Ayudantía 08

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Primer Semestre 2017
Ayudantía 8 – Simplex Económico
EAA251AMétodos de Optimización
14 y 15 de Junio de 2017
Profesores: Aninat Antonio
Bárbara Prieto 
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: José Herrera 
Mail Ayudante: joherrera@uc.cl
Ayudante Jefe Cátedra: Miguel Pérez
Pregunta 1
Viña Maulina es una empresa familiar vitivinícola ubicada en el valle del Maule, en la séptima región de Chile. Esta zona, conocida como la cuna del vino chileno, es principalmente famosa por sus variedades tintas como cabernet sauvignon, carmenere y malbec. Estas tres variedades son las que produce Viña Maulina, las que son envasadas en botellas de 750 cc. y empacadas en cajas de 12 unidades que son comercializadas en Santiago.
La viña enfrenta una demanda mensual máxima de 800 cajas de cabernet sauvignon. En el caso de carmenere y malbec, la demanda total que enfrentan esas variedades en conjunto es de 240 cajas al mes (es decir, considerando la suma de ambos tipos de vinos) 
El proceso de elaboración de cada variedad de vino es diferente y, en consecuencia, tienen costos distintos. En términos de materias primas e insumos de producción, cada caja de carmenere tiene un costo de $18.000. La elaboración de las otras variedades tiene costos diferentes, todos los cuales deben ser financiados con el presupuesto total de $7.000.000 con el que cuenta la empresa todos los meses para cubrir costos de materias primas e insumos de producción.
En términos de horas de fabricación y embotellamiento, Viña Maulina cuenta con una cierta cantidad de horas al mes en su planta ubicada en el valle del Maule. Estas horas de planta pueden ser utilizadas para producir cualquiera de las variedades de vino, aunque el tiempo requerido difiere según el tipo. Por ejemplo, para producir una caja de vinos cabernet sauvignon se requiere de 1,5 horas de planta.
Luego del proceso de elaboración y embotellamiento, todas las cajas de vino producidas por Viña Maulina son transportadas en camiones a Santiago para su comercialización en tiendas especializadas. Dada su limitada capacidad de transporte, la empresa no puede distribuir más de una determinada cantidad de cajas de vino al mes, de cualquier tipo. 
La venta de una caja de carmenere significa una utilidad de $30.000 para la viña. Los márgenes de utilidad obtenidos con la venta de cabernet sauvignon y malbec son diferentes. La viña debe planificar su producción mensual de vino con el objetivo de maximizar sus utilidades.
Los siguientes tableaus representan algunos de los vértices asociados al problema lineal de decisión que enfrenta Viña Maulina:
Tableau A
	8
	6
	0
	0
	0
	0
	-8
	0
	-8.000
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	800
	-0,3
	0,4
	0
	0
	1
	0
	-0,2
	0
	40
	9
	6
	0
	0
	0
	1
	-4
	0
	3.000
	0,3
	0,6
	1
	0
	0
	0
	0,2
	0
	200
	0,7
	0,4
	0
	0
	0
	0
	-0,2
	1
	200
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Tableau B
	
	
	
	
	
	
	
	
	12,5
	0
	0
	0
	-15
	0
	-5
	0
	-8.600
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	800
	-0,75
	1
	0
	0
	2,5
	0
	-0,5
	0
	100
	13,5
	0
	0
	0
	-15
	1
	-1
	0
	2.400
	0,75
	0
	1
	0
	-1,5
	0
	0,5
	0
	140
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
	
Tableau C
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	0
	0
	-2,5
	0
	-5
	-12,5
	-10.600
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	-1
	640
	0
	1
	0
	0
	1,75
	0
	-0,5
	0,75
	220
	0
	0
	0
	0
	-1,5
	1
	-1
	-13,5
	240
	0
	0
	1
	0
	-0,75
	0
	0,5
	-0,75
	20
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
	
Tableau D
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	0
	0
	5
	-5
	0
	55
	-11.800
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	-1
	640
	0
	1
	0
	0
	2,5
	-0,5
	0
	7,5
	100
	0
	0
	1
	0
	-1,5
	0,5
	0
	-7,5
	140
	0
	0
	0
	0
	1,5
	-1
	1
	13,5
	-240
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
A partir de la información entregada, responda:
a) Modele linealmente el problema que enfrenta Viña Maulina, definiendo claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones 
b) ¿Cuál es el nivel óptimo de producción para la empresa?, ¿cuántas cajas de cada variedad produciría y qué nivel de utilidad alcanzaría? 
c) En el óptimo, ¿cuáles restricciones son activas y cuáles son sus precios sombra? 
d) Demuestre usando el teorema de KKT que los precios sombras encontrados en la pregunta anterior son los correctos 
e) Suponga que se encuentra en una situación en que sólo produce 200 cajas de malbec (y nada de las otras variedades). A partir de esta situación, ¿cuánto ganaría si decide comenzar a producir carmenere? ¿Se cumple lo que dice el enunciado de que “La venta de una caja de carmenere significa una utilidad de $30.000 para la viña”? Fundamente su respuesta 
Para contestar las siguientes preguntas, asuma que Viña Maulina se encuentra en su nivel óptimo de producción:
f) Analice qué pasaría con la solución óptima y el nivel de utilidad alcanzado si la viña aumenta en un 10% el presupuesto destinado a la compra de materias primas e insumos de producción. Fundamente su respuesta 
g) Una campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por carmenere y malbec. ¿Cuánto estaría dispuesta la viña a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta 
h) Otra campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por cabernet sauvignon. ¿Cuánto estaría dispuesta la empresa a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta 
i) Viña Maulina tiene como alternativa arrendar maquinarias que le permitirían contar con 200 horas de planta adicionales cada mes. Si el costo de esta medida es de $1 millón de pesos mensuales, ¿qué le conviene hacer a la empresa? Fundamente su respuesta 
Pregunta 2 (Propuesto)
Supermercados DUMBO está planificando una importación especial de carnes desde Argentina (vacuno, cerdo, pollo y pavo) para poder atender la mayor demanda que se espera tener este fin de semana. Se sabe que el partido que jugará la selección chilena de futbol por la final de la Copa América incrementará la demanda por carne de vacuno y de cerdo en 300 toneladas en total y la de pollo y pavo en otras 200 toneladas totales (no es necesario que el supermercado atienda TODA esta demanda extra, pero sí le asegura poder vender sus productos hasta esa cantidad). Asuma que toda la carne importada por JUMBO será vendida (siempre y cuando esté dentro de la cantidad demandada) y que cada tonelada vendida de carne de pollo tiene una utilidad de 2 millones de pesos. Los otros tipos de carne presentan utilidades que son conocidas por el supermercado.
La empresa cuenta con una flota de camiones frigoríficos que le permiten importar un máximo de 360 toneladas totales de carne (de cualquier tipo). Estos productos serán almacenados en cámaras de refrigeración que cuentan con una capacidad total de 600toneladas.
El proceso de preparación de los productos cárneos antes de ofrecerlos al consumidor final (corte, envasado y etiquetado) requiere el trabajo de personal especializado de la sección de carnicería. El supermercado cuenta con una cierta cantidad dehoras hombre para destinar a este proceso. Cada tonelada de carne de vacuno requiere de 8 horas hombre para ser procesada, en tanto que cada tonelada de pavo necesita solo 4. Las carnes de vacuno y de pollo también requieren horas hombre para ser procesadas.
Estudios de demanda han arrojado que por cada 2 toneladas de carne de vacuno, los consumidores compran a lo menos 1 tonelada de pollo o pavo.
Los siguientes tableaus representan algunos de los vértices asociados al problema de optimización que enfrenta supermercados DUMBO, asumiendo que su objetivo es maximizar la utilidad por la importación y venta de carnes:
	TABLEAU A
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	0
	1
	6
	5
	0
	0
	0
	0
	0
	-2
	0
	0
	1
	2
	2
	1
	0
	0
	0
	0
	-1
	300
	0
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	200
	0
	1
	3
	3
	0
	0
	1
	0
	0
	-1
	360
	0
	1
	3
	3
	0
	0
	0
	1
	0
	-1
	600
	0
	6
	21
	20
	0
	0
	0
	0
	1
	-8
	4600
	1
	0
	-2
	-2
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	TABLEAU B
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	0
	0
	4
	3
	-1
	0
	0
	0
	0
	-1
	-300
	0
	1
	2
	2
	1
	0
	0
	0
	0
	-1
	300
	0
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	200
	0
	0
	1
	1
	-1
	0
	1
	0
	0
	0
	60
	0
	0
	1
	1
	-1
	0
	0
	10
	0
	300
	0
	0
	9
	8
	-6
	0
	0
	0
	1
	-2
	2800
	1
	0
	-2
	-2
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
TABLEAU C
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	0
	0
	0
	-1
	3
	0
	-4
	0
	0
	-1
	-540
	0
	1
	0
	0
	3
	0
	-2
	0
	0
	-1
	180
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	-1
	0
	0
	0
	140
	0
	0
	1
	1
	-1
	0
	1
	0
	0
	0
	60
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	-1
	1
	0
	0
	240
	0
	0
	0
	-1
	3
	0
	-9
	0
	1
	-2
	2260
	1
	0
	0
	0
	-2
	0
	2
	0
	0
	1
	120
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	TABLEAU D
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	0
	-1
	0
	-1
	0
	0
	-2
	0
	0
	0
	-720
	0
	0,33
	0
	0
	1
	0
	-0,67
	0
	0
	-0,33
	60
	0
	-0,33
	0
	0
	0
	1
	-0,33
	0
	0
	0,33
	80
	0
	0,33
	1
	1
	0
	0
	0,33
	0
	0
	-0,33
	120
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	-1
	1
	0
	0
	240
	0
	-1
	0
	-1
	0
	0
	-7
	0
	1
	-1
	2080
	1
	0,67
	0
	0
	0
	0
	0,67
	0
	0
	0,33
	240
A partir de lo anterior, responda:
Modele el problema como programa lineal, definiendo claramente las variables, restricciones y función objetivo (10 puntos)
¿Cuál es la solución óptima?, ¿es esta solución única?, ¿cuál es el valor de la función objetivo en el óptimo? (3 puntos)
Determine el precio sombra de todas las restricciones. Justifique su respuesta (4 puntos)
Demuestre utilizando KKT que los precios sombras establecidos en c) son los correctos (6 puntos)
Suponga que se encuentra ubicado en el tableauA, vértice en el que no se está importando carne de pollo. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad si importara 1 tonelada de pollo? ¿Es su respuesta coherente con la frase del enunciado que estipula que “cada tonelada vendida de carne de pollo tiene una utilidad de 2 millones de pesos”?. Justifique su respuesta (5 puntos) 
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el supermercado por realizar cada una de las siguientes acciones para fomentar la importación de carnes? Considere cada una de estas medidas de manera independiente (excluyentes, no se combinan unas con otras). Fundamente su respuesta (12 puntos)
Una campaña publicitaria que aumentaría adicionalmente la demanda por carne de vacuno y cerdo en un 20%, es decir, de 300 a 360 toneladas.
El arriendo de 1 camión refrigerado adicional, que le permitiría transportar 12 toneladas adicionales de carne de cualquier tipo.
La ampliación de las cámaras de refrigeración, que le permitiría almacenar un 5% adicional de carnes (es decir, de 600 a 630 toneladas en total)
La contratación de 400 horas hombre adicionales para el proceso de corte, envasado y etiquetado de la carne.
Pauta Pregunta 1
a) Modele linealmente el problema que enfrenta Viña Maulina, definiendo claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones (8 puntos)
Pivoteando de reversa se llega a:
	20
	30
	40
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	800
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	240
	15
	18
	20
	0
	0
	1
	0
	0
	7.000
	1,5
	3
	5
	0
	0
	0
	1
	0
	1.000
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	1
	400
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Variables:
x = n° de cajas de vino tipo cabernet sauvignon y = n° de cajas de vino tipo carmenere
z = n° de cajas de vino tipo malbec
Maximizar 20 x + 30 y + 40 z
Sujeto a:
(1) x ≤ 800
(2) y + z ≤ 240
(3) 15x + 18y + 20z ≤ 7.000
(4) 1,5x + 3y + 5z ≤ 1.000
(5) x + y + z ≤ 400
(6) x ≥ 0
(7) y ≥ 0
(8) z ≥ 0
b) ¿Cuál es el nivel óptimo de producción para la empresa?, ¿cuántas cajas de cada tipo produciría y qué nivel de utilidad alcanzaría? (3 puntos)
Tableau óptimo: C
Solución óptima: (160, 220, 20)
Utilidad = 10.600
	
	0
	0
	0
	0
	-2,5
	0
	-5
	-12,5
	-10.600
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	-1
	640
	
	0
	1
	0
	0
	1,75
	0
	-0,5
	0,75
	220
	
	0
	0
	0
	0
	-1,5
	1
	-1
	-13,5
	240
	
	0
	0
	1
	0
	-0,75
	0
	0,5
	-0,75
	20
	
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
c) En el óptimo, ¿cuáles restricciones son activas y cuáles son sus precios sombra? (3 puntos)
Activas: restricciones 2 (demanda máxima de carmenere y malbec) , 4 (horas de planta) y 5 (capacidad de distribución) Sus precios sombras son 2,5 , 5 y 12,5 miles de pesos, respectivamente
d) Demuestre usando el teorema de KKT que los precios sombras encontrados en la pregunta anterior son los correctos (5 puntos)
· (0, 1, 1) +  (1,5; 3, 5) +  (1, 1, 1) = (20, 30, 40)
Hacer sistema de ecuaciones y demostrar que = 2,5 ,  = 5 y  = 12,5
e) Suponga que se encuentra en una situación en que sólo produce 200 cajas de malbec (y nada de las otras variedades). A partir de esta situación, ¿cuánto ganaría si decide comenzar a producir carmenere? ¿Se cumple lo que dice el enunciado de que “La venta de una caja de carmenere significa una utilidad de $30.000 para la viña”? Fundamente su respuesta (5 puntos)
Si produce 200 cajas de z, entonces está ubicado en el tableau (A). Si produce una caja de y, gana 30 mil pero deja de ganar 0,6 x 40 ya que al aumentar en 1 y, el z disminuye en 0,6. Neto: gana sólo 6 mil (costo reducido asociado a la variable no básica y)
Para contestar las siguientes preguntas, asuma que Viña Maulina se encuentra en su nivel óptimo de producción:
f) Analice qué pasaría con la solución óptima y el nivel de utilidad alcanzado si la viña aumenta en un 10% el presupuesto destinado a la compra de materias primas e insumos de producción. Fundamente su respuesta (4 puntos)
No pasa nada. Esa restricción no es activa
g) Una campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por carmenere y malbec. ¿Cuánto estaría dispuesta la viña a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta (4 puntos)
El precio sombra de esa restricción es 2,5. Si la demanda aumentara en un 5%, pasaría de 240 a 252 y ganaría 12 x 2,5 = 30 mil. Esto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar por la campaña
h) Otra campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por cabernet sauvignon. ¿Cuánto estaría dispuesta la empresa a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta (4 puntos)
No estaría dispuesto a pagar nada. Esta restricción no es activa
i) Viña Maulina tiene como alternativa arrendar maquinarias que le permitirían contar con 200 horas de planta adicionales cada mes. Si el costo de esta medida es de $1 millón de pesos mensuales, ¿qué le conviene hacer a la empresa? Fundamente su respuesta (4 puntos)
1 hora de planta adicional significa un incremento de 2,5 miles de pesos de utilidad. 200 horas haría aumentar en 1.000 miles de pesos la utilidad (1 millón) por lo tanto la empresa estaría indiferente entre arrendar o no estas máquinas
Pauta Pregunta 2
(a)
Variables	
x1	toneladas de carne de vacuno a importar
x2	toneladas de carne de cerdo a importar
x3	toneladas de carne de pollo a importar
x4	toneladas de carne de pavo a importar
Maximizar z = 2 x1 + x2 + 2 x3 + x4
Sujeto a 
x1 + x2 ≤ 300			Máxima demanda vacuno + cerdo
x3 + x4 ≤ 200			Máxima demanda pollo + pavo
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 360		Capacidad camiones refrigerados
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 600		Capacidad cámaras de refrigeración
8x1 + 6x2 + 5x3 + 4x4 ≤ 4600	Horas hombre proceso preparación de la carne
x1 - 2x3 - 2x4 ≤ 0		Proporcionalidad
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
(b) Óptimo: tableau D (240, 0, 120, 0). No es óptimo único, se puede avanzar por borde que hace crecer h6 y el valor de la función objetivo no cambia.
(c) Restricciones activas: no negatividad de x2, no negatividad de x4, capacidad camiones y proporcionalidad. Sus precios sombra son 1, 1, 2 y 0, respectivamente.
Las demás restricciones son no activas y sus precios sombra son cero. 
(d) KKT
(2, 1, 2, 1) =  (0, -1, 0, 0) + (0, 0, 0, -1) +  (1, 1, 1, 1) +  (1, 0,-2, -2)
= 1,  = 1; = 2,  = 0
Estos coeficientes corresponden a los precios sombra de las restricciones activas
(e) En tableau A, aumentar en 1 x3 (pollo) significa un aumento de 6 en la función objetivo (ver costo reducido en tercera columna). Esto se debe a que por cada aumento de 1 en x3, se aumenta a la vez 2 x1 y por tanto se gana 2+2x2 = 6
(f) Analizar cada acción por separado 
i. Nada, no es activa esta restricción y por tanto relajarla no tiene efecto
ii. 24 millonesiii. Nada, no es activa esta restricción y por tanto relajarla no tiene efecto
iv. Nada, no es activa esta restricción y por tanto relajarla no tiene efecto
8