AyudantíaSeccionNr 16

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Sección Nr.17
Inconsistencia dinámica
Noviembre , 2017
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
El modelo simple
Modelo de Barro y Gordon: Inconsistencia dinámica
Suponga la siguiente función de pérdida del Banco Central
L =
απ2t
2
− λ(yt − yn)
donde πt es el nivel de inflación en el peŕıodo t, yt e yn son el logaritmo del nivel de producto
corriente y de largo plazo respectivamente, α y λ son parámetros positivos. Suponga la siguiente
curva de Phillips:
yt = yn + δ(πt − πet )
donde πet es la expectativa de inflación en el peŕıodo t y δ es un parámetro positivo.
(a) Explique detalladamente la función de pérdida del banco central.
R: En primer lugar, es necesario comentar el rol de los parámetros α y λ. Estos parámetros
determinan la sensibilidad de la función de pérdida respecto a las desviaciones de la inflación
y el producto respectivamente de sus niveles de meta o de largo plazo (asuma una meta de
inflación de cero para este caso). Es decir, un α muy grande castigará mucho cuando hay
inflación positiva mientras que un α = 0 (por ejemplo α = 0) al banco central no le importa
mucho la inflación.Por otro lado, un mayor lambda significa que al banco central le importan
más las desviaciones del producto respecto a la tendencia. Notar que todo lo anterior resulta
de una comparación relativa entre α y λ.
yt = yn + δ(πt − πet )
Comentarios:
(i) Notar que es una función de pérdida y no de ganancias. De esta manera mientras más
grande es el número peor está ya que tiene una mayor pérdida. La forma de esa función
de pérdida es un supuesto.
(ii) Las desviaciones de inflación respecto de 0 son castigadas por el banco. Para ver esto
notar que el término de inflación está elevado al cuadrado. Luego, inflaciones positivas
y negativas reportan pérdidas porque están al cuadrado (se castigan las desviaciones
sobre y bajo esta meta impĺıcita de 0).
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(iii) El banco central se ve beneficiado cuando el producto está sobre su nivel tendencial y
castiga (reporta más pérdidas) cuando se está bajo el nivel de tendencia. Para ver esto,
notar que cuando yt − yn > 0, dado que λ > 0 pero tiene un signo negativo, lleva a un
menor nivel de pérdida L.
(iv) Recordar que el Banco Central tiene como variable de control las variables dentro de su
función de pérdida. Es decir, se asume que puede definir el nivel de producto e inflación.
Si hubieran más variables, tambien las podŕıa controlar.
(b) Encuentre la inflación óptima, expectativa de inflación y nivel de producto que determina el
banco central bajo la solución discrecional.
R: La función de pérdida del banco central L es
L =
απ2t
2
− λ(yt − yn)
Remplazamos
yt = yn + δ(πt − πet )
en la función de pérdidas y queda
L =
απ2t
2
− β(πt − πet )
donde β = λδ.
Luego, la inflación óptima bajo un contexto discrecional es aquella que minimiza la pérdida(dado
un πet ) es
∂L
∂πt
= απt − β
Luego,
πdt =
β
α
> 0
Para determinar la expectativa de inflación, los agentes lo que el Banco Central está haciendo
y dado que los agentes racionales hacen su expectativa de la solución discrecional
πet = E(πdt ) = E
(
β
α
)
=
β
α
Notar que el hecho de que el banco central busque una tasa mayor que 0 (Notar que si esco-
giera 0 y las expectativas fuera 0, entonces la pérdida es 0) se denomina sesgo inflacionario.
El banco central busca aumentar π para que a través de la curva de Phillips exista un mayor
nivel de producto sobre la brecha, de tal manera de disminuir la pérdida. Sin embargo, la
expectativa de los agentes se actualizan por lo que no logra su objetivo.
2
Para determinar el nivel de producto, utilizamos la curva de Phillips con los resultados
previos:
yt = yn + δ(πt − πet )
= yn + δ
(
β
α
− β
α
)
= yn
De esta manera, bajo esta solución se tiene que el produto es igual a producto tendencial
yt = yn.
(c) Calcule el nivel de pérdida del banco central bajo la solución discrecional.
R: Para calcular la pérdida del banco central, remplazamos los valores calculados en la
pregunta anteriorπet =
β
α , π
d
t =
β
α y yt = yn en la función de pérdida
L =
απ2t
2
− β(πt − πet )
=
α(βα )
2
2
− β
((
β
α
)
−
(
β
α
))
=
β2
2α
> 0
(d) ¿Existe algún nivel de inflación a la que el banco central le gustaŕıa comprometerse y que le
entrega un mejor resultado (menor pérdida)?
R: Supongamos el banco central se compromete con una regla créıble que fija la tasa de
inflación en a > 0. Es decir, a un nivel πrt = a. Una de las caracteŕısticas que debe tener
esta regla es que debe ser créıble. Dado esto, entonces πrt = π
e
t ya que los individuos le creen
al banco central. Remplazamos esto en L y nos queda:
L =
α(πrt )
2
2
− β(πrt − πrt )
=
α(πrt )
2
2
=
a2
2
De esta manera, cuando el banco central se compromete a una regla de tasa de inflación a
obtiene una pérdida de a
2
2 .
¿Qué nivel de regla ”a” eligirá el banco central? Lógicamente el banco central escogerá el
que le reporte un menor nivel de L (pérdida). ¿Cuál es ese valor? Notar que si minimizamos
la función de pérdida escogiendo ”a” tenemos que
min
a
a2
2
⇒ a∗ = 0
Por lo que LRegla = 0.
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(e) Compare los dos niveles de pérdida de las soluciones discrecional y bajo regla.
R: En el caso discrecional, se obtuvo
Ld =
β2
2α
> 0
y en el segundo caso
Lr = 0
Luego, bajo una regla, el banco central queda mejor que antes ya que
Lr < Ld
(f) Suponiendo que el banco central logra comprometerse con dicho nivel de inflación πrt ¿Tiene
incentivos a desviarse?
R: Supongamos el banco central se logra comprometer a πrt = 0, con lo que π
e
t = 0. Luego
de hacer creer a las personas eso, resuelve el siguiente problema
min
π
L =
α(πt)
2
2
− β(πt − πet ) s.a πet = 0
La CPO es
απt = β
π∗t =
β
α
Luego, para ver el incentivo a desviarse, hay que analizar si este nuevo nivel de L , el cual
llamaremos Lengano. ¿Cuál es este nivel?
Lengano =
α(βα )
2
2
− β(
fracβα)
=
1
2
β2
α
− β
2
α
= −1
2
β2
α
< 0
Luego, bajo Le queda mejor ya que obtiene ganancias (L negativo). De esta manera, se tiene
que
LEngano < LRegla < LDiscrecional
Comentario: Un supuesto relevante que hemos realizado hasta ahora es que el problema no
tiene horizonte de tiempo. De esta manera, este equilibrio de desv́ıo no es estable, y surgirá
un juego dinámico de reputación.
(g) Suponga ahora que el Banco Central tiene una función de pérdida intertemporal dada por
H =
∞∑
i=0
ρiLt+i
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En donde H es la función de pérdida descontada y ρ el factor de descuento.
Para considerar la reputación incorporaremos las siguientes reglas de ajuste de expectativas
πet = π
r
t si πt−1 = π
e
t−1 = π
r
t−1
πet = π
d
t si πt−1 6= πet−1 = πrt−1
¿Puede el banco central comprometerse a cumplir con πt = π
r
t en el largo plazo? ¿Cuáles
son sus incentivos a desviarse cuando hay un peŕıodo? ¿Si hay infinitos peŕıodos?
Para responder esta pregunta es necesario comparar:
– Beneficio de no desviarse : como Lr = 0 tenemos
HRegla =
∞∑
i=0
ρiLt+i = 0
– Beneficio del desv́ıo: engañar en el primer peŕıodo, sin embargo hacia adelante recibe
el castigo
HDesvio = LEngano +
∞∑
i=1
ρiLDiscrecional =
−β2
2α
+
∞∑
i=1
ρi
(
β2
2α
)
donde n es la cantidad de peŕıodos que dura el castigo.
De esta manera, cuando:
– n = 1
HDesvio =
−β2
2α
+ ρ
(
−beta2
2α
)
< 0
HRegla = LRegla + ρLRegla = 0
Luego, dado que HDesvio < HRegla el banco central siempre engañará y se desviará.
– n =∞
Notar que HRegla = 0 ya que es la suma al infinito de LRegla = 0. De esta manera
HRegla =
∞∑
i=0
ρiLReglat+i = 0
Por otro lado, si se desv́ıa:
HDesvio =
−β2
2α
+ ρ
β2
2α
+ ρ2
β2
2α
+ . . .
=
−β2
2α
+ ρ
β2
2α
(1 + ρ+ ρ2 + ρ3 + . . .)
=
−β2
2α
+ ρ
β2
2α
(
1
1− ρ
)
=
β2
2α
(
ρ
1− ρ
− 1
)
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¿Cuándo le conviene desviarse?
Siempre y cuando
HDesvio ≤ HRegla
β2
2α
(
ρ
1− ρ
− 1
)
≤ 0(
ρ
1− ρ
− 1
)
≤ 0
ρ
1− ρ
≤ 1
ρ ≤ 1− ρ
ρ ≤ 1
2
Si ρ < 12 el banco central siempre sedesv́ıa. La intuición es simple. Dado que lo van a
castigar infinitos peŕıodos, la única manera que el banco decida desviarse es que no le
interese tanto el futuro.
Otras funciones de Pérdida
Suponga la siguiente función de pérdida del Banco Central
L = π2t + λ(yt − ȳ − k)2
donde πt es el nivel de inflación en el peŕıodo t, yt e yn son el logaritmo del nivel de producto
corriente y de largo plazo respectivamente, α, λ y k > 0 son parámetros positivos.
Suponga la siguiente curva de Phillips:
yt = yn + δ(πt − πet )
donde πet es la expectativa de inflación en el peŕıodo t y δ es un parámetro positivo.
(a) Encuentre bajo la solución discrecional la inflación óptima, la expectativa de inflación y el
nivel de producto.
R: La función de pérdida del banco central L es:
L = π2t + λ(yt − ȳ − k)2
Remplazamos
yt = yn + δ(πt − πet )
en la función de pérdidas y queda:
L = π2t + λ(δ(πt − πet )− k)2
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Luego, la inflación óptima bajo un contexto discrecional es aquella que minimiza la pérdida(dado
un πet ) es:
∂L
∂πt
= 2πt + 2λδ(δ(πt − πet )− k) = 0
= πt + λδ
2πt − λδ2πet − λδk = 0
Despejando πt se tiene:
πt + λδ
2πt − λδ2πet − δλk = 0
πt(1 + λδ
2) = λδ2πet + δλk
πdt =
λδ2πet + δλk
1 + λδ2
Notar que ahora la inflación óptima depende de la expectativa de inflación. Por lo cual ahora
obtendremos la expectativa de inflación y volveremos a reemplazar en la ecuación anterior.
Para determinar la expectativa de inflación, los agentes lo que el Banco Central está haciendo
y dado que los agentes racionales hacen su expectativa de la solución discrecional
πet = E(πdt )
= E
(
λδ2πet + δλk
1 + λδ2
)
= E
(
λδ2πet
1 + λδ2
)
+ E
(
δλk
1 + λδ2
)
Antes de continuar, notar que
– Notar que E(πe) = πe ya que la expectativa es una constante.
– Lo mismo ocurre con todos los demás parámetros que son constantes.
Utilizando lo discutido anteriormente, tenemos que
πet =
λδ2πet + δλk
1 + λδ2
πet =
λδ2πet
1 + λδ2
+
δλk
1 + λδ2
πet −
λδ2πet
1 + λδ2
=
δλk
1 + λδ2
πet
(
1− λδ
2
1 + λδ2
)
=
δλk
1 + λδ2
πet
(
1
1 + λδ2
)
=
δλk
1 + λδ2
πet = δλk
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Dado que ya obtuvimos la expectativa πet = δλk, volvemos a reemplazar en la inflación
discrecional encontrada anteriormente para este nivel de expectativas de inflación:
πdt =
λδ2πet + λδk
1 + λδ2
=
λδ2(λδk) + λδk
1 + λδ2
=
(λδk)(1 + λδ2)
1 + λδ2
= λδk
De esta manera, en este ejercicio nos queda que
πdt = λδk = π
e
t
Para determinar el nivel de producto, utilizamos la curva de Phillips con los resultados
previos:
yt = yn + δ(πt − πet )
= yn + δ ((λδk)− (λδk))
= yn
De esta manera, bajo esta solución se tiene que el produto es igual a producto tendencial
yt = yn.
El nivel de pérdida bajo esta función de pérdida es:
L = (λδk)2 + λ(−k)2
= (λδk)2 + λk2
= k2λ(1 + λδ2)
(b) ¿A qué tasa de inflación le gustaŕıa al banco central comprometerse?
R: Recordar que si se compromete a un nivel a y es créıble, se tiene
πRt = a = π
e
t
Luego, el nivel de producto es
yt = yn + δ(πt − πet )
= yn + δ ((a)− (a)))
= yn
Luego, la pérdida es
LRegla = a2 + λ(−k)2 = a2 + λk2
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¿Qué nivel de inflación regla va a determinar el banco? Aquel que minimice su pérdida. De
esta manera
min
a
a2 + λ(−k)2 ⇒ a∗ = 0
Luego, escogeŕıa un nivel de πRt = π
e
t = 0 por lo que su pérdida es:
LRegla = 02 + λ(−k)2 = λk2
El cual es menor que bajo la solución discrecional
1 Gúıa para resolver inflación discrecional y regla
Los pasos para resolver bajo inflación discrecional son:
1. Plantear el problema de optimización: Función de pérdida sujeta a la curva de Phillips.
2. Incorporar la curva de Phillips en el problema de optimización para hacer la derivación más
sencilla.
3. Derivar e igualar a 0. Notar que de la CPO va a salir la inflación discrecional.
4. Calcular la inflación esperada. Para esto, aplicar expectativas a la inflación discrecional
anterior. Generalmente van a ser siempre constantes. Lo único que hay que tener cuidado es
cuando la solución discrecional depende de las expectativas (ejercicio 2).
5. Remplazar la expectativa de inflación en la inflación discrecional para obtener el nivel de
inflación discrecional (solamente si la inflación discrecional del paso previo depende de la
inflación esperada (ver ejercicio 1 vs. 2).
6. Calcular el nivel de producto: con los pasos previos, reemplazar en la curva de Phillips para
obtener el nivel de producto.
7. Calcular el nivel de pérdida
Los pasos para resolver bajo regla son:
1. Bajo una regla a se cumple
πRt = π
e
t = a
Notar que no hay que derivar ni calcular expectativas
2. Calcular el nivel de producto: dado que πRt = π
e
t reemplazar en la curva de Phillips para
obtener el nivel de producto.
3. Calcular el nivel de pérdida
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