AyudantíaSecciónNr 5

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Sección Nr.5
Macroeconomı́a II
EAE 221B
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Ejercicios
1. (Modelo monetario del nivel de precios versión estática) Suponga una forma es-
pećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
Muestre que en el caso particular de φ = 1 esto corresponde a la ecuación cuantitativa del
dinero y de los precios. Con Y e i constantes ¿Cuál es la relación y la implicancia de un
aumento de la base monetaria?
R: Dada la demanda de dinero de Cagan con φ = 1
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
Mt = PtYt e
−ηit︸ ︷︷ ︸
1
Vt
Luego,
Mt · Vt = Pt · Yt
que corresponde a la ecuación cuantitativa del dinero.
¿Cuál es la relación y la implicancia de un aumento de la base monetaria?
Aplicando logaritmo y derivando tenemos que
log(Mt) + log(Vt) = log(Pt) + log(Yt)
log(Mt) = log(Pt) + log(Yt)− log(Vt)
Derivando,
Ṁ
Mt
=
Ṗ
Pt
+
Ẏ
Yt
− V̇
Vt
Si Y, i constantes implican que Ẏ = V̇ = 0
Ṁ
Mt
=
Ṗ
Pt
Luego, cambios en la base monetaria se traducen en cambios en el nivel de precios.
1
2. (Modelo monetario del nivel de precios versión dinámica de expectativas racionales
con proyección perfecta) Suponga una forma espećıfica de demanda por dinero de Cagan
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
Muestre que bajo información perfecta, esto es Et(Pt+1) = Pt+1, y que si φyt = ηrt se cumple
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
ms + lim
T→∞
( η
1 + η
)T
pt+T
R: Utilizando
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
y aplicando logaritmos para facilitar el trabajo algebráico,
mt − pt = φyt − η(it)
donde las minúsculas representan el logaritmo de la variable.
Luego, la ecuación de Fisher señala (1 + i) = (1 + r)(1 + πe) = (1 + r)(
P et+1
Pt
) . Aplicando
logaritmo a la ecuación
log(1 + i) = log(1 + r) + log(
P et+1
Pt
) = log(1 + r) + log(P et+1)− log(Pt)
Además, usando log(1 + x) ' x por lo que
i = r + πe
Combinando con la expresión anterior,
mt − pt = φyt − η(it) = φyt − η(rt + πet )
mt − pt = φyt − ηrt − η(pet+1 − pt)
Bajo proyección perfecta (pet+1 = pt+1) y φyt = ηrt tenemos
mt − pt = −ηpt+1 + ηpt
pt =
mt
1 + η
+
(
η
1 + η
)
pt+1 =
1
1 + η
(mt + ηpt+1)
Luego, adelantando un peŕıodo
pt+1 =
mt+1
1 + η
+
(
η
1 + η
)
pt+2 =
1
1 + η
(mt+1 + ηpt+2)
Y utilizando la expresión anterior
pt =
1
1 + η
(mt + ηpt+1) =
1
1 + η
(
mt +
η
1 + η
(mt+1 + ηpt+2)
)
2
Nuevamente,
pt+2 =
mt+2
1 + η
+
(
η
1 + η
)
pt+3 =
1
1 + η
(mt+2 + ηpt+3)
Y utilizando la expresión anterior
pt =
1
1 + η
(
mt +
η
1 + η
(
mt+1 +
η
1 + η
(mt+2 + ηpt+3)
))
pt =
1
1 + η
(
mt +
η
1 + η
mt+1 +
(
η
1 + η
)2
mt+2
)
+
(
η
1 + η
)3
pt+3
Y aśı sucesivamente, es claro que se llega a
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
ms + lim
T→∞
( η
1 + η
)T
pt+T
3. (Modelo monetario del nivel de precios versión dinámica de expectativas racionales
caso estocástico) Suponga una forma espećıfica de demanda por dinero ”modelo de Cagan”
Mt
Pt
= Y φt e
−ηit
(a) Muestre que si φyt = ηrt y la oferta monetaria sigue el siguiente proceso estocástico de
primer grado, en donde �t es un ruido blanco
mt = ρmt−1 + �t
se cumple que
pt =
mt
1 + η − ηρ
(b) Calcule ∂ log(Pt)∂ log(Mt) ¿Cuándo un shock monetario tiene efecto máximo?
R: Bajo el mismo procedimiento anterior, se llega a
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
ms + lim
T→∞
( η
1 + η
)T
pt+T
Que bajo el supuesto de ausencia de burbujas especulativas
lim
T→∞
( η
1 + η
)T
pt+T = 0
La gran diferencia con el caso anterior, es que ahora es el caso estocástico . Es decir, no
tenemos certeza sobre los ”mt” , por lo que se usa el valor esperado. Aśı,
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
Et(ms)
3
pt =
1
1 + η
{( η
1 + η
)0
mt +
( η
1 + η
)1
Et(mt+1) +
( η
1 + η
)2
Et(mt+2)...
}
Falta entonces encontrar Et(mt+1), Et(mt+2)...
Para eso usamos el proceso estocástico que sigue la oferta monetaria e ir aplicando el operador
esperanza, considerando que si estamos en el peŕıodo t Et(mt) = mt y que Et(�t+j) = 0∀j.
Luego,
mt = ρmt−1 + �t
Y adelantando un peŕıodo
mt+1 = ρmt + �t+1 ⇒ Et(mt+1) = Et(ρmt + �t+1)
= Et(ρmt) + Et(�t+1) = ρmt
Adelantando otro peŕıodo y usando los mismos procedimientos
mt+2 = ρmt+1 + �t+2 ⇒ Et(mt+2) = Et(ρmt+1 + �t+2)
= Et(ρmt+1) + Et(�t+1) = ρEt(mt+1) = ρ · ρmt = ρ2mt
Aśı,
Et(mt+n) = ρ
nmt
Utilizando lo anterior, tenemos que
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
Et(ms) =
1
1 + η
∞∑
s=t
( η
1 + η
)s−t
ρs−t(mt)
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( ρη
1 + η
)s−t
(mt)
Para el siguiente procedimiento es necesario tener claro el manejo de series, en particular la
progresión geométrica (Ver anexo: progresión geométrica).
Aśı,
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( ρη
1 + η
)s−t
(mt)
Luego , si y solo si ρη1+η < 1
∞∑
s=t
( ρη
1 + η
)s−t
=
1
1− ρη1+η
=
1
1+η−ρη
1+η
=
1 + η
1 + η − ρη
Aśı,
pt =
1
1 + η
∞∑
s=t
( ρη
1 + η
)s−t
(mt) =
mt
1 + η
∞∑
s=t
( ρη
1 + η
)s−t
pt =
(
mt
1 + η
)
·
(
1 + η
1 + η − ρη
)
=
mt
1 + η − ρη
4
Calcule ∂ log(Pt)∂ log(Mt) ¿Cuándo un shock monetario tiene efecto máximo?
Para responder esto es necesario tener claro que estabamos trabajando en logaritmos, luego
∂ log(Pt)
∂ log(Mt)
= ∂pt∂mt Derivando la expresión anterior, nos queda
∂pt
∂mt
=
∂ mt1+η−ρη
∂mt
=
1
1 + η − ρη
Luego, como ρ ∈ [0, 1]
∂pt
∂mt
∈ [ 1
1 + η
, 1]
que es máximo si ρ = 1.
4. (Curva IS y su pendiente) Encuentre la pendiente de la curva IS ¿Qué condición es nece-
saria para que la pendiente de la IS sea negativa? ¿Se cumple siempre?
R: La condición de equilibrio del mercado de bienes es
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
Diferenciando la ecuación anterior, tenemos que
dY = dC̄ + c(dY − dT ) + Irdr + dG
Utilizando dC̄ = dT = dG = 0 , es decir variables constantes , nos queda
dY = c(dY ) + Irdr ⇔ dY (1− c) = Irdr
dr
dY
=
1− c
Ir
Que es la pendiente de la curva IS en el plano que (r,Y).
Luego, como c ∈ (0, 1)⇒ 1− c > 0 el signo de la pendiente está determinado por el signo de
Ir. Aśı, para que la pendiente sea negativa es necesario que Ir < 0
¿Ocurre esto siempre? No necesariamente. Existen distintas teoŕıas, como la teoŕıa de
opciones y de irreversibilidad de la inversión en donde Ir > 0.
5. (Curva IS y su relación con la inversión)Suponga I = φ1(~x) − φ2r con φ1, φ2 > 0 y ~x
un vector de constantes. ¿Cómo afecta la pendiente de la función inversión (I) a la pendiente
de la IS? De la intuición del resultado.
R: Del ejercicio anterior, teńıamos que la pendiente de la IS es
dr
dY
=
1− c
Ir
5
Aśı, la relación entre la pendiente de la IS drdY y la pendiente de la inversión Ir es negativa.
Es decir, a mayor pendiente de inversión o mayor sensibilidad de la inversión con la tasa de
interés real, menor es la pendiente de la IS. En este caso, la pendiente de la inversión
dI
dr
= −φ2
tiene la relación anterior. La intución es simple, si la inversión responde mucho a la tasa de
interés , entonces cambios en la tasa de interés van a cambiar mucho el producto via este
gran cambio en la inversión. Aśı, la IS será más plana (pequeños cambios en r van a tener
grandes cambios en Y), es decir tendrá menos pendiente.
6. (Curva IS y zonas de desequilibrio) Grafique en el plano (r,Y) una curva IS y distinga las
zonas de exceso de oferta y exceso de demanda de bienes explicando el por qué de su respuesta.
R: Suponga el t́ıpico gráfico de una curva IS en el plano (r,Y) es decir una recta con pendiente
negativa. Luego, suponga el punto A por sobre la recta y el punto B bajo la recta o curva
IS(aśı quedan definidos todos los cuadrantes).
Figure 1: IS: zonas de desequilibrio.
Punto A: En A tenemos que Y no ha cambiado, sin embargo existe una mayor tasa de
interés que la perteneciente a la curva LM r > r∗.
¿Qué ocurre? Para ese punto, al aumentar la tasa de interés cae inversión. Entonces, si
estabamos en equilibrio a una tasa menor que manteńıa Y = C + I +G al aumentar la tasa
y caer la inversión ocurre que Y > C +G+ I lo que implica que estar en la zona del puntoA existe un exceso de oferta de bienes.
Punto B: En B tenemos que Y no ha cambiado, sin embargo existe una menor tasa de
interés que la perteneciente a la curva IS r < r∗.
6
¿Qué ocurre? Para ese punto, al caer la tasa de interés aumenta inversión. Entonces, si
estabamos en equilibrio que manteńıa Y = C+ I+G al bajar la tasa y aumentar la inversión
ocurre que Y < C +G+ I lo que implica que estar en la zona del punto B existe un exceso
de demanda de bienes.
7. (Curva LM y su pendiente) Encuentre la condición de equilibrio que satisface la LM y
encuentre la pendiente de la curva ¿De qué factores depende?
R: La condición de equilibrio es básicamente igualdad entre oferta y demanda monetaria
Ms = Md
M̄
P
=
Md
P
= L(i, Y )
Luego, el modelo IS LM tiene supuestos muy importantes que es clave no olvidar , estos son
el tener M y P fijos (inflación cero⇒ i = r). Dado estos supuestos diferenciamos (igual como
para el caso con la curva IS)
dM̄
P
= Lidi+ LY dY
Bajo dM̄ = 0
dM̄
P
= 0 = Lidi+ LY dY ⇒
di
dY
=
dr
dY
=
−LY
Li
Luego, dado que LY > 0, Li < 0
dr
dY
=
−LY
Li
> 0
Aśı, la pendiente depende de como responde la demanda por dinero a la tasa de interés (i) y
al producto Y.
8. (Curva LM y zonas de desequilibrio) Grafique en el plano (r,Y) una curva LM y distinga
las zonas de exceso de oferta y exceso de demanda monetaria explicando el por qué de su
respuesta.
R: Suponga el t́ıpico gráfico de una curva LM en el plano (r,Y) es decir una recta con
pendiente positiva.Luego, suponga el punto A por sobre la recta y el punto B bajo la recta
o curva LM (aśı quedan definidos todos los cuadrantes).
7
Figure 2: LM: zonas de desequilibrio.
Punto A: En A tenemos que Y no ha cambiado, sin embargo existe una mayor tasa de
interés que la perteneciente a la curva LM i > i∗.
¿Qué ocurre? Para ese punto, al aumentar la tasa de interés cae la cantidad demandada , sin
embargo la oferta monetaria no se ve afectada y permanece igual. Entonces, si estabamos
en equilibrio a una tasa menor, al aumentar la tasa y estar en la zona del punto A existe un
exceso de oferta monetaria.
Punto B: En B tenemos que Y no ha cambiado, sin embargo existe una menor tasa de
interés que la perteneciente a la curva LM i < i∗.
¿Qué ocurre? Para ese punto, al caer la tasa de interés aumenta la cantidad demandada
(demanda por dinero con pendiente negativa), sin embargo la oferta monetaria no se ve
afectada y permanece igual. Entonces, si estabamos en equilibrio a una tasa menor, al
disminuir la tasa y estar en la zona del punto B existe un exceso de demanda monetaria.
9. (Curva LM y cambios en la base monetaria) Suponga la siguiente condición para el
equilibrio monetario
M
P
= βY − ηi
Además, suponga que el producto Y permanece constante en el instante de la contracción.
(a) ¿Cuál es el efecto en la tasa de interés i si existe un cambio en la base monetaria de M0
a M1 con M1 > M0?
b) ¿Cuál debe ser el cambio en el producto Y para que dado este cambio en la base
monetaria de M0 a M1 con M1 > M0 la tasa de interés i no cambie?
R: Dado la condición de equilibrio
M
P
= βY − ηi
8
Podemos llegar a una tasa de interés de equilibrio (despejando i)
i∗ =
1
η
(βȲ − M̄
P
)
Luego, el cambio en la tasa de interés viene dado por
∂i
∂M
= −1
η
(
4M
P
)
Para responder la pregunta (b) usamos
di∗ =
1
η
(βdȲ − dM̄
P
)
Para que la tasa de interés (i) no cambie, utilizamos di = 0
0 =
1
η
(βdȲ − dM̄
P
)
dY =
dM̄
P
1
β
10. (Multiplicadores de Poĺıtica monetaria expansiva en IS-LM) Dada las condiciones
de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
Y la ecuación de Fisher
i = r + πe
Considere además el supuesto de equilibrio instantáneo en mercados financieros y desequilib-
rio de corto plazo en mercados de bienes. Muestre el efecto en el producto y tasa de interés
de una poĺıtica monetaria expansiva ∆+M si πe = 0 ydT = dG = dP = 0. En particular,
muestre que
dY
dMP
=
1
Ly +
Li(1−c)
Ir
≥ 0
dr
dMP
=
1
Li +
LyIr
(1−c)
≤ 0
.
R: Dado las condiciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
9
y dado que M,P ,πe = 0 (di = dr ) diferenciamos ambas condiciones de equilibrio. Esto
porque ahora en IS LM nos interesa el efecto en ambas curvas, asi
dY = dC̄ + c(dY − dT ) + Irdi+ dG
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Con πe = 0 ydT = dG = dP = 0
dY = c(dY ) + Irdi
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Ahora, básicamente es resolver un sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi⇒ dY (1− c) = Irdi
Y de la segunda obtenemos
dM̄
P
= Lidi+ LydY ⇒ di =
1
Li
(
dM̄
P
− LydY
)
Aśı,
dY (1− c) = Irdi = Ir ·
1
Li
(
dM̄
P
− LydY
)
Despejando dY
dY ((1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
) =
(
Ir
Li
)
dM
P
dY
dM
P
=
(
Ir
Li
)
(1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
Luego, multiplicando el lado derecho por
Li
Ir
Li
Ir
tenemos
dY
dMP
=
1
Ly +
Li(1−c)
Ir
Dado que Li(1−c)Ir > 0 (ya que (1− c) > 0,Li < 0,Ir < 0) y que LY > 0 tenemos que
dY
dMP
=
1
Ly +
Li(1−c)
Ir
≥ 0
Para demostrar el cambio en la tasa de interés es análogo. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi⇒ dY =
Irdi
1− c
10
Y de la segunda ecuación
dM̄
P
= Lidi+ LydY ⇒ dY =
1
LY
(
dM̄
P
− Lidi
)
Aśı,
Irdi
1− c
=
1
LY
(
dM̄
P
− Lidi
)
di(Ir +
Li
LY
(1− c)) = (1− c)
LY
· dM
P
di
dM
P
=
(1−c)
LY
Ir +
Li
LY
(1− c)
Luego, multiplicando el lado derecho por
LY
1−c
LY
1−c
tenemos
di
dM
=
dr
dMP
=
1
Li +
LyIr
(1−c)
Dado que Li < 0,
LyIr
(1−c) < 0 (ya que LY > 0, (1− c) > 0, Ir < 0)
di
dM
=
dr
dMP
=
1
Li +
LyIr
(1−c)
≤ 0
.
11. (Poĺıtica fiscal expansiva I en IS-LM ) Dada las condiciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
Y la ecuación de Fisher
i = r + πe
Considere además el supuesto de equilibrio instantáneo en mercados financieros y desequi-
librio de corto plazo en mercados de bienes.
Muestre el efecto en el producto y tasa de interés de una poĺıtica fiscal expansiva de G1 a
G2 con G2 > G1si π
e = 0 ydT = dM = dP = 0,en particular muestre que
dY
dG
=
1
(1− c) + IrLyLi
≥ 0
dr
dM
=
−1
Ir +
(1−c)Li
Ly
≥ 0
11
. R: Dado las condiciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
y dado que M,P fijos ,πe = 0 (di = dr ) diferenciamos ambas condiciones de equilibrio. Esto
porque ahora en el modelo IS-LM nos interesa el efecto en ambas curvas. Aśı,
dY = dC̄ + c(dY − dT ) + Irdi+ dG
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Con πe = 0 ydT = dM = dP = 0
dY = c(dY ) + Irdi+ dG
0 = Lidi+ LydY
Ahora, básicamente es resolver un sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Irdi+ dG
Y de la segunda obtenemos
0 = Lidi+ LydY ⇒ di =
−LY dY
Li
Aśı,
dY (1− c) = Irdi+ dG = Ir ·
−LY dY
Li
+ dG
Despejando dY
dY ((1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
) = dG
dY
dG
=
1
(1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
Dado que (1− c) > 0, y que Ir
(
Ly
Li
)
> 0 (por Ir, Li < 0 y LY > 0)
dY
dG
=
1
(1− c) + IrLyLi
≥ 0
Para demostrar el cambio en la tasa de interés es análogo. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Irdi+ dG
12
Y de la segunda ecuación
0 = Lidi+ LydY ⇒ dY =
−Lidi
LY
Aśı,
−Lidi
LY
(1− c) = Irdi+ dG
−di(Ir + (1− c)
Li
LY
) = dG
di
dG
=
dr
dG
=
−1
Ir +
(1−c)Li
Ly
Dado Ir < 0,
(1−c)Li
Ly
< 0 implica denominador negativo, y a su vez como el numerador es
negativo
di
dG
=
dr
dG
=
−1
Ir +
(1−c)Li
Ly
≥ 0
.
12. (Poĺıtica fiscal expansiva II en IS-LM ) Dada las condiciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + C(r) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
Y la ecuación de Fisher
i = r + πe
Considere además el supuesto de equilibrio instantáneo en mercados financieros y desequi-
librio de corto plazo en mercados de bienes.
Muestre el efecto en el producto y tasa de interés de una poĺıtica fiscal expansiva de G1 a G2
con G2 > G1 si π
e = 0 (o consante) y dT = dM = dP = 0. Encuentre los multiplicadores de
poĺıtica. R: Dado las condiciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + C(r) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
y dado que
•M ,P son fijos: ya que no hubo poĺıtica monetaria (no cambia M) y que para encontrar
el multiplicador los P no se ajustan en el muy corto plazo P no cambia
• πe = 0: lo cual implica que di = dr por ecuación de Fisher. Notar que si πe > 0 y
es constante entonces igual di = dr ya que πe no cambia. Esto es un supuesto del
modelo (expectativas constantes)).
13
• dT = dC̄ = 0: esto viene dado porque son variables autónomias que no cambian.
Luego, diferenciamos ambas condiciones de equilibrio. Esto porque ahora en el modelo IS-LM
nos interesa el efecto en ambas curvas. Aśı, de modo general nos queda
dY = dC̄ + c(dY − dT ) + CrdrIrdr + dG
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Usando di = dr (que se cumple siempre en este modelo) y que dT = dM = dP = dC̄ = 0
tenemos que
dY = c(dY ) + Crdi+ Irdi+ dG
0 = Lidi+ LydY
Ahora, básicamente es resolver un sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Crdi+ Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Crdi+ Irdi+ dG
Y de la segunda obtenemos
0 = Lidi+ LydY ⇒ di =
−LY dY
Li
Aśı,
dY (1− c) = Crdi+ Irdi+ dG = (Cr + Ir) ·
−LY dY
Li
+ dG
Despejando dY
dY ((1− c) + (Cr + Ir)
(
Ly
Li
)
) = dG
dY
dG
=
1
(1− c) + (Cr + Ir)
(
Ly
Li
)
Para demostrar el cambio en la tasa de interés es análogo. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Crdi+ Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Crdi+ Irdi+ dG
Y de la segunda ecuación
0 = Lidi+ LydY ⇒ dY =
−Lidi
LY
Aśı (hay muchos caminos para resolver esto, esto es solo una forma), si multiplicamos por
(1− c) tenemos que
−Lidi
LY
(1− c) = dY (1− c)
Recordando que dY (1− c) = Crdi+ Irdi+ dG tenemos uqe
−Lidi
LY
(1− c) = Crdi+ Irdi+ dG
14
−Lidi
LY
(1− c) = (Cr + Ir)di+ dG
Despejando di
−di(Cr + Ir + (1− c)
Li
LY
) = dG
di
dG
=
dr
dG
=
−1
Cr + Ir +
(1−c)Li
Ly
13. (Poĺıtica fiscal y monetaria expansiva instantánea en IS-LM) Dada las condiciones
de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
Y la ecuación de Fisher
i = r + πe
Considere además el supuesto de equilibrio instantáneo en mercados financieros y desequi-
librio de corto plazo en mercados de bienes.
(a) Muestre el efecto en el producto y tasa de interés de una poĺıtica fiscal expansiva de G1
a G2 con G2 > G1 y de una poĺıtica monetaŕıa expansiva instantánea si ydT = dP = 0.
En particular, muestre que
dY =
dG
Ir
+ 1Li
dM
P
(1−c)
Ir
+
Ly
Li
≥ 0
dr =
1
Ly
dM
P −
dG
(1−c)
Ir
(1−c) +
Li
Ly
(b) ¿Cuál debe ser la razón de los cambios de base monetaria y gasto fiscal para que la tasa
de interés permanezca constante?
R: Utilizando,
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
M̄
P
= L(i, Y )
y dado queπe = 0 (di = dr diferenciamos ambas condiciones de equilibrio. Esto porque ahora
en IS LM nos interesa el efecto en ambas curvas, asi
dY = dC̄ + c(dY − dT ) + Irdi+ dG
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Con πe = 0 ydT = dP = 0
dY = c(dY ) + Irdi+ dG
15
dM̄
P
= Lidi+ LydY
Ahora, básicamente es resolver un sistema de ecuaciones. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Irdi+ dG
Y de la segunda obtenemos
dM̄
P
= Lidi+ LydY ⇒ di =
1
Li
(
dM̄
P
− LydY
)
Aśı,
dY (1− c) = Irdi+ dG = Ir ·
1
Li
(
dM̄
P
− LydY
)
+ dG
Despejando dY
dY ((1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
) =
(
Ir
Li
)
dM
P
+ dG
dY =
dG+
(
Ir
Li
)
· dM̄P
(1− c) + Ir
(
Ly
Li
)
Que dado que dG > 0,
(
Ir
Li
)
> 0 (debido a que ambos son negativos),dM̄P > 0 nos da un
numerador positivo. Luego, dado que (1− c) > 0,Ir
(
Ly
Li
)
> 0 (debido a que Ir, Li < 0,LY >
0) nos da un denominador positivo. Entonces,
dY =
dG
Ir
+ 1Li
dM
P
(1−c)
Ir
+
Ly
Li
≥ 0
Gráficamente es más simple verlo. Si se desplanzan ambas curvas hacia la derecha, el claro
notar que aumenta el producto (salvo en casos extremos el producto no cambia). Sin embargo,
también se puede notar que el efecto en la tasa de interés es ambiguo.
Para demostrar el cambio en la tasa de interés es análogo. De la primera ecuación obtenemos
dY = c(dY ) + Irdi+ dG⇒ dY (1− c) = Irdi+ dG
Y de la segunda ecuación
dM̄
P
= Lidi+ LydY ⇒ dY =
1
LY
(
dM̄
P
− Lidi
)
Aśı,
1
LY
(
dM̄
P
− Lidi
)
(1− c) = Irdi+ dG
di(Ir +
Li
LY
(1− c)) = (1− c)
LY
· dM
P
− dG
16
di =
(1−c)
LY
· dMP − dG
Ir +
Li
LY
(1− c)
Multiplicando por
1
1−c
1
1−c
tenemos
di = dr =
1
LY
· dMP −
dG
1−c
Ir
1−c +
Li
LY
¿Cuál es el sentido (signo) del cambio?
Veamos el numerador
1
LY
· dM
P
− dG
1− c
Dado que los cambios en M,G son posit́ıvos, al igual que LY , 1 − c, dG, dM > 0, el signo
dependerá finalmente de que cambio es más potente a su multiplicador simple (el multipli-
cador simple es ver el cambio solo en la IS o solo en la LM). Aśı, el cambio en G solo en la
IS provoca dG1−c y un cambio en M provoca solo en la LM
1
LY
· dMP . Veamos el denominador
Ir
1− c
+
Li
LY
Que son básicamente la suma de lo rećıprocos de las pendientes de cada curva. Recordando
que la pendiente de la IS es negativa 1−cIr < 0 y que la pendiente de la LM es positiva
LY
Li
> 0
Entonces el signo del denominador va a depender de cual pendiente es mayor, es decir, fi-
nalemente todo depende de las elasticidades relativas de las curvas.
Para responder (b) solamente usamos dr = 0. Aśı,
di = dr = 0 =
1
LY
· dMP −
dG
1−c
Ir
1−c +
Li
LY
0 =
1
LY
· dM
P
− dG
1− c
dM
P
dG
=
1− c
LY
14. (Neutralizando la poĺıtica fiscal con poĺıtica monetaria en IS-LM) Dada las condi-
ciones de equilibrio
Y = C̄ + c(Y − T ) + (Ī − αr) +G
M̄
P
= L(i, Y ) = βY − ηi
y la ecuación de Fisher i = r+πe. Considere además el supuesto de equilibrio instantáneo en
mercados financieros y desequilibrio de corto plazo en mercados de bienes. Suponga que el
gobierno aplica una poĺıtica fiscal expansiva usando su instrumento impositivo, sin embargo
17
por alguna razón el Banco Central decide neutralizar el efecto de esta poĺıtica fiscal expansiva
sobre el producto. Calcule algebráicamente el cambio en la cantidad de dinero requerido para
lo anterior, en el contexto del modelo IS-LM.
R: La gran diferencia de este ejercicio con los anteriores es que ahora tenemos una forma
espećıfica para la IS y para la LM. Notar que igual se puede resolver de la forma anterior,
solo que abŕıa que calcular las derivadas, etc.
Vamos a resolver este ejercicio de una forma distinta (se puede de la forma anterior, pero
para tener todos los casos)
La curva IS la podemos escribir
Y = C̄ + c(Y − T ) + (Ī − αr) +G = φ1 + cY − αr
r = i∗ = −
(
Y (1− c)− φ1
α
)
En donde φ1 = C̄ − c(T ) + Ī + G que corresponde a la parte autónoma de la función (una
gran constante).
Luego, despejando i (recordar que estamos bajo P constante, asi que r = i)
M
P
= βY − ηi
Podemos llegar a una tasa de interés de equilibrio (despejando i)
i∗ =
1
η
(βY − M̄
P
)
Igualando con lo encontrado en la IS
i∗ = −
(
Y (1− c)− φ1
α
)
=
1
η
(βY − M̄
P
)
Despejando Y (ya que para este ejercicio nos interesa solo el efecto en el producto!)
−Y (1− c) + φ1
α
=
1
η
(βY − M̄
P
)
−Y (1− c) + φ1 =
α
η
(βY − M̄
P
)
−Y (1− c) + φ1 =
α
η
(βY )− α
η
(
M̄
P
)
Y
(
αβ
η
)
+ (1− c)) = φ1 +
α
η
(
M̄
P
)
18
Y =
φ1 +
α
η (
M̄
P )(
αβ
η
)
+ (1− c))
Luego, dado que cambia los impuestos T (en φ1) y M diferenciamos
dY =
dφ1 +
α
η (
dM̄
P )(
αβ
η
)
+ (1− c))
Luego,
dφ1 = d(C̄ − c(T ) + Ī +G) = −cdT
Recordando que buscamos el cambio en la base monetaria que cancele el efecto (es decir
dY = 0)
0 =
dφ1 +
α
η (
dM
P )(
αβ
η
)
+ (1− c))
=
−cdT + αη (
dM
P )(
αβ
η
)
+ (1− c))
0 = −cdT + α
η
(
dM
P
)
Aśı, el cambio tiene que ser de
dM
P
=
( η
α
)
· cdT
15. (Limitaciones del modelo: nivel de precios variable) Suponga que la tasa de interés
sigue la siguiente forma funcional impĺıcita
i = i(P,M, Y )
con iP , iY > 0 y iM < 0. Además, suponga que la demanda depende de las siguientes
variables
Y D = Y D(C, T,M,P, πe, G)
donde C es el consumo, T los impuestos, M la oferta monetaria, P el nivel de precios agre-
gados, πe el nivel de precios esperado y G el gasto fiscal.
(a) ¿Cómo depende Y en equilibrio respecto a cada variable?
(b) Expliquedetalladamente qué ocurre si sube el nivel de precios.
R: Para responder esto hay que tener en mente tres cosas :
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(r) +G
i ' r + πe
i = i(P,M, Y )
Luego, combinando ambas
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(i− πe) +G
19
Y = C̄ + c(Y − T ) + I(i(P,M, Y )− πe) +G
Luego, es claro notar que si aumenta C̄ aumenta Y, por lo que hay una relación positiva, al
igual que con G (y una negativa con T).
¿Que sucede con M? Si aumenta M cae la tasa de interés nominal (iM < 0) disminuyendo
también la tasa de interés real aumentando la inversión y con ello el producto. Luego hay
una relación positiva.
¿Que sucede con πe?Si aumenta πe cae la tasa de interés real aumentando la inversión y con
ello el producto. Luego hay una relación positiva.
¿Que sucede con P? Si aumenta P aumenta la tasa de interés nominal (iM > 0) aumentando
también la tasa de interés real disminuyendo la inversión y con ello el producto. Luego hay
una relación negativa.
Lo que ocurre realmente, es que al aumentar el nivel de precios P cae la oferta monetaria
(MP ) aumentando la tasa de interes nominal y con ello cae la inversión y el producto. Notar
que Y = C̄ + c(Y − T ) + I(i(P,M, Y )− πe) +G puede escribirse
Y D = Y D(C, T,M,P, πe, G)
20
Anexo: progresión geométrica
Si r < 1 la siguiente serie converge
St =
∞∑
t=0
rt = 1 + r + r2 + r3 + ... =
1
1− r
Para demostrar lo anterior se puede usar al menos dos caminos,
1.
St = 1 + r + r
2 + r3 + ...rT con T →∞
rSt = r + r
2 + r3 + ...rT+1
Luego,
St − rSt = (1 + r + r2 + r3 + ...rT )− (r + r2 + r3 + ...rT+1)
St − rSt = 1 + rT+1
Aśı,
St(1− r) = 1 + rT+1 ⇔ St =
1 + rT+1
1− r
Dado que r < 1 y que T →∞ implica que
lim
T→∞
rT+1 = 0
Aśı,
St =
1
1− r
2.Dado que la serie es infinita se pueda usar
St = 1 + r + r
2 + r3 + ... = 1 + r(1 + r + r2 + ...)
St = 1 + r(St)
St − rSt = 1⇔ St =
1
1− r
21