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Sección Nr.4 EAE 221B Marzo , 2014 Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D. TA : Mart́ın Carrasco N. 2.Ejercicios 1. Modelo Baumol-Tobin de Demanda de dinero Suponga se cumplen todos los supuestos del modelo de Baumol-Tobin (a) Plantee el modelo y encuentre el número de retiros óptimos calculando las distintas derivadas parciales para las variables. Dado los supuestos, se resuelve min n CT = nZ + iY 2n Lo anterior viene de minimizar costos, en donde nZ corresponde a los costos fijos por retiros y iY2n viene por el costo de oportunidad del retiro promedio al tiempo. Definiendo R como el retiro, R2 corresponde a la parte del retiro que en promedio está perdiendo intereses. Luego, el costo de oportunidad es ( R 2 ) · i que utilizando el supuesto de nR = Y ⇔ R = Yn implica ( R 2 ) · i = ( Y 2n ) · i Lo anterior se hizo para que el problema de optimización quede en variables de control (n). Luego, se resuelve el problema derivando con respecto a n e igualando a cero (revisar CSO): CPO : Z − ( iY 2n2 ) ⇒ n∗ = √ iY 2Z CSO : iY n3 > 0→ mı́nimo ¿Cuáles son los signos de las derivadas parciales? De acuerdo a n∗ = n(i, Y, Z) es trivial notar que ni, nY > 0 y que nZ < 0. Lo anterior se debe a la forma de la función y en particular a que dichas variables estan en el numerador aumentan n y en el denominador disminuyen n (si no queda claro derivar con respecto a dicha variable). (b) Encuentre una expresión para la demanda de dinero. Se define la demanda por dinero en este modelo como Md = R ∗ 2 . Faltaŕıa entonces definir R∗ que viene dado por n∗R = Y , luego R∗ = Y n∗ = Y√ iY 2Z = √ 2Y Z i 1 Aśı, Md = R∗ 2 = √ Y Z 2i Se puede dejar todo en variables reales recordando que YP = y; Z P = z en donde las minúsculas corresponden a variables reales. Luego, remplazando, Md = √ (Py)(Pz) 2i = P √ yz 2i (c) Calcule la elasticidad ingreso y precio de la demanda de dinero ¿ Qué ocurre si el nivel de precios cambia en un 10%? Se define la elasticidad ingreso como ηM,y = ∂ log(Md) ∂y y elasticidad precio como ηM,P = ∂ log(Md) ∂P Luego, log(Md) = log ( P √ yz 2i ) = log(P ) + 1 2 (log(y) + log(z)− log(2)− log(i)) Diferenciando obtenemos ηM,y = ∂ log(Md) ∂y = 1 2 ηM,P = ∂ log(Md) ∂P = 1 ηM,P = ∂ log(Md) ∂i = 1 2 ¿ Qué ocurre si el nivel de precios cambia en un 10%? Como ηM,P = 1 indica que los cambios porcentuales son iguales, aśı ante cambios del nivel de precios de un 10% implica un cambio en la demanda por dinero del mismo porcentaje. (d) Grafique en el plano ($,R) los costos y puntos relevantes. Justifique las formas de las curvas. 2. Teoŕıa cuantitativa del dinero De acuerdo a la teoŕıa cuantitativa del dinero (a) Muestre que se cumple ṀM = ẏ y + Ṗ P − V̇ V . Esto es básicamente aplicar logaritmo y diferenciar, recordando que si df(x1, x2, ..., xn) = fx1dx1 + fx2dx2 + ...+ fxndxn 2 Luego, aplicando logaritmo a Mt · Vt = Pt · yt tenemos que log(Mt) + log(Vt) = log(Pt) + log(yt) log(Mt) = log(Pt) + log(yt)− log(Vt) Ahora, diferenciando tenemos que(∂ log(x)∂x = 1 xdx) dM M = dy y + dP P − dV V = Ṁ M = ẏ y + Ṗ P − V̇ V (b) Suponga ahora la tasa de interes nominal es constante en una economı́a que no crece ¿Cómo se traduce un aumento en la base moneteria? Usando ṀM = ẏ y + Ṗ P − V̇ V , que la economı́a no crece (ẏ = 0) y el hecho de que si la tasa de interés nominal no cambia entonces V̇ = 0 nos queda Ṁ M = Ṗ P Luego, un aumento de la base monetaria Ṁ > 0 básicamente se traduce en un aumento en el nivel de precios Ṗ > 0. 3. Cash in Advance Suponga se cumplen todos los supuesto del modelo de ”Cash in advance” (a) Plantee el modelo explicando el por qué de las restricciones. El modelo resuelve el siguiente problema de optimización max ct ∞∑ t=0 βtU(Ct) s.t PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 Mt ≥ PtCt La primera restricción es básicamente la misma que se usaba en los modelos de consumo en Macroeconomı́a I, es decir del tipo ”lo que tengo que hacer con que lo voy a hacer”. ¿Qué es lo que tengo? Tengo una función de producción que puede ser valorada a precio P PtF (Kt, L) , un capital que se deprecia valorizado a precios corrientes Pt(1 − δ)Kt, tengo dinero (Mt)y transferencias (Xt). ¿Qué es lo que quiero hacer? Al igual que en cualquier modelo de consumo, el individuo quiere consumir al precio en t (PtCt);ahorrar para el siguiente peŕıodo (Mt+1, el dinero que traslado para el siguiente peŕıodo) e invertir en capital futuro al precio en t(PtKt+1). Igualando se llega a PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 La segunda restricción es particular en modelos de ”cash in advance”. Lo anterior se debe a que si Mt ≥ PtCt nos indica que necesito tener dinero para poder consumir. 3 El que mi consumo sea menor igual a mi dinero hace que yo no pueda consumir todo lo que quiera libremente, sino que impone la restricción de tener el dinero para poder comprar (se puede pensar como cuando uno está en un campo sin cajeros, uno ajusta su demanda de dinero para tener cash a la hora de comprar puesto que es la única forma de poder comprar). (b) Obtenga las CPO para el problema de optimización. Para responder esto es necesario tener claro el problema de optimización, en particular el lagrangeano del problema. Básicamente se maximiza la función de utilidad intertempo- ral desde hoy t0 ( ∑∞ t=0 β tU(Ct)) con el único cuidado que enfrento para cada peŕıodo un set de restricciones anteriormente discutidas con el respectivo multiplicador de lagrange. Aśı, max Ct,Ct+1,Mt+1,Kt+1 {β0U(C0)+λ0[P0F (K0, L)+P0(1−δ)K0+M0+X0−P0C0−M0+1−P0K0+1]+µ0[M0−P0C0]}+ {β1U(C1)+λ1[P1F (K1, L)+P0(1−δ)K1+M1+X1−P1C1−M1+1−P1K1+1]+µ1[M1−P1C1]}+ ... +{βnU(Cn)+λn[PnF (Kn, L)+Pn(1−δ)Kn+Mn+Xn−PnCn−Mn+1−PnKn+1]+µn[Mn−PnCn]} ... Usando sumatorias queda max Ct,Ct+1,Mt+1,Kt+1 L = ∞∑ t=0 { βtU(Ct)+λt [ PtF (Kt, L)+Pt(1−δ)Kt+Mt+Xt−PtCt−Mt+1−PtKt+1 ] +µt [ Mt−PtCt ]} Ahora, las CPO se encuentran derivando e igualando a cero con respecto a Ct, Ct+1,Mt+1,Kt+1 (tomamos un peŕıodo t) asi tenemos [Ct] β tU ′(Ct) = (λt + µt)Pt (1) [Ct+1] β t+1U ′(Ct+1) = (λt+1 + µt+1)Pt+1 (2) [Mt+1] λt+1 + µt+1 = λt (3) [Kt+1] λt+1Pt+1[F ′(Kt+1, L) + 1− δ] = λtPt (4) *El único cuidado está en las derivadas con respecto a Mt+1,Kt+1 ya que están presentes en las restricciones de dos peŕıodos (c) Muestre que : Xt = Mt+1 −Mt U ′(Ct) (1 + it) = β(1 + rt+1) U ′(Ct+1) 1 + it+1 Mt Pt = Ct Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt − Ct Esto es básicamente jugar con las CPO y trabajo algebráico. Tenemos 4 • MtPt = Ct Esta es la más fácil de demostrar, ya que la función de utilidad satisface ciertas propiedades de concavidad Uc > 0, Ucc < 0 que llevan a que las restricciones sean cumplidas sin holgura. Luego, la segunda restricción queda Mt = PtCt ⇔ Mt Pt = Ct • U ′(Ct) (1 + it) = β(1 + rt+1) U ′(Ct+1) 1 + it+1 Para demostrar esto hay que tener presente tres igualdades: i)πt+1 = Pt+1 Pt − 1 (que es la tasa de variación de cualquier variable). ii)F ′(Kt+1, L) = rt+1+δ (inversión esta en el punto en que el ingreso marginal(F ′(Kt+1, L)) iguala el costo marginal(rt+1 + δ)). iii)(1 + πt)(1 + rt) = (1 + it) (Ecuación de Fisher). Luego, es básicamente: 1.Dividir la CPO (1) y (2) U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( (λt + µt)Pt (λt+1 + µt+1)Pt+1 ) · β 2.Usar la CPO 4 , i),ii)y iii) Usamos F ′(Kt+1, L) = rt+1 + δ y remplazamos en la CPO 4. Aśı, λt+1Pt+1[F ′(Kt+1, L) + 1− δ] = λtPt λt+1Pt+1[rt+1 + δ + 1− δ] = λtPt λt+1Pt+1[1 + rt+1] = λtPt( Pt+1 Pt ) · (1 + rt+1) = λt λt+1 Usando πt+1 = Pt+1 Pt − 1 y (1 + πt)(1 + rt) = (1 + it) (1 + πt+1) · (1 + rt+1) = λt λt+1 (1 + it+1) = λt λt+1 Retrasando un peŕıodo (se usa después) (1 + it) = λt−1 λt 3.Usar CPO 3 con el paso 2 La CPO 3 señala λt+1 + µt+1 = λt 5 Retrasando un peŕıodo λt + µt = λt−1 Dividiendo λt + µt λt+1 + µt+1 = λt−1 λt En el paso 2 se llegó a que (1 + it) = λt−1 λt , luego λt + µt λt+1 + µt+1 = (1 + it) 4.Usar paso1 con paso 3 , i) y iii) Del paso 1 tenemos U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( (λt + µt)Pt (λt+1 + µt+1)Pt+1 ) · β Incorporando el paso 3 nos queda U ′(Ct) U ′(Ct+1) = (1 + it) ( Pt Pt+1 ) · β Luego usando i) y iii) ( Pt Pt+1 ) = 1 1 + πt+1 = 1 + rt+1 1 + it+1 Quedando U ′(Ct) (1 + it) = β(1 + rt+1) U ′(Ct+1) 1 + it+1 • Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt−Ct De macroeconomı́a I se sabe que la evolución del capital sigue K̇ = Kt+1 −Kt = sF (Kt, L)− δKt y que el consumo Ct = (1− s)F (Kt, L)⇔ sF (Kt, L) = F (Kt, L)− Ct Utilizando ambas llegamos a Kt+1 −Kt = F (Kt, L)− Ct − δKt Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt − Ct • Xt = Mt+1 −Mt Para demostrar esta expresión es necesario utilizar la anterior multilpicada por Pt PtKt+1 = PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt − PtCt Ahora, usando la restricción del problema inicial PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 6 PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt − PtCt +Mt +Xt = Mt+1 + PtKt+1 PtKt+1 +Mt +Xt = Mt+1 + PtKt+1 Mt +Xt = Mt+1 Xt = Mt+1 −Mt (d) ¿Cómo es la trayectoria de consumo? ¿De qué y cómo depende? Dado la concavidad de la función de utilidad se puede establecer que • u ′(ct) u′(ct+1) = β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) define la trayectoria del consumo. • tr = creciente si β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) > 1; constante si β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) = 1; decreciente si β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) < 1. . Luego, la trayectoria (tr) es una función de tr = tr(β, rt+1, it, it+1) ¿Cómo depende de cada parámetro? El factor que determina si es creciente, decreciente o constante es β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) . Aśı( se puede trabajar con elasticidades ), ∂tr ∂rt+1 = β > 0 ∂tr ∂β = (1 + rt+1) (1 + it) (1 + it+1) > 0 ∂tr ∂it+1 = −β(1 + rt+1) (1 + it) (1 + it+1)2 < 0 ∂tr ∂it = β(1 + rt+1) (1 (1 + it+1) > 0 La intuición es simple, para el caso de cambios positivos de rt+1 es trivial notar que dado que aumenta el retorno futuro el individuo va a querer postergar consumo de hoy (y aumentarlo mañana) para invertirlo y obtener este mayor . Para el caso de it que refleja el precio relativo del dinero hoy, en donde aumentos de este aumentan el ”costo de oportunidad del dinero” incentivando al individuo a trasladar consumo de hoy hacia mañana para obtener esa tasa. Para el caso de it+1 que refleja el precio relativo del dinero mañana, en donde aumentos de este aumentan el ”costo de oportunidad del dinero mañana”, es decir hace más caro tener el dinero mañan, incentivando al individuo a trasladar consumo de mañana hacia hoy. Para el caso de β que refleja la importancia relativa de hoy y mañana, en donde aumentos de este aumentan la importancia relativa de mañana incentivando al individuo a trasladar consumo de hoy hacia mañana( en los extremos si β = 0, es decir no importa el futuro, el individuo consume todo hoy , o si β → ∞ , es decir me importa mucho el futuro, consumo todo mañana). 7 4. Dinero en la función de utilidad Suponga se cumplen todos los supuesto del modelo de ”Dinero en la función de utilidad” (a) Plantee el modelo explicando el por qué de las restricciones. El problema de optimización del modelo es max Ct,mt ∞∑ t=0 βtU(Ct,mt) con mt = Mt Pt s.t PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 La única (ya que la otra era particular en el modelo de cash in advance) restricción es básicamente la misma que se usaba en los modelos de consumo en Macroeconomı́a I, es decir del tipo ”lo que tengo que hacer con que lo voy a hacer”. ¿Qué es lo que tengo? Tengo una función de producción que puede ser valorada a precio P PtF (Kt, L) , un capital que se deprecia valorizado a precios corrientes Pt(1 − δ)Kt, tengo dinero (Mt)y transferencias (Xt). ¿Qué es lo que quiero hacer? Al igual que en cualquier modelo de consumo, el individuo quiere consumir al precio en t (PtCt);ahorrar para el siguiente peŕıodo (Mt+1, el dinero que traslado para el siguiente peŕıodo) e invertir en capital futuro al precio en t(PtKt+1). Igualando(”lo que tengo que hacer con que lo voy a hacer”)se llega a PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 (b) Obtenga las CPO para el problema de optimización. Para responder esto es necesario tener claro el problema de optimización, en particular el lagrangeano del problema. Básicamente se maximiza la función de utilidad intertem- poral desde hoy t0 ( ∑∞ t=0 β tU(Ct,mt)) con dos cuidados: enfrento para cada peŕıodo una restricción anteriormente discutidas con el respectivo multiplicador de lagrange ; y que al derivar con respecto a M tengo que derivar la función de utilidad sin olvidar la regla de la cadena ∂U(mt) ∂Mt = ∂U(mt) ∂mt ∂mt ∂Mt Con ∂mt ∂Mt = ∂MtPt ∂Mt = 1 Pt Aśı, max Ct,Ct+1,Mt+1,Kt+1 {β0U(C0,m0)+λ0[P0F (K0, L)+P0(1−δ)K0+M0+X0−P0C0−M0+1−P0K0+1]}+ {β1U(C1,m1)+λ1[P1F (K1, L)+P0(1−δ)K1+M1+X1−P1C1−M1+1−P1K1+1]}+ ... +{βnU(Cn,mn)+λn[PnF (Kn, L)+Pn(1−δ)Kn+Mn+Xn−PnCn−Mn+1−PnKn+1]} ... Usando sumatorias queda max Ct,Ct+1,Mt+1,Kt+1 L = ∞∑ t=0 { βtU(Ct,mt)+λt [ PtF (Kt, L)+Pt(1−δ)Kt+Mt+Xt−PtCt−Mt+1−PtKt+1 ]} 8 Ahora, las CPO se encuentran derivando e igualando a cero con respecto a Ct, Ct+1,Mt+1,Kt+1 (tomamos un peŕıodo t de referencia).Aśı, [Ct] β tU ′(Ct) = λtPt (5) [Ct+1] β t+1U ′(Ct+1) = λt+1Pt+1 (6) [Mt+1] βt+1U ′(mt+1) Pt+1 + λt+1 = λt (7) [Kt+1] λt+1Pt+1 ( F ′(Kt+1, L) + 1− δ ) = λtPt (8) (c) Muestre que : Xt = Mt+1 −Mt U ′(Ct) U ′(Ct+1) = β(1 + rt+1) U ′(mt) = itU ′(Ct) Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt − Ct Esto es trabajo algebráico con las CPO, aśı • U ′(Ct) U ′(Ct+1) = β(1 + rt+1) Para demostrar esto hay que tener presente tres igualdades: i)πt+1 = Pt+1 Pt − 1 (que es la tasa de variación de cualquier variable). ii)F ′(Kt+1, L) = rt+1+δ (inversión esta en el punto en que el ingreso marginal(F ′(Kt+1, L)) iguala el costo marginal(rt+1 + δ)). iii)(1 + πt)(1 + rt) = (1 + it) (Ecuación de Fisher). Luego, es básicamente: 1.Dividir la CPO (5) y (6) U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( λtPt lambdat+1Pt+1 ) · β 2.Usar la CPO 4 , i),ii)y iii) Usamos F ′(Kt+1, L) = rt+1 + δ y remplazamos en la CPO 4. Aśı, λt+1Pt+1[F ′(Kt+1, L) + 1− δ] = λtPt λt+1Pt+1[rt+1 + δ + 1− δ] = λtPt λt+1Pt+1[1 + rt+1] = λtPt( Pt+1 Pt ) · (1 + rt+1) = λt λt+1 Usando πt+1 = Pt+1 Pt − 1 y (1 + πt)(1 + rt) = (1 + it) (1 + πt+1) · (1 + rt+1) = λt λt+1 9 (1 + it+1) = λt λt+1 3. Usar paso 1 y 2. Usando i) obtenemos que (1 + πt+1) = Pt+1 Pt ⇔ Pt Pt+1 = frac11 + πt+1 Usando en el paso 1 U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( λtPt lambdat+1Pt+1 ) · β = ( λt λt+1 )( 1 1 + πt+1 ) β Luego, usando el paso 3 (1 + it+1) = λt λt+1 U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( λt λt+1 )( 1 1 + πt+1 ) β = ( 1 + it+1 1 + πt+1 ) β Con la ecuación de Fisher queda ( ( 1+it+1 1+πt+1 ) = 1 + rt+1) U ′(Ct) U ′(Ct+1) = ( 1 + it+1 1 + πt+1 ) β = (1 + rt+1)β • Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt − Ct De macroeconomı́a I se sabe que la evolución del capital sigue K̇ = Kt+1 −Kt = sF (Kt, L)− δKt y que el consumo Ct = (1− s)F (Kt, L)⇔ sF (Kt, L) = F (Kt, L)− Ct Utilizando ambas llegamos a Kt+1 −Kt = F (Kt, L)− Ct − δKt Kt+1 = F (Kt, L) + (1− δ)Kt − Ct • Xt = Mt+1 −Mt Para demostrar esta expresión es necesario utilizar la anterior multilpicada por Pt PtKt+1 = PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt − PtCt Ahora, usando la restricción del problema inicial PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt +Mt +Xt = PtCt +Mt+1 + PtKt+1 PtF (Kt, L) + Pt(1− δ)Kt − PtCt +Mt +Xt = Mt+1 + PtKt+1 PtKt+1 +Mt +Xt = Mt+1 + PtKt+1 Mt +Xt = Mt+1 Xt = Mt+1 −Mt 10 • U ′(mt) = itU ′(Ct) Para resolver esto es necesario: 1.Dividir CPO 7 por 6. βt+1U ′(mt+1) Pt+1 + λt+1 βt+1U ′(Ct+1) = λt λt+1Pt+1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1)Pt+1 + λt+1 βt+1U ′(Ct+1) = λt λt+1Pt+1 2.Usar CPO 6 en paso 1. De la CPO 6 se obtiene λt+1 βt+1U ′(Ct+1) = 1 Pt+1 Luego, en paso 1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1)Pt+1 + 1 Pt+1 = λt λt+1Pt+1 3.Usar CPO 8 en paso 2. La CPO 8 puede ser escrita como λt+1Pt+1 ( F ′(Kt+1, L) + 1− δ ) = λtPt λt+1Pt+1 ( 1 + rt+1 ) = λtPt λt λt+1Pt+1 = 1 + rt+1 Pt Luego, en el paso 2 U ′(mt+1) U ′(Ct+1)Pt+1 + 1 Pt+1 =λt λt+1Pt+1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1)Pt+1 + 1 Pt+1 = (1 + rt+1) Pt Multiplicando por Pt+1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1) + 1 = ( Pt+1 Pt ) (1 + rt+1) Usando la ecuación de Fisher ( Pt+1 Pt ) (1 + rt+1) = 1 + it+1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1) + 1 = 1 +i t+ 1 U ′(mt+1) U ′(Ct+1) = it+1 (d) ¿Cómo es la trayectoria de consumo? ¿De qué y cómo depende? Dado la concavidad de la función de utilidad se puede establecer que 11 • u ′(ct) u′(ct+1) = β(1 + rt+1) (1+it) (1+it+1) define la trayectoria del consumo. • tr = creciente si β(1 + rt+1) > 1;constante si β(1 + rt+1) = 1; decreciente si β(1 + rt+1) < 1. . Luego, la trayectoria se torna más creciente a mayor rt+1 y a mayor β (Se puede ver derivando con respecto a cada parámetro). 12
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