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Ayudantía 3 sección 1

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Pontifica Universidad Católica de Chile 2019-02 
 
 
Ayudantía III 
Macroeconomía II –EAE220B 
Profesor: Javier Turen 
Ayudantes: Pablo de la Fuente, Jorge Jadue, Nicolás Rodriguez 
Ayudante Coordinador: Claudia Álvarez 
 
 
 
Ejercicio 1: (2.9 workbook) 
Considere una economía en donde hay un solo bien que puede ser usado como capital o 
consumo. El tiempo es discreto y está determinado por 𝑡 ∈ {−1,0,1,2,… }. Considere el 
siguiente problema de un hogar representativo: 
 
max
{./,0/,1/,2/}/34
∑ 𝛽7879: 𝑢(𝑐7) s/a 
 
𝑃7𝑐7 + 𝑃7𝑘7 + 𝐵7 + 𝑀7 = 𝑃7𝑓(𝑘7FG) + (1 + 𝑖7FG)𝐵7FG +𝑀7FG + (1 − 𝛿)𝑃7	𝑘7FG + 𝑇7, ∀	𝑡 ≥ 0 
 
𝜓𝑃7𝑐7 ≤ 𝑀7FG + 𝑇7, ∀	𝑡 ≥ 0 
 
𝑘FG = 𝑘P > 0, 𝐵FG = 𝐵P > 0,𝑀FG = 𝑀R > 0 
 
lim
7→8
(1/
V/
) = 0 , 
 
𝑘7, 𝑐7,𝑀7 ≥ 0, ∀	𝑡 ≥ 0 
 
 
La notación es estándar y es la misma usada en clases: 𝑢(𝑐) es la función de utilidad, 𝑓(𝑘) 
es la función de producción, 𝑃7 se denota como el precio del bien en el periodo t, 𝐵7 es la 
cantidad de bonos nominales que los hogares eligen mantener en el periodo t, 𝑀7 es la cantidad de 
dinero que se elige tener desde el periodo t hasta el periodo t+1, 𝑖7	es la tasa de interés nominal desde 
el periodo t hasta el periodo t+1, 𝑐7 es el consumo de los hogares en el periodo t, 𝑘7 es la cantidad de 
capital que los hogares mantienen desde el periodo t hasta el periodo t+1, 𝑇7 son las transferencias en 
efectivo recibidas en el periodo t. 𝛽 ∈ (0,1)	es el factor de descuento y 𝛿	 ∈ (0,1)		es la 
depreciación del capital. Definamos como 𝑏7 ≡ 𝐵7/𝑃7 , 𝑚7 ≡ 𝑀7/𝑃7, 𝜋7 ≡ (𝑃7 − 𝑃7FG)/𝑃7FG, 
𝜏7 ≡ 𝑇𝑡/𝑃𝑡,	y denotemos 𝑟7 a la tasa de interés real desde el periodo t hasta el periodo t+1. 
La restricción 𝜓𝑃7𝑐7 ≤ 𝑀7FG + 𝑇7 se interpreta como la restricción estándar del Modelo de 
Cash-in-Advance, excepto a que ahora solo una fracción 𝜓	 ∈ (0,1)		del consumo de los 
hogares es utilizando efectivo. 
Para lo que sigue, asuma que 𝑢(∙) y 𝑓(∙) satisfacen los supuestos usuales que garantizan que 
haya una única solución interior. Además, asuma las restricciones del modelo de Cash-in-
Advance que se cumplen en absoluto en la solución óptima (que es verdad si 𝑖7	 > 0 , para 
cada t). No hay incertidumbre y los hogares toman todas las variables exógenas como dadas. 
 
1. Reescriba la restricción presupuestaria del modelo de Cash-in-Advance en términos reales 
(esto es, en términos solamente de variables reales {𝑐7, 𝑘7 , 𝑏7, 𝑚7,	𝑟7,	𝜏7}, y la tasa de 
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inflación 𝜋7para todo 𝑡 ≥ 0). (Tip: use la ecuación de Fisher para eliminar la tasa de interés 
nominal). 
2. Denote por {𝜆7}7`: el multiplicador del Lagrangiano asociado a la restricción de 
presupuesto y a {𝜇7}7`: el multiplicador del Lagrangiano asociado a la restricción del 
modelo CIA. Escriba el Lagrangiano usando las restricciones en términos reales y derive las 
condiciones de primer orden para 𝑐7, 𝑘7 , 𝑏7 y 𝑚7. 
3. En la solución óptima obtenemos la siguiente ecuación de Euler: 
𝑢´(𝑐7)
𝑢´(𝑐7cG)
= 𝛽(1 + 𝑟7)ℎ(𝑖7FG, 𝑖7,𝜓) 
 
Donde ℎ(𝑖7FG, 𝑖7,𝜓) es una función de 𝑖7FG, 𝑖7, y		𝜓. Derive la forma funcional de 
ℎ(𝑖7FG, 𝑖7,𝜓). 
 
4. Interprete económicamente la ecuación de Euler encontrada en el ítem anterior 
cuando 𝜓 = 1. (Tip: Vas a encontrar útil reorganizar la ecuación antes de 
interpretarla) 
 
 
 
Ejercicio 2: (3.3 workbook) 
Considere el modelo básico de Cagan en donde el logaritmo del nivel de precios (𝑝7) y el 
logaritmo de la oferta monetaria (𝑚7) satisface la siguiente ecuación: 
 
𝑚7 − 𝑝7 = −	𝜂	(𝑝7cG		 − 		𝑝7) (1) 
 
donde 𝜂 es una constante más grande que cero. Para simplificar, suponga que 𝑚7 es 
constante e igual a 𝑚h , para cada t. Nosotros sabemos que la solución de la ecuación (1) está 
dada por: 
𝑝7 =
1
1 + 𝜂	ij
𝜂	
1 + 𝜂	k
l8
l9:
	𝑚7cl = 𝑚h 
	
La solución anterior se denomina solución fundamental, pero sabemos que existen otras 
soluciones para (1). Responda las siguientes preguntas: 
1. Proponga otra solución (no fundamental) y muestre que también satisface (1) 
2. Discuta la intuición económica detrás de las soluciones no fundamentales en las que 
los precios aumentan con el tiempo, aunque la oferta de dinero sea constante. 
(Consejo: es posible que desee comenzar con "Supongamos que todos esperan que 
los precios aumenten mucho en el futuro. Luego ...") 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 3: (4.1 workbook) 
Consideremos una economía con un único bien final. El ingreso por señoreaje, en términos 
reales, en un período dado está dado por: 
𝑆 =
∆𝑀
𝑃 
 
donde ∆𝑀 es el aumento en la oferta monetaria y 𝑃 es el precio del bien. La demanda por 
dinero está dada por: 2
V
= 𝛾ℯFql, donde 𝑖 es la tasa de interés nominal, 𝛾 es la producción y 
𝛼 > 0. Usando la ecuación de Fisher (y asumiendo que la expectativa de inflación es la 
inflación actual), podemos escribir 2
V
= 𝛾ℯFq(sct), donde r es la tasa de interés real y 𝜋 es 
la inflación. Suponga que en el largo plazo la tasa de interés y la producción son constantes 
(es decir, ∆	𝑖 = 0 y ∆𝛾	 = 0). Encuentre la inflación que maximiza 𝑆 en el largo plazo.

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