Ayudantía 04

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2014
Ayudantía 4 – Modelo Dinámico
EAA-251 Métodos de Optimización
1 de Octubre de 2014
Profesores: Pascuala Domínguez 
Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Miguel Pérez
	Ayudante Jefe: Raimundo Gana
EJERCICIO 1
A continuación se transcribe un mail recibido por un profesor de este curso, en que un ejecutivo de Fundación Las Rosas le pide ayuda para resolver un problema de optimización. Al final hay una invitación para los alumnos que está abierta.
De: Francisco Agüero
Enviado el: viernes, 28 de junio de 2013 16:24
Para: Marcos Singer Gonzalez
Asunto: Fundación Las Rosas
 
Marco, como te comenté, me encuentro trabajando en la Fundación Las Rosas. Para que te hagas una dimensión, esta Fundación atiende a 2.500 abuelos repartidos en 40 hogares, de los cuales aproximadamente la mitad se encuentran en la Región Metropolitana.
Uno de los ítems claves de atención a adultos mayores es la lavandería, más aún cuando hoy en día el 90% de nuestros residentes son semi o no valentes, por lo que las mudas de ropa personal y de cama van aumentando su frecuencia.
 
Hoy en día, la Fundación tiene un modelo ambiguo. Por un lado hay un sistema de lavandería centralizado, donde los hogares de Santiago mandan a lavar, pero también esos mismos hogares cuentan con sus propias lavanderías. De este modo, terminan mandando ciertas cosas... ¿el por qué hacen esto? Los hogares reclaman que el servicio de la central es malo, que se pierden las cosas, que no queda bien lavado; pero por otro lado, te puedes imaginar que el personal del hogar no tiene incentivos para encontrar que el servicio es bueno, ya que de conseguirse una completa descentralización está el riesgo de perder la pega.
 
Yo creo que lo que se necesita es volver a modelar el proceso, lo que no es nada de sencillo, ya que está lleno de restricciones o juicios de valor que es necesario cuantificar. Es por eso que me parece que puede ser un caso interesante para algún alumno que esté interesado en hacer una memoria o algún grupo que esté cursando Evaluación de Proyectos.
 
Quedo atento a tus comentarios,
Francisco.
Suponga que se saben los siguientes antecedentes respecto del funcionamiento de la Fundación Las Rosas.
La Fundación opera con 20 hogares en la Región Metropolitana. En cada uno de ellos se ensucia diariamente cierta cantidad de distintos tipos de ropa que deben lavarse ese mismo día. Cada tipo tiene distinta cantidad de .
Cada hogar tiene cierto personal fijo (jornadas completas) que realiza diversas funciones base, y en sus horas desocupadas realiza la labor de lavandería. Estas horas desocupadas se generan porque los hogares requieren una cantidad de jornadas de personal para funciones base menor que las jornadas disponibles, por lo que el exceso de horas es destinado a lavado. Las jornadas de todas las personas tienen el mismo número de horas. Cada tipo de ropa requiere distinto número de horas hombre para ser lavada.
Sin embargo, estas horas sobrantes no son suficientes. Por esta razón, la Fundación tiene convenio con centros de lavado externos donde también se manda ropa. Cada lavandería cobra un precio unitario por lavado que depende del tipo de ropa. Tienen capacidad ilimitada, pero se ha contratado una cantidad fija de camiones que realizan el despacho diariamente desde los hogares a los centros. Los camiones tienen una capacidad que se mide en y que determina el máximo que pueden mandar a lavar en totalidad los 20 hogares cada día.
El lavado interno se realiza en un día, por lo que se considera que tiene disponibilidad inmediata. El lavado externo demora dos días desde que se manda la ropa hasta que se recibe de vuelta. Esto afecta a los hogares que necesitan mantener un inventario mínimo permanente de cada tipo de ropa. 
Utilizando la información del e-mail y los antecedentes adicionales responda:
1. Defina los conjuntos, variables y parámetros necesarios para optimizar el sistema de lavandería de la Fundación.
1. Formule un problema de optimización lineal que le permita a la Fundación minimizar los costos monetarios en que incurre con su modelo actual.
1. Si la Fundación pudiera modificar su estructura actual de lavado haciendo variables los costos fijos en que está incurriendo de personal y capacidad de camiones, ¿cómo cambia el problema formulado?
1. Defina las fórmulas que representan el costo monetario de lavar cada tipo de ropa en el hogar y en centros externos.
1. ¿Qué condición deben cumplir los parámetros definidos para que el costo por metro cúbico lavado sea el mismo para cualquier tipo de ropa? Responda para los centros externos y para el lavado interno.
PAUTA: 
a) Conjuntos:
Hogares: h = {1, 2, … 20}
Tipos de ropa: r = {a, b, c…}
Tiempo (días): t = {1,2,…t}
Centros de lavado: c = {1,2,3…}
Parámetros:
: m3 que tiene el tipo de ropa r
: cantidad de ropa tipo r que se ensucia diariamente en el hogar h
---
: número de horas en una jornada de trabajo
: jornadas de personal necesarias para funciones base en el hogar h
: jornadas de personal disponibles en el hogar h
Estas 3 pueden reemplazarse por:
: horas de personal disponibles en el hogar h
ó
: jornadas disponibles en el hogar h
---
: horas de personal necesarias para lavar el tipo de ropa r
: costo de lavar el tipo de ropa r en el centro c [$]
: número de camiones contratados
: capacidad máxima de cada camión en m3
: inventario mínimo del tipo de ropa r que tiene que tener el hogar h diariamente
: inventario inicial del tipo de ropa r en el hogar h
Variables:
: cantidad de ropa tipo r que manda a lavar el hogar h al centro c en el periodo t
: cantidad de ropa tipo r que lava internamente el hogar h en el periodo t
: inventario de ropa tipo r que tiene el hogar h en el periodo t
b) 
Función Objetivo:
Sujeto a:
Total lavado:
Horas de personal disponible:
ó
Capacidad camiones:
Inventario disponible:
c) 
Los parámetros de camiones contratados y horas disponibles por hogar pasarían a ser variables:
: jornadas de personal disponibles en el hogar h
Se cambia por:
: jornadas de personal contratadas para el hogar h
: número de camiones contratados
Se cambia por:
: número de camiones a contratar
Los parámetros se cambian por las respectivas variables en las restricciones.
Se agregan los parámetros de costo de estos componentes:
: salario por jornada de trabajo [$]
: precio por camión contratado [$]
Se agrega a la función objetivo:
Restricciones:
d) Lavar el tipo de ropa r tiene los siguientes costos monetarios:
Centro externo: 
Internamente: 
e) El valor de la siguiente ecuación tiene que ser el mismo para cualquier valor de r:
Centro externo:
Lavado interno:
EJERCICIO 2 (PROPUESTO)
En la Región Metropolitana existe una gran cantidad de colegios municipales y particulares subvencionados. Muchos de ellos cuentan con escaso presupuesto ya que los aportes estatales dependen de los alumnos matriculados que asisten, y los colegios no logran llenar su capacidad. Como consecuencia de esto y de otros factores, el desempeño de los colegios también es deficiente en muchos casos; lo que se refleja en los resultados de la prueba SIMCE. En resumen, hay más colegios de los necesarios y hay colegios de baja calidad.
El Ministerio de Educación ha decidido que la solución para esto es copar la capacidad de los buenos colegios, de manera de focalizar mejor los recursos asignados, y cerrar los colegios más deficientes. Para esto, se deberá reagrupar a los alumnos en los colegios, llenando los de mejor calidad y dejando sin matrícula a los de peor resultado ya que serán cerrados. Este movimiento de alumnos debe hacerse de manera gradual; cada colegio puede recibir de un año a otro a un máximo de alumnos nuevos equivalente a un 10% de la matrícula del año anterior.
El proceso de transferencia de alumnos tiene un plazo de 10 años. Asumiremos que el parámetro de calidad actual es el mejor predictor del futuro, es decir, se puede usar un parámetro del periodo actual (t=0) para evaluartodo el proceso de transferencia ya que no se conocen actualmente los resultados futuros. Se busca obtener según este parámetro el mejor resultado ponderado en la distribución de los alumnos en los colegios en el año 10.
El proceso de transferencia de alumnos debe cumplir con otros requisitos. La razón entre alumnos hombres y mujeres de los colegios debe mantenerse durante todo el proceso, más menos un rango del 10%. 
 Cuando un alumno es cambiado de un colegio a otro, se entiende que aumenta la distancia desde su casa al colegio en la mitad de la distancia entre los dos colegios. El aumento promedio de distancia de todos los alumnos transferidos no puede superar un cierto umbral cada año.
Se debe mantener un estándar en los colegios de al menos 30 m2 por alumno más 10m2 por profesor. Esto debe cumplirse al final del periodo de 10 años. Durante el proceso, cada comuna tiene un presupuesto limitado con el que puede crecer para aumentar la superficie de los colegios que estime conveniente, a un costo por m2 adicional que depende de la comuna en que se encuentre el colegio.
Al final del proceso, por cada 30 alumnos que transfiera un cierto colegio a cierto otro, debe transferir a un profesor de su planta. Si el resultado es una fracción debe transferir jornadas de trabajo de horas equivalentes. El promedio SIMCE ponderado de la nueva combinación de alumnos en cada colegio no puede disminuir más de un 20% del resultado del colegio previo a la transferencia.
Cada colegio tiene un indicador de retención porque un número de alumnos deserta al sistema particular. En cambio, no hay un flujo de entrada desde el sistema particular.
a) Defina conjuntos, parámetros y variables.
b) Escriba el programa lineal de optimización.
a) Conjuntos:
Colegios = {establecimientos}
Años = {1, 2, 3… 10}
Comunas = {A, B,… }
Variables:
 : alumnas mujeres transferidas del colegio e al colegio f en el periodo t
 : alumnos hombres transferidas del colegio e al colegio f en el periodo t
 : alumnas mujeres en el colegio e al final del periodo t
 : alumnos hombres en el colegio e al final del periodo t
 : profesores transferidos del colegio e al colegio f en el periodo 10
 : superficie adicional construida en el colegio e en el periodo t
Parámetros:
: puntaje SIMCE del colegio e en el periodo t=0 [puntos]
 matrícula inicial de mujeres en el colegio e en t=0 [n]
 matrícula inicial de hombres en el colegio e en t=0 [n]
 distancia entre el colegio e y el colegio f [km]
: parámetro de aumento promedio máximo de la distancia de los alumnos al colegio
 superficie del colegio e []
: inventario inicial de profesores en el colegio e
b) Función Objetivo:
Restricciones:
	Traspaso anual menor al 10%
 		Razón hombres/mujeres 
 		Aumento máximo de distancia
 	Estándar de m2 por alumno
  				Presupuesto para construcción de superficie
  			Transferencia de profesores
 				Inventario de profesores
			Inventario final de profesores
 Resultado SIMCE final del colegio
  				Inventario inicial mujeres
  				Inventario inicial hombres
 	Ecuación de inventario mujeres
 	 Ecuación de inventario hombres
 ; ; ; ; ; 0 	No negatividad de las variables