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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios VIII
Macroeconomı́a II - EAE220B
Soluciones ejercicios 1 a 9
Ejercicio 1
1. Bajo discreción, primero la gente forma sus expectativas de inflación y luego el banco central
elige la tasa de inflación. Aśı, comenzamos computando primero la elección del banco central
para cada nivel de inflación esperada. Sustituyendo la curva de Phillips en la función de pérdida,
tenemos que para un πe dado, el banco central elige minimizar:
L = π2 + γ(−η(π − πe) + κ)2 (1)
La condición de primer orden es:
2π − 2γη(−η(π − πe) + κ) = 0
Resolviendo para π obtenemos:
π =
γη2
1 + γη2
πe +
γηκ
1 + γη2
Esta es la función de reacción del banco central. En equilibrio, debe suceder que π = πe.
Reemplazando en la función de reacción nos queda entonces:
π =
γη2
1 + γη2
π +
γηκ
1 + γη2
De donde resolvemos para π, obteniendo la inflación de equilibrio:
π = γηκ
2. Bajo compromiso completo (full commitment), el banco central anuncia π antes que los agentes
formen sus expectativas y no puede cambiar después. Dado que los agentes creen el anuncio,
π = πe. aśı, (1) nos queda:
L = π2 + γκ2 (2)
En este caso, la inflación óptima es π = 0.
3. Para obtener la pérdida del banco central bajo discreción, reemplazamos π = πe = γηκ en (1):
Ldiscreción = (γηκ)2 + γκ2
Para obtener la pérdida del banco central bajo commitment, reemplazamos π = 0 en (2):
Lcommitment = 02 + γκ2 = γκ2
De esta forma, vemos que las pérdidas son mayores bajo discreción.
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Ejercicio 2
1. Si el banco central decide cooperar para siempre obtiene:
W cooperar =
∞∑
t=τ
βt−τV commitment =
V commitment
1− β
Donde V commitment denota la pérdida instantánea si el banco central se compromete a inflación
cero. Para encontrar ésta como función de los parámetros, usamos el hecho de que si el banco
central se compromete a inflación cero, los agentes elegirán πe = 0, y por lo tanto por PC tenemos
y = ȳ. Sustituyendo ésto en Vt:
V commitment = λκ2
2. Si el banco central se desv́ıa en τ , minimiza:
π2τ + λ
θ
πτ − π
e
τ︷︸︸︷
0
+ κ

2
Aśı, la FOC es:
2πτ + 2λ [θπτ + κ]
2
θ = 0
Que implica:
πτ =
λθκ
1 + λθ2
Por lo tanto, el pago instantáneo en la fecha τ (la fecha de desv́ıo) es:
V
desv́ıo=
(
λθk
1+λθ2
)2
+λ
[
θ λθk
1+λθ2
−k
]2
=
(
λθk
1 + λθ2
)2
+ λ
[
−k 1
1 + λθ2
]2
=
(λθk)
2
+ λk2
(1 + λθ2)
2
= λk2
1 + λθ2
(1 + λθ2)
2
=
λk2
1 + λθ2
Luego del desv́ıo (fechas τ + 1, τ + 2...) los agentes elegirán una tasa de inflación consistente con
discreción. Dado que el ejercicio ya dice que la tasa de inflación en equilibrio bajo discreción
es λθκ no necesitamos mostrarlo nuevamente. Además, sabemos que πe = π en equilibrio bajo
discreción, y por tanto π = πe = λθκ, lo que implica que la pérdida del banco central luego de
la fecha τ es:
V discreción = (λθκ)
2
+ λk2
El pago descontado del desv́ıo es entonces:
W desv́ıo = V desv́ıo +
βV discreción
1− β
3. Queremos chequear para qué parámetros :
W desv́ıo < W cooperar
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Lo que nos queda:
V desv́ıo +
βV discrecion
1− β
<
V commitment
1− β
Restando 11−βV
discreción de ambos lados:
V devio − V discrecion < 1
1− β
(
V commitment − V discrecion
)
Multiplicando ambos lados por −1 y usando el hecho que V discrecion > V desvio (y abreviando
las palabras):
V disc − V dev > 1
1− β
(
V disc − V com
)
1− β > V
disc − V com
V disc − V dev
β < 1− V
disc − V com
V disc − V dev
=
V disc − V dev −
(
V disc − V com
)
V disc − V dev
β <
V com − V dev
V disc − V dev
∈ (0, 1)
(Esta última expresión está entre cero y uno daod que V dev < V com < V disc). Recuerde
que V discretion = (λθκ)
2
+ λk2, V commitment = λκ2 y V desvio = λk
2
1+λθ2 . Entonces, si β es
bajo desviarse es óptimo y no es óptimo desviarse cuando β es alto. esto implica que si β es
suficientemente alto, cooperar es un equilibrio. Note que las expectativas asumidas son correctas
en el equilibrio de cooperación (que sólo existe para β) suficientemente alto.
Ejercicio 3
Suponga que el banco central no se desv́ıa de su estrategia. El payoff será entonces:
WCooperar =
∞∑
t=τ
βt−τun =
un
1− β
Si se desv́ıa, eligirá πτ para minimizar Lτ . Sustituyendo la curva de Phillips en la función de
pérdida y usando πe = 0:
Lτ = un − ηπτ + γπ2τ
La condición de primer orden es:
−η + 2γπτ = 0 =⇒ πτ =
η
2γ
Que determina una función de pérdida Lτ = un − η
2
2γ +
η2
4γ = un −
η2
4γ . Para los próximos k
periodos entonces, elegirá la inflación de discreción πτ =
η
2γ , pero la gente elegirá π
e = η2γ , lo que
determinará una pérdida de un +
η2
4γ . Luego de la fecha τ + k, obtiene la pérdida de cooperación
nuevaente. Aśı, el pago del desv́ıo es:
WDesvio =
(
un −
η2
4γ
)
+
τ+k∑
t=τ+1
βt−τ
(
un +
η2
4γ
)
+ βk+1V Cooperar
Ahora, podemos escribir:
τ+k∑
t=τ+1
βt−τ
(
un +
η2
4γ
)
= β
(
un +
η2
4γ
)
+ β2
(
un +
η2
4γ
)
+ · · ·+ βk
(
un +
η2
4γ
)
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=
β
1− β
(
un +
η2
4γ
)
− β
k+1
1− β
(
un +
η2
4γ
)
=
β − βk+1
1− β
(
un +
η2
4γ
)
De forma que el pago por desviarse k peŕıodos es:
WDesvio =
(
un −
η2
4γ
)
+
β − βk+1
1− β
(
un +
η2
4γ
)
+ βk+1

WCooperar︷ ︸︸ ︷
un
1− β

=
(
un −
η2
4γ
)
+ un
β
1− β
+
β − βk+1
1− β
η2
4γ
=
un
1− β
− η
2
4γ
+
β − βk+1
1− β
η2
4γ
Nota: por supuesto, estamos considerando el mejor desv́ıo quepodemos hacer (si nos desviamos
k + 1 peŕıodos). Si no es óptimo desviarse k + 1 peŕıodos, no será óptimo desviarse aún más
tiempo. (si no es óptimo desviarse en τ no será óptimo desviarse en {τ + k, τ + k + 1, ...} dado
que el banco enfrentará siempre exactamente el mismo problema).
El desv́ıo no es rentable cuando WDesvio > WCooperar:
un
1− β
− η
2
4γ
+
β − βk+1
1− β
η2
4γ
>
un
1− β
− η
2
4γ
+
β − βk+1
1− β
η2
4γ
> 0
2β − βk+1 > 1
Aśı, si la condición anterior se satisface, hay un equilibrio con cooperación. Note que a medida que
k aumenta, esta condición es más fácilmente satisfecha. Intuitivamente, si los agentes castigan
al banco central por muchos peŕıodos, es más fácil obtener cooperación.
Ejercicio 4
1. Primero, debemos encontrar la función de reacción del banco central (o sea, la inflación que
elegiŕıa dadas πe). Sustituyendo la curva de Phillips en la función de pérdida nos queda:
un − η (π − πe) + γπ2 (3)
El banco central elegirá π para minimizar esa expresión. Para alcanzar el mı́nimo alcanzará con
tomar CPO:
−η + 2γπ = 0
Lo que implica que la inflación de equilibrio (πdisc) es:
πdisc =
η
2γ
Anticipando que el banco central va a elegir este nivel de inflación, los agentes fijan sus expecta-
tivas πe iguales a πdisc. Reemplazando π y πe por πdisc = η/ (2γ) en (3) obtenemos la pérdida
del baco central por discreción Ldisc:
Ldisc = un + γ
(
η
2γ
)2
= un +
η2
4γ
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2. Bajo compromiso, el banco central elige la inflación para minimizar (3) sujeto a π = πe. Por
tanto, minimiza:
un + γπ
2
Claramente, la inflación elegida es πcom = 0 (y los agentes fijan πe = 0). La pérdida es:
Lcom = un.
3. Si los agentes fijaron sus expectativas iguales a cero, el banco central minimiza:
un − ηπ + γπ2 (4)
La CPO es:
−η + 2γπ = 0
Que implica que elige una inflación igual a
πdev =
η
2γ
. Reemplazando π por πdev en (4) obtenemos la pérdida:
Ldev = un − η
η
2γ
+ γ
(
η
2γ
)2
= un −
η2
2γ
+
η2
4γ
= un −
η2
4γ
4. Decimos que es inconsistente temporalmente porque Ldev < Lcom. En otras palabras, luego de
prometer inflación cero, el banco central tiene incentivos para desviarse si tiene la chance.
5. Si. Como se puede ver en Ldisc = un +
η2
4γ , es decreciente en γ. Delegar a esta institución dejará
un payoff de:
un +
η2
4αγ
< un +
η2
4γ
= Ldisc
6. Si el banco central coopera en todas las fechas futuras, obtiene:V cooperar =
Lcom
1− β
Si se desv́ıa en la fecha cero, entonces obtiene Ldev en esa fecha pero luego obtiene Ldisc en todos
los peŕıodos subsecuentes. De esa forma, la pérdida por desviarse es:
V dev = Ldev + β
Ldisc
1− β
La condición que garantiza que va a preferir cooperar es V cooperar < V desvio (si ponemos una
desigualdad no estricta está correcto) lo que nos queda:
Lcom
1− β
< Ldev + β
Ldisc
1− β
Podemos reexpresarlo como:
Lcom − Ldev
1− β
<
β
1− β
(
Ldisc − Ldev
)
Lcom − Ldev
Ldisc − Ldev
< β
Aśı, βdebe ser suficientemente grande para que el banco central se disponga a cooperar. Intuición:
si el banco central es muy paciente, no estará dispuesto a perder ganancias de largo plazo por
alguna ganancia de corto plazo. Aśı, es fácil cooperar con un banco central paciente.
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7. Aumentando el plazo del banco central, el horizonte de tiempo se hace mayor. Aśı, debeŕıamos
esperar que se volviera más paciente lo que en nuestro modelo simple se captura mediante un
aumento de β. Como mostramos en la pregunta anterior, un mayor β ayuda a la cooperación, y
con ello puede reducir el problema de inconsistencia temporal.
Ejercicio 5
Antes de comenzar, revisemos por qué hace sentido interpretar un aumento en el precio como una cáıda
del producto potencial Yn. Pensemos en el producto potencial como el nivel de producto consistente
con el equilibrio de largo plazo en mercados de trabajo con rigidez de salarios perfecta. En el caso de
los precios del combustible, el costo marginal de las firmas aumenta, desplazando la curva de demanda
de trabajo a la izquierda y reduciendo el empleo de equilibrio.
Dado que la PC (curva de Phillips) viene dada por π − πe = θ (Y − Yn), una cáıda en Yn sube la PC,
como se ilustra debajo para expectativas adaptativas y ancladas. A′ representa la respuesta de corto
plazo y A′′ la respuesta de mediano plazo, luego que el banco central a reaccionado completamente.
r
Y
IS
r
LM ′A
′′
π
Y
π
PC ′
A
A′
PC
LMA and A
′
A′′
(a) Expectativas ancladas
r
Y
IS
r
LM ′A
′′
∆π
Y
0
PC ′
A
A′
PC
LMA and A
′
A′′
(b) Expectativas adaptativas
Figure 1: Ejercicio 5
La inflación aumenta en ambos casos luego del shock, y luego cuando el banco central ajusta la tasa
de interés esta cae en el panel izquierda y permanece constante en el panel derecho. El producto se
contrae en ambos casos.
Time
Time
π
Y
π
Yn
Y ′n
Adaptative expectations
Anchored expectations
Same curve for both
Figure 2: Ejercicio 5
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Ejercicio 6
1. Como se muestra en el gráfico debajo, luego que la curva IS se desplaza a la izquierda, el producto
cae.
r
Y
ISIS′
r LMAA
′
Figure 3: Ejercicio 6.1
2. La figura debajo muestra el equilibrio de mediano plazo antes del recorte del gasto del gobierno
(punto A) y luego del recorte (punto A′′), usando el modelo IS-LM-PC. Como se puede ver, el
producto retorna al nivel potencial, de forma que no hay efecto en el producto en el mediano
plazo.
r
Y
π
Y
π
ISIS′
r LM
PC
AA′
A and A′′
A′
LM ′′r′′
π′
A′′
Figure 4: Ejercicio 6.2
3. Como se muestra en el gráfico arriba, el equilibrio de mediano plazo con menor gasto del gobierno
(punto A′′) alcanza una tasa de interés real menor que el equilibrio de mediano plazo con mayor
gasto (punto A). Aśı, IS-LM-PC predice que el equilibrio de mediano plazo con menor gatso del
gobierno tendrá mayor inversión, dado que la tasa de interés real es menor.
Ejercicio 7
1. Este es el caso clásico que genera espirales deflacionarios. La gráfica debajo muestra el punto
inicial de la economı́a A. Dado que le producto inicialmente está debajo del nivel potencial,
la inflación está retrocediendo, eventualmente forzando al banco central a aumentar la tasa de
interés real debido a la cota cero (ZLB) y el producto decreciente (punto A′0). En caso de que
la inflación continúe reduciéndose, la mı́nima tasa real de interés posible continúa aumentando,
forzando la tasa de interés real arriba y el producto abajo como se ilustra en A′′. Este proceso
continúa. (Para guardar espacio, no se graficó la LM debajo). Note que el banco central no puede
hacer que la inflación deje de decrecer. Esto requeriŕıa r < rv < 0 lo cual nunca seŕıa posible
debido a la cota inferior cero (ZLB) y dado que la inflación comienza en cero y solo decrece.
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2. Śı. Si el gobierno aumenta el gasto en G o reduce los impuestos T lo suficiente, puede hacer que
la tasa natural real sea positiva, trayendo al producto a su nivel potencial ya en el corto plazo.
El gráfico debajo ilustra este argumento.
r
Y
∆π
Y
0
0 LM
PC
B
rn B
Yn
A
IS ′(for G > G′or T < T ′)
IS(for G and T )
A′
Figure 5: Ejercicio 7.2
Ejercicio 8
1. Lo primero que tenemos que entender es cómo esto va a afectar la curva IS. El equilibrio en el
mercado de bienes implica:
Y = c0 + c1(Y − T ) + b0 + (1− λ) [b1Y − b2(r + x)] + λ [b1Y − b2(1− s)(r + x)] +G
Y =
1
1− c1 − b1
[c0 − c1T + b0 − b2 (1− λs) (r + x) +G]
r =
1
b2 (1− λs)
[−(1− c1 − b1)Y + c0 − c1T + b0 +G]− x
Note que:
dr
dY
= −1− c1 − b1
b2 (1− λs)
Aśı, a medida que λ aumenta, la curva IS se vuelve más inclinada y también se desplaza hacia
arriba.
Gráficamente, el equilibrio va del punto A a A′ en el corto plazo, y a A′′ en el mediano plazo.
La tasa de interés real es mayor a medida que aumenta λ.
2. La tasa de poĺıtica monetaria no cambia:
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r
Y
IS
IS′
LM
A
π
Y
π
PC
A and A′′
A′
A′′ LM ′
A′
Figure 6: Ejercicio 8.1
r
Y
ISλ=0ISλ>0
LMA
π
Y
π
PC
A and A′
Figure 7: Ejercicio 8.2
3. Usando r = 1b2(1−λs) [−(1− c1 − b1)Y + c0 − c1T + b0 +G]−x uno puede ver que cuando λ > 0,
el salto vertical de la curva IS es mayor, para un cambio dado en c0. El gráfico debajo muestra
el cambio en equilibrio:
r
Y
ISλ=0ISλ>0
LMA
π
Y
π
PC
A,B and C
IS ′λ=0
B
C
IS ′λ>0
Figure 8: Ejercicio 8.3
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Note que las tasas de interés son mayor en un punto C (equilibrio de mediano plazo luego del
shock cuando λ > 0), que en el punto B (el equilibrio de mediano plazo luego del shock cuando
λ = 0). La poĺıtica monetaria necesita reaccionar más fuertemente con λ > 0, aśı que hace
sentido decir que ésta perdió poder.
Ejercicio 9
1. En el diagrama debajo el punto A denota la fecha inicial, el punto A′ el equilibrio de corto plazo
luego del cambio G, y el punto A′′ el equilibrio de mediano plazo. En el corto plazo, el producto
cae, pero dado que en el mediano plazo el banco central reacciona reduciendo las tasas de interés,
el producto retorna al nivel potencial en el mediano plazo.
r
Y
Y
π − π
0
IS
IS ′
LM
LM ′′
PC
AA′
A′′
A′
A and A′′
Yn
Figure 9: Ejercicio 9.1
2. En el corto plazo, la inversión es menor, dado que el producto es menor y la tasa de interés real
es la misma. En el mediano plazo, la inversión es mayor, dado que el producto retrocede a su
nivel previo, pero las tasas de interés real son menores.
3. En ese caso, la reducción en el gasto del gobierno llevará a la economı́a a en una trampa de
deflación. El punto A ilustra el equilibrio inicial, y el punto A′ es el equilibrio de corto plazo
luego de la cáıda enG. Dado que enA′ tenemos ∆π < 0 en la curva PC, la inflación eventualmente
decrece una vez que los precios ajustan (causando deflación), lo que empuja las tasas de interés
reales hacia arriba debido a la cota mı́nima cero: i = r+ πe ≥ 0 implica r ≥ −πe. Esto es, dado
que πe cae debido a las expectativas adaptativas y la inflación decreciente, r comienza a subir
en el mediano plazo con el paso del tiempo (lo cual se representa en los puntos A′′ y A′′′).
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r
Y
Y
∆π
0
IS
IS ′
LM
PC
AA′
A′
A
Yn
LM ′′
LM ′′′
0
A′′
A′′′
A′′
A′′′
Figure 10: Ejercicio 9.3