AyudantíasecciónNr 17(Isaac)

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Macroeconomía II -EAE221B
Instituto de Economía - UC
Segundo Semestre, 2017
Profesor: Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante: Isaac Martinez
Ayudantía de la sección Nr.17: Política monetaria
1. Regla óptima
Suponga que el problema del banco central es:
mı́n
yt,πt,it
λy (yt − y∗t )
2 + (πt − π∗t )2 + λii2t (1)
donde πt es el nivel de inflación, π∗t es la meta de inflación, yt es nivel de producción, y∗t es el nivel de producción de
largo plazo, it es la tasa de interés nominal en el periodo t. El problema de optimización está sujeta a dos ecuaciones:
la curva de Phillips y la curva IS.
πt − πet = θ (yt − y∗t ) + εt (2)
yt − y∗t = −φ (it − πet − r∗t ) + ηt (3)
donde πet es el nivel de inflación esperado y εt es un choque de oferta, r∗t es la tasa de interés real natural y ηt es
un choque de demanda.
a) Describa las diferencias en las preferencias y el comportamiento de los bancos centrales reflejados en esta
función de pérdida.
b) Encuentre la regla de política monetaria óptima del banco central.
1
Respuesta
b) Formando el lagrangiano
L
yt,πt,it
λy (yt − y∗t )
2 + (πt − π∗t )2 + λii2t+
µ1t (πt − πet − θ(yt − y∗t ) − εt) + µ2t (yt − y∗t + φ(it − πet − r∗t ) − ηt)
Las CNPO serán:
[yt] : 2λy (yt − y∗t ) − θµ1t + µ2t = 0
2λy (yt − y∗t ) = θµ1t − µ2t (4)
[πt] : 2 (πt − π∗t ) + µ1t = 0
−2θ (πt − π∗t ) = θµ1t (5)
[it] : 2λiit + φµ2t = 0
2λi
φ
it = −µ2t (6)
Sumando (5) y (6) obtenemos:
−2θ (πt − π∗t ) +
2λi
φ
it = θµ1t − µ2t (7)
Igualando (4) y (7)
2λy (yt − y∗t ) = −2θ (πt − π∗t ) +
2λi
φ
(it)
λy (yt − y∗t ) = −θ (πt − π∗t ) +
λi
φ
(it)
πt − π∗t = −
λy
θ
(yt − y∗t ) +
λi
φθ
(it)
πt = π∗t −
λy
θ
(yt − y∗t ) +
λi
φθ
(it) (8)
Reemplazando (8) en la ecuación CP:
π∗t −
λy
θ
(yt − y∗t ) +
λi
φθ
(it) − πet = θ(yt − y∗t ) + εt
π∗t +
λi
φθ
(it) − πet − εt =
(
θ + λy
θ
)
(yt − y∗t )
yt − y∗t =
θ
θ2 + λy
(
π∗t +
λi
φθ
(it) − πet − εt
)
(9)
Reemplazando (9) en la curva IS:
θ
θ2 + λy
(
π∗t +
λi
φθ
(it) − πet − εt
)
= −φ (it − πet − r∗t ) + ηt
Sea: β = θθ2+λy
β
(
π∗t +
λi
φθ
(it) − πet − εt
)
= −φ (it − πet − r∗t ) + ηt
β (π∗t − πet − εt) − ηt − φ (πet + r∗t ) = −
(
λiβ
φθ
)
it − φit
−
(
φ+ λiβ
φθ
)
it = β (π∗t − πet − εt) − ηt − φ (πet + r∗t )
2
it = −
φθ
φ2θ + λiβ
[β (π∗t − πet − εt) − ηt − φ (πet + r∗t )]
Finalmente
it =
φθ
φ2θ + λiβ
[β (πet − π∗t + εt) + ηt + φ (πet + r∗t )] (10)
3