
(b) Partiendo de las ecuaciones anteriores, asuma adicionalmente :
Et (et+1) = et (5)
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t (6)
Sean los siguientes valores: mt − mt−1 = 7%, m∗t − m∗t−1 = 3%, yt − yt−1 = 2%,
y∗t − y∗t−1 = 3%, φ = 1.0, η = 0.2, ψt = 0.1%, ψt−1 = 0.05%. Determine la tasa de
variación del tipo de cambio nominal: et − et−1.
R: Aplicando los supuestos obtenemos las ecuaciones del modelo
it = i
∗
t + ψt (7)
et = pt − p∗t (8)
mt − pt = −ηit + φyt (9)
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t (10)
Reemplazando (9) y (10) en (8)
et = (mt + ηit − φyt)− (m∗t + ηi∗t − φy∗t )
et = (mt −m∗t ) + η (it − i∗t )− φ (yt − y∗t )
Reemplazando (7)
et = (mt −m∗t ) + ηψt − φ (yt − y∗t ) (11)
Tomando la tasa de variación del tipo de cambio nominal
et− et−1 = (mt −mt−1)−
(
m∗t −m∗t−1
)
+ η (ψt − ψt−1)− φ
[
(yt − yt−1)−
(
y∗t − y∗t−1
)]
Reemplazando los valores:
et − et−1 = 7− 3 + 0.2 (0.1− 0.05)− 1.0
[
2− 3
]
et − et−1 = 4 + 0.01 + 1
Por tanto, la solución final será:
et − et−1 = 5.01 (12)
6
5. (Comente) Si la PPP se cumple, entonces el tipo de cambio real es estable. Analice
matemáticay conceptualmente.
R: Cuando la PPP se cumple de manera absoluta, el tipo de cambio real es constante. La
razón de sto se debe a que si se cumple la PPP se cumple la ley de un solo precio
Pt = EtP
∗
t
Luego, el tipo de cambio real (Qt) se define
Qt =
EtP
∗
t
Pt
= 1
Luego, Q̂t = 0.
7