Ayudantía Sec 7 (Pauta)

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Sección Nr.7
EAE 221B
Marzo , 2014
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante : Mart́ın Carrasco N.
2.Ejercicios
1. Modelo monetario del tipo de cambio versión estática.
Dada una situación de equilibrio en el mercado monetario doméstico y extranjero
mt − pt = −ηit + φyt
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t
Y suponiendo que se cumple la PPC
Pt = EtP
∗
t
Muestre que la tasa de variación del tipo de cambio nominal está definida por el
cambio de oferta y cambio de demanda relativo real por dinero
et−et−1 = (pt−pt−1)−(p∗t−p∗t−1) =
[
(mt−mt−1)−(m∗t−m∗t−1)
]
+η
[
(it−it−1)−(i∗t−i∗t−1)
]
−φ
[
(yt−yt−1)−(y∗t−y∗t−1)
]
Argumente por qué la expresión et − et−1 corresponde a la tasa de variación del
tipo de cambio nominal. Usando la PPC Pt = EtP
∗
t en su versión logaritmica
log(Pt) = log(EtP
∗
t )⇔ pt = et + p∗t
De la expresión anterior despejamos el tipo de cambio y nos queda
et = pt − p∗t
Ahora podemos usar el equilibrio monetario ,tanto doméstico omo externo, en la expresión
anterior. Aśı, del equilibrio monetario podemos obtener
mt − pt = −ηit + φyt ⇔ pt = mt + ηit − φyt
m∗t − p∗t = −ηi∗t + φy∗t ⇔ p∗t = m∗t + ηi∗t − φy∗t
Luego, usando los resultando anteriores tenemos que
et = pt − p∗t = (mt + ηit − φyt)− (m∗t + ηi∗t − φy∗t )
1
et = (mt −m∗t ) + η(it − i∗t )− φ(yt − y∗t )
Luego, para obtener la expresión et − et−1 retrocedemos un peŕıodo et y restamos. Aśı,
et−1 = (mt−1 −m∗t−1) + η(it−1 − i∗t−1)− φ(yt−1 − y∗t−1)
Restando y factorizando llegamos a
et−et−1 = (pt−pt−1)−(p∗t−p∗t−1) =
[
(mt−mt−1)−(m∗t−m∗t−1)
]
+η
[
(it−it−1)−(i∗t−i∗t−1)
]
−φ
[
(yt−yt−1)−(y∗t−y∗t−1)
]
¿Por qué decimos que la variación del tipo de cambio es et − et−1? Para esto es necesario
tener claro que estamos trabajando en logaritmos. Aśı,
et − et−1 = log(Et)− log(Et−1) = log
(
Et
Et−1
)
Y al igual que la inflación , o cualquier tasa de variación , la tasa de variación del tipo de
cambio (o cualquier otra variable) se define como
ω =
Et
Et−1
− 1⇔ 1 + ω = Et
Et−1
Usando lo anterior, podemos señalar que
et − et−1 = log
(
Et
Et−1
)
= log(1 + ω)
Y como log(1 + x) ' x
et − et−1 = log
(
Et
Et−1
)
= log(1 + ω) ' ω
2. Modelo monetario del tipo de cambio versión dinámica.
Suponga la versión dinámica del modelo monetario del tipo de cambio , con-
siderando la condición de arbitraje no cubierto de tasas
(1 + it) = (1 + i
∗
t )Et
(
Et+1
Et
)
Muestre que se cumple
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms + ηi
∗
s − φys − p∗s
]
Aplicando logaritmo a (1+ it) = (1+ i
∗
t )Et
(
Et+1
Et
)
,olvidándonos de la desigualdad de Jensen
(Esto es, podemos descomponer log(Et+1Et ) = log(Et+1) − log(Et) sin problema) y usando
log(1 + x) ' xnos queda
2
log(1 + it) = log
(
(1 + i∗t )Et
(
Et+1
Et
))
⇒ it = i∗t + Et(et+1)− et
Usando lo anterior en el equilibrio monetario doméstico
mt − pt = φyt − ηit = φyt − η(i∗t + Et(et+1 − et))
Agregando la PPC pt − p∗t = et ⇔ −pt = −p∗t − et
mt − p∗t − et = φyt − η(i∗t + Et(et+1)− et
Reordenando
mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t − et = −η(Et(et+1)− et)
[mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t ]− et = −η(Et(et+1)− et)
Si hacemos mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t = ωt
ωt − et = −η(Et(et+1)− et)
et =
ωt + ηEt(et+1)
1 + η
=
ωt
1 + η
+ η
Et(et+1)
1 + η
Luego, adelantando un peŕıodo y tomando esperanza
Et(et+1) =
Et(ωt+1)
1 + η
+ η
Et(et+2)
1 + η
Y reemplazando
et =
ωt
1 + η
+ η
Et(ωt+1)
1+η + η
Et(et+2)
1+η
1 + η
et =
ωt
1 + η
+ η
Et(ωt+1)
1 + η
+ η2
Et(et+2)
(1 + η)2
Y aśı sucesivamente (al igual que en el modelo de Cagan para nivel de precios: ver sección
5)
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ωs
]
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms + ηi
∗
s − φys − p∗s
]
El resultado anterior, al igual que en el modelo de Cagan para el nivel de precios, suponiendo
que
lim
T→∞
ηT
Et(es+T )
(1 + η)T
= 0
3
3. Modelo monetario del tipo de cambio versión dinámica.
Suponga
−φys + ηi∗s − p∗s = 0 ∀s
Además, asuma que el crecimiento de la oferta monetaria doméstica sigue un
proceso AR(1)
mt −mt−1 = ρ(mt−1 −mt−2) + εt con εt ∼ N(0, σε)
Muestre que
et = mt +
ηρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1)
Usando el resultado encontrado en el ejercicio anterior, y agregando
−φys + ηi∗s − p∗s = 0 ∀s
tenemos que
et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms
]
Luego, adelantando un peŕıodo y aplicando esperanza
Et(et+1) =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1
]
Luego, usamos los resultados anteriores (Esto para usar el proceso AR(1))
Et(et+1)− et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1
]
− 1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms
]
Et(et+1)− et =
1
1 + η
∞∑
s=t
(
η
1 + η
)s−t
Et
[
ms+1 −ms
]
Usando ahora el proceso AR(1)
Et(mt+1)−mt = ρ(mt −mt−1)
Et(mt+2 −mt+1) = ρ2(mt −mt−1)
...
Et(mt+s −mt+s−1) = ρs(mt −mt−1)
Las aplicamos en la sumatoria
Et(et+1)− et =
1
1 + η
{
ρ(mt −mt−1) + ρ2
(
η
1 + η
)
(mt −mt−1) + ρ3
(
η
1 + η
)2
(mt −mt−1) + ...
}
=
1
1 + η
ρ(mt −mt−1)
∞∑
s=t
(
ηρ
1 + η
)s−t
4
Nuevamente, recordando las series geométricas asumiendo que
(
ηρ
1+η
)
< 1 , la serie infinita
converge al valor:
∞∑
s=t
(
ηρ
1 + η
)s−t
=
∞∑
s=0
(
ηρ
1 + η
)s
=
1
1− ηρ1+η
Reemplazando en la ecuación anterior
Et(et+1)− et =
1
1 + η
· ρ · 1
1− ηρ1+η
(mt −mt−1)
que equivale a:
Et(et+1)− et =
ρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1) (1)
Ahora, recordando que
[mt + ηi
∗
t − φyt − p∗t ]− et = −η(Et(et+1)− et)
Y con ηi∗t − φyt − p∗t = 0 y el resultando anterior
mt − et = −η(Et(et+1)− et)
et = mt +
ηρ
1 + η − ηρ
(mt −mt−1)
5