Ayudantía 03

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2014
Ayudantía 3 – Modelo Estático
EAA-251 Métodos de Optimización
3 de Septiembre de 2014
Profesores: Pascuala Domínguez 
Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Matías Cabrera
	Ayudante Jefe: Raimundo Gana
EJERCICIO 1
El Ministerio de Salud supervisa más de 1.500 consultorios ubicados en alguna de las 346 comunas del país. Estos consultorios pueden ser de distinto tipo (centro médico, urgencia, SAPUs, etc.). Cada uno de los ellos dispone de una cierta superficie que puede dividir para dar distintos tipos de prestaciones (consultas, hospitalizaciones, exámenes, etc.). Sin embargo, el Reglamento de Hospitales y Clínicas indica el mínimo y máximo porcentaje de superficie que cada tipo de consultorio puede destinar a cada tipo de prestación. 
Cada consultorio podría atender más de una comuna. Para cada consultorio, se conoce la fracción de su superficie que cubre cada comuna. También se conoce la cantidad de prestaciones que se puede realizar por cada m2 destinado a dar tal tipo de prestación. Además, se conoce la demanda que debe cubrirse como mínimo por prestaciones de cada tipo, en cada una de las 346 comunas.
El Ministerio ha estimado que el nivel de servicio del sistema es una función lineal de la cantidad de prestaciones realizadas por cada consultorio. Los ponderadores de esta función dependen del tipo de prestación realizada y del consultorio donde se realizó. 
a) Modele un problema de programación lineal donde se maximice el nivel de servicio del sistema, sujeto a satisfacer la demanda en todas las comunas del sistema.
Suponga que usted le hace ver al Ministerio que el nivel de servicio no sólo depende linealmente de la cantidad de prestaciones, sino también de la cantidad de médicos en cada consultorio. En el nivel de servicio del sistema, los ponderadores de las cantidades de médicos por consultorio dependen del consultorio al que pertenecen y del tipo de prestación que realizan. Los ponderadores de las prestaciones se mantienen tal como en (a).
Ante su recomendación, el Ministerio decide fijar un presupuesto anual para cada consultorio que puede ser gastado en agregar o quitar médicos; o en arrendar superficie adicional. Cada médico (actual o nuevo) se dedica a realizar sólo un tipo de prestación y tiene un costo anual que depende del tipo de prestación que realiza. Además, el precio de arriendo de cada m2 de superficie depende sólo de la comuna donde se arrienda. Siempre se debe mantener los porcentajes de asignación que indica el reglamento. 
No es posible tener un consultorio sin médicos, por lo que las cantidades totales de médicos en cada consultorio deben cumplir cierta cantidad mínima, igual para todos los consultorios.
b) Indique los cambios al modelo planteado en (a), bajo estos nuevos supuestos.
Es sabido que los médicos necesitan espacio para poder realizar las prestaciones. Luego, no es conveniente aumentar la cantidad de médicos o la superficie de los consultorios en forma arbitraria. Por el contrario, los datos recopilados anteriormente por alumnos del programa A+S dan cuenta que, por cada F [médicos], se debe contar con G [boxes] de atención, los cuales ocupan H [m2] del consultorio. 
c) Indique los cambios al modelo planteado en (b), bajo estos nuevos supuestos.
Nota: usted puede resolver (c) sin pasar por (b), pero debe utilizar información entregada para resolver (b)
1. 
Conjuntos:
	U = consultorios
	T = tipo de consultorio 
	Tu = tipo de consultorio al que pertenece el consultorio u
	C = comuna
	Cu = comuna a la que pertenece el consultorio u
	P = tipo de prestación
Parámetros:
Su	: superficie de cada consultorio u en [m3]
Np,t	: mínima proporción de superficie de un consultorio del tipo t puede ser destinada a dar prestaciones del tipo p en [adimensional]
Mp,t	: máxima proporción de superficie de un consultoriodel tipo t puede ser destinada a dar prestaciones del tipo p en [adimensional]
Dp,c	: demanda mínima de la comuna c, por prestaciones del tipo p en [prestaciones].
Ou,c	: fracción de la superficie que cada consultorio u tiene en cada comuna c, en [adimensional]
Qp	: cantidad de prestaciones tipo p que se puede realizar por cada m2 construido, en [prestaciones/ m2]
αp,u	: ponderadores de las prestaciones realizadas, para la prestación tipo p, en el consultorio u, en [1/prestaciones].
Variables: 
xp,u : superficie de cada consultorio u, destinada a realizar prestaciones del tipo p.
wp,u,c : cantidad de prestaciones del tipo p que se realiza en el consultorio u y en la comuna p, en [prestaciones].
 
Maximizar: 
Sujeto a:
		Superficie máxima y mínima
	 		Demanda mínima
	 		Máximo de prestaciones
				Restricción de superficie
	 		No-negatividad
1. 
Es necesario agregar los siguientes parámetros:
βp,u	: ponderadores de las cantidades de médicos en el consultorio u, que realizan la prestación p, en [1/médicos].
Jp	: costo de un médico que realiza prestaciones el tipo p en [$/prestación]
Ic	: costo de un m2 de terreno en la comuna c en [$/m2]
Ku	: presupuesto del consultorio u en [$/m2]
Yu	: cantidad inicial de médicos en el consultorio u, en [médicos]
L	: cantidad mínima de médicos por consultorio, en [médicos]
La siguiente variable:
yp,u	: cantidad de médicos contratados en el consultorio u, especialistas en el tipo de prestación p [médicos].
zu	: superficie adicional comprada para cada consultorio u [m2].
a la función objetivo anterior se tiene que agregar 
(En estricto rigor, se debe agregar la cantidad inicial de médicos multiplicada por el ponderador, pero para ello, habría que tener las cantidades iniciales de médicos (Yu) separadas por prestación (Yp,u) y la función objetivo pasa a ser . Sin embargo, no es necesario, ya que el término es constante)
se debe agregar las siguientes restricciones:
	 Restricción presupuestaria en cada consultorio
	 Restricción de cantidad mínima de médicos
	 	 Restricción de no-negatividad
Notar que yp,u no debe tener restricción de no-negatividad. Puede tomar valores negativos y está restringida por abajo por la restricción de cantidad mínima de médicos. 
Dado que se debe mantener las proporciones mínimas y máximas de superficie, se debe modificar la restricción de superficie máxima y mínima:
	Superficie máxima y mínima
1. 
Es necesario agregar los siguientes parámetros:
F	: cantidad de médicos que se puede cubrir con G boxes, en [médicos/boxes]
H	: cantidad de metros cuadrados necesarios para tener G boxes [m2/boxes]
y la siguiente restricción:
	Restricción de espacio por médico
EJERCICIO 2 (PROPUESTO)
Un holding controla un número de empresas, de las cuales posee el 100% de sus acciones. Cada empresa fabrica un conjunto de productos (empresa multiproducto) y los productos se pueden repetir entre empresas. Para producir cada unidad de un producto, cada empresa necesita ciertas cantidades de un conjunto de insumos, dados por una lista de materiales (Bill of Materials o BOM), e incurre en cierto costo variable de producción (es decir, proporcional a la cantidad producida). El holding posee cierto grado de integración vertical, de modo que los productos de una determinada empresa pueden ser vendidos en el mercado, o bien ser usados como insumo para otra empresa del holding. Además, los productos que cada empresa compra (insumos) pueden ser adquiridos en el mercado o a otra empresa del holding. La venta de un producto no puede superar la demanda por el producto en el mercado y, a la vez, el holding debe cumplir los compromisos de venta hechos con anterioridad. La compra de insumos en el mercado está limitada por su oferta.
Durante el año 2008 existía un escenario de precios, ofertas y demandas de todos los productos en el mercado, en tanto cada empresa del holding poseía cierta capacidad para producir cada uno de sus productos, dada por la cantidad disponible de máquinas diseñadas para producir tal producto. Sin embargo, la crisis financieracambió radicalmente los precios, ofertas y demandas de todos los productos en el año 2009. Frente a este nuevo escenario, donde aún se debe cumplir con los compromisos de venta para el 2009, el holding ha decidido reestructurar cada empresa, aumentando o disminuyendo su capacidad para producir cada uno de sus productos. Para ello, cada empresa puede adquirir o vender maquinaria en el mercado, a cierto costo o precio por máquina, respectivamente. Estos precios y costos sólo dependen del producto para el cual esté diseñada la máquina. Cada máquina tiene cierto rendimiento máximo, medido en [productos/máquina], para producir su respectivo producto. Debido a que las maquinarias a vender están usadas, el costo de compra de cada máquina es mayor que el precio de venta de la misma. No existe venta de maquinarias entre las empresas del holding. Cada máquina ocupa cierto espacio dentro de la empresa, siendo limitado el espacio total de cada empresa.
a) 	Formule un modelo de programación lineal que le permita al holding maximizar sus utilidades durante el año 2009, dadas por los ingresos por venta de productos y maquinarias, menos los costos por compra de insumos, producción y compra de maquinarias.
b) ¿Cómo cambia la formulación del problema si el holding posee un porcentaje de participación en cada empresa que puede ser menor al 100%? (basta con explicar; no es necesario reformular el problema).
c) ¿Qué problema podría tener la solución óptima del problema formulado según (b) con respecto a la distribución de las utilidades de cada empresa a sus accionistas?
d) Volviendo a la situación original, ¿cómo cambia la formulación del modelo si es que la capacidad de producción de la empresa está dada por una cantidad de máquinas común para todos sus productos y la producción de cada uno de ellos consume cierta cantidad de esta maquinaria? (basta con explicar los cambios, no es necesario reformular el problema)
e) Volviendo a la situación original, ¿cambiaría usted la formulación del problema si es que algunas de las empresas pueden revender productos, es decir, recibir un insumo y venderlo directamente al mercado sin procesarlo? De ser así, explique los cambios que haría, sin reformular el modelo. 
PAUTA
a)Conjuntos 
E: Empresas
P: Productos
PeP:	conjunto de productos que genera la empresa e
IeP:	conjunto de insumos que necesita la empresa e, para poder generar los productos Pe
Parámetros
Sp:	precio del producto p
Je,p:	costo de producción del producto p en la empresa e
Ip:	costo de compra de cada máquina diseñada para producir el producto p
Dp:	precio de venta de cada máquina diseñada para producir el producto p
Me,p:	cantidad inicial de máquinas en la empresa e para producir el producto p
Kp:	rendimiento máximo de las máquinas diseñadas para producir el producto p
Fp:	cantidad de espacio utilizada por cada máquina diseñada para producir el producto p
Ae:	espacio disponible en la empresa e
Tp,q:	cantidad de insumo q necesario para producir una unidad de producto p
Op:	oferta del producto p
Dp:	demanda del producto p
Hp:	compromisos de venta producto p
Variables
z:	utilidad del holding 
be,p:	cantidad comprada de insumo p, en la empresa e. p Ie
se,p:	cantidad vendida de producto p, en la empresa e. p Pe
re,p:	cantidad recibida de insumo p, en la empresa e. p Ie
xe,p:	cantidad producida de producto p, en la empresa e. p Pe
ya,b,p:	cantidad traspasada producto p, desde la empresa a hacia la empresa b. p Pa y p Ib
me,p:	cantidad de máquinas destinadas a producir el producto p, en la empresa e. p Pe
ie,p:	cantidad de máquinas compradas, destinadas a la producción del producto p, en la empresa e. p Pe
de,p:	cantidad de máquinas vendidas, destinadas a la producción del producto p, en la empresa e. p Pe
Modelo
Maximizar z = resultado de la transacción de productos + resultado de la transacción de maquinarias + resultado de la producción 
	= + + 
Sujeto a:
me,p = Me,p + ie,p – de,p	e, p Pe 	cambio de capacidad
≤ Ae	 e	capacidad de expansión de la empresa
xe,p ≤ me,p · Kp	 e, p Pe	límite en la cantidad a producir
xe,p = se,p + 	 e, p Pe	destino de la producción en cada empresa
re,p = be,p + 	 e, p Ie	origen de la recepción de productos en cada empresa
re,q = Tp,q · xe,p	 q Ie ,e	necesidad de insumos en cada empresa
 ≤ Op	p	límite en la compra de productos
≤ Dp	p	límite en la venta de productos
≥ Hp	p	compromisos de venta
be,p, se,p, re,p, xe,p, ya,b,p, me,p, ie,p, de,p ≥ 0 e, p, a, b
Respuesta b)
Basta con definir un parámetro que indique la participación porcentual en cada empresa y, en la función objetivo, multiplicar los beneficios y costos de cada empresa por este parámetro.
Respuesta c)
En este caso, existe el problema de que, al multiplicar el margen de la venta de cada producto por la participación, el holding puede cambiar la distribución de las ventas desde empresas con mayor margen total pero menor participación, a empresas con menor margen total pero mayor participación. Esto hará que las primeras que vendan menos y obtengan menos beneficios, lo que afectará negativamente al resto de los accionistas que no controlan la empresa.
Respuesta d)
En este caso habría que:
· Cambiar las restricciones de inventario de capacidad y capacidad de expansión de la empresa (ahora F no depende del producto):
me = Me + ie – de	e	cambio de capacidad
F · me ≤ Ae	 e	capacidad de expansión de la empresa
· Definir un parámetro que represente la cantidad de maquinaria que consume la producción de cada producto, digamos Gp [máq/unidad de producto], y cambiar la restricción “límite en la cantidad a producir” a:
 ≤ me	 e	límite en la cantidad a producir
Respuesta e)
No es necesario cambiar la formulación, ya que todos los productos se venden a precio de mercado independientemente de la empresa que provengan. Trasladar un producto de una empresa a otra sólo podría hacer que el holding incurra en costos innecesarios, eventualmente transporte y/o inventario, disminuyendo su utilidad total. 
c
p
w
c
p
u
c
u
p
,
 
D
,
,
,
"
³
å
c
p
x
w
u
p
c
u
p
c
u
p
,
 
O
Q
,
,
,
,
"
£
u
x
u
u
p
p
"
£
å
 
S
,
u
p
x
u
p
,
 
0
,
"
³
å
u
p
u
p
u
p
y
,
,
,
β
(
)
å
+
u
p
u
p
u
p
u
p
y
,
,
,
,
Y
β
å
u
p
u
p
u
p
,
,
,
Y
β
u
K
z
y
u
u
c
u
p
p
p
u
"
£
+
å
 
I
J
,
u
y
p
u
p
u
"
³
+
å
 
L
Y
,
u
z
u
"
³
 
0
 
u
p
y
x
y
u
u
t
p
u
p
u
u
t
p
u
u
,
 
)
(S
M
)
(S
N
,
,
,
"
+
£
£
+
(
)
u
y
H
F
y
u
u
p
u
p
u
"
+
£
+
å
 
S
Y
,
Ì
Î
å
å
å
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
-
×
Î
Î
e
I
p
p
e
p
P
p
p
e
p
e
e
b
s
,
,
S
S
(
)
å
×
-
×
p
e
p
e
p
p
e
p
i
d
,
,
,
I
D
å
×
p
e
p
e
p
e
x
,
,
,
J
"
å
×
p
p
e
p
m
,
F
å
å
u
p
c
c
u
p
u
p
w
,
,
,
,
α
å
b
p
b
e
,
,
y
å
a
p
e
a
,
,
y
å
Î
e
p
P
å
e
p
e
b
,
å
e
p
e
s
,
å
e
p
e
s
,
u
p
x
u
t
p
u
p
u
t
p
u
u
,
 
S
M
S
N
,
,
,
"
£
£
p
e
p
p
x
,
P
G
×
å
Î