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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Segundo Semestre 2014 Ayudantía Final EAA-251 Métodos de Optimización 19 de noviembre de 2014 Profesores: Pascuala Domínguez Bárbara Prieto Marcos Singer Christian Villalobos Ayudante: Daniela Marín Ayudante Jefe: Raimundo Gana Pregunta 1 El Plan Cuadrante de Seguridad Preventiva (PCSP) es la estrategia operativa definida por Carabineros de Chile, orientada a satisfacer las necesidades de seguridad de la comunidad nacional en el contexto urbano, para contribuir a la disminución del delito y aumentar la sensación de seguridad, haciendo énfasis en la relación directa ciudadanía-carabinero para el intercambio de información de interés policial. Los servicios que la comunidad recibe en el marco del PCSP son: patrullajes preventivos focalizados, atención de procedimientos, fiscalización de establecimientos, y cumplimiento de órdenes judiciales. El PCSP existe desde el año 2000 y actualmente alcanza una cobertura del 83% de la población del país. Con el fin de aumentar la cobertura del PCSP, Carabineros de Chile está planificando la adquisición de una nueva flota de vehículos policiales, para lo cual cuenta con un presupuesto máximo de 6 millones de dólares. Específicamente, la institución tiene la opción de adquirir 3 tipos de vehículos: motos todoterreno, autos radiopatrullas y furgones Z. Cada uno de estos vehículos tiene un costo unitario diferente. La institución anunció, dentro de los compromisos para este año, la adquisición de al menos 100 nuevos vehículos policiales de cualquier tipo. Debido a que se trata de vehículos con equipamiento especial, los proveedores ofrecen una oferta limitada de radiopatrullas y furgones: como máximo, la institución podría acceder a 240 autos radiopatrullas y 150 furgones z. Cada uno de los vehículos adquiridos debe contar con 2 efectivos especialmente capacitados en el plan cuadrante, con excepción de las motos que solo requieren 1 efectivo. En total, la institución cuenta con una dotación limitada de funcionarios policiales capacitados para hacerse cargo de la nueva flota vehicular. Además, cabe mencionar que la Institución ha definido que por cada 3 autos radiopatrullas comprados se debe adquirir al menos 1 furgón z. Con el objetivo de poder medir los alcances de la labor policial, se ha definido el indicador de “unidad de vigilancia equivalente” (UVE). Este indicador es una expresión valorizada de los recursos humanos y logísticos que posee la Institución, en términos de sus particulares capacidades operativas. Por ejemplo, 1 moto todoterreno con 1 carabinero representa 1 UVE. Por su parte, 1 radiopatrullas con 2 carabineros y 1 furgón z con 2 carabineros representan diferentes unidades de vigilancia equivalente. Los siguientes tableaus representan algunos de los vértices asociados al problema de optimización del plan cuadrante: TABLEAU A 1 1,5 0 0 0 -2 0 0 0 -300 15 20 0 1 0 -30 0 0 0 1.500 0 1 0 0 1 0 0 0 0 240 0 0 1 0 0 1 0 0 0 150 1 2 0 0 0 -2 1 0 0 200 -1 -1 0 0 0 1 0 1 0 50 0 1 0 0 0 3 0 0 1 450 TABLEAU B -0,125 0 0 -0,075 0 0,25 0 0 0 -412,5 0,75 1 0 0,05 0 -1,5 0 0 0 75 -0,75 0 0 -0,05 1 1,5 0 0 0 165 0 0 1 0 0 1 0 0 0 150 -0,5 0 0 -0,1 0 1 1 0 0 50 -0,25 0 0 0,05 0 -0,5 0 1 0 125 -0,75 0 0 -0,05 0 4,5 0 0 1 375 TABLEAU C 0 0 0 -0,05 0 0 -0,25 0 0 -425 0 1 0 -0,1 0 0 1,5 0 0 150 0 0 0 0,1 1 0 -1,5 0 0 90 0,5 0 1 0,1 0 0 -1 0 0 100 -0,5 0 0 -0,1 0 1 1 0 0 50 -0,5 0 0 0 0 0 0,5 1 0 150 1,5 0 0 0,4 0 0 -4,5 0 1 150 A partir de lo planteado en el enunciado, responda: Modele el problema como programa lineal asumiendo que la Institución quiere maximizar las unidades de vigilancia equivalente (UVE) que se pueden alcanzar con la adquisición de los nuevos vehículos. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones Suponga que ha tomado la decisión de adquirir una cierta cantidad de vehículos, situación que está representada en el tableau B. Mirando dicho tableau, responda: ¿Cuántos vehículos de cada tipo estaría adquiriendo si se encontrara en ese vértice?, ¿cuántas UVE alcanzaría? ¿Cuántas UVE adicionales conseguiría si, estando en dicho vértice, adquiriera 1 moto todoterreno? ¿Cómo se compara dicho valor con lo que dice el enunciado: “1 moto todoterreno con 1 carabinero representa 1 UVE”? Al estar en el tableau B, ¿es cierto que se podría alcanzar 1 UVE adicional si se compra 1 moto todoterreno? Justifique claramente su respuesta ¿Cuáles es la solución óptima de este problema? ¿Cuántos vehículos de cada tipo debería adquirir carabineros y cuántas UVE podría alcanzar? ¿Es una solución óptima única? ¿Cuáles son las restricciones activas en el óptimo? Determine el precio sombra de todas las restricciones (activas y no activas) Para contestar las siguientes preguntas asuma que se encuentra en el óptimo. Conteste cada pregunta de manera independiente. Suponga que, debido a una crisis en el mercado automotriz, los proveedores de vehículos policiales fueran capaces de ofrecer a Carabineros sólo 180 autos radiopatrullas (en vez de los 240 planteados en el enunciado) y 120 furgones z. ¿Cómo afectaría esto a la decisión de compra de vehículos de la Institución? Fundamente su respuesta La Institución ha pensado aumentar el presupuesto destinado a la adquisición de la nueva flota en un 5%. Este aumento presupuestario sería en desmedro de otros proyectos de la Institución. ¿Cuántas UVE adicionales lograría alcanzar? Analice cuál debiera ser el valor en términos monetarios de una UVE para que a Carabineros le convenga destinar ese monto a la adquisición de vehículos. Fundamente su respuesta g) Carabineros está analizando aumentar la dotación de efectivos con el fin de potenciar el plan cuadrante en la zona sur de la región metropolitana. Específicamente, la Institución está pensando capacitar a más efectivos con el fin de contar con un 20% más de funcionarios policiales para hacerse cargo de la nueva flota vehicular. ¿Será efectiva esta medida?, ¿permitiría esta capacitación alcanzar un mayor valor de la función objetivo? Pauta Modele el problema Variables de decisión: m = número de motos todoterreno a adquirir x = número de autos radiopatrullas a adquirir y = número de furgones a adquirir Pivoteando hacia atrás, se llega al tableau inicial: 1 1,5 2 0 0 0 0 0 0 0 15 20 30 1 0 0 0 0 0 6.000 0 1 0 0 1 0 0 0 0 240 0 0 1 0 0 1 0 0 0 150 1 2 2 0 0 0 1 0 0 500 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 0 -100 0 1 -3 0 0 0 0 0 1 0 Max z = m + 1,5x + 2y Sujeto a: (1) 15m + 20 x + 30 y ≤ 6.000 Restricción presupuestaria (2) x ≤ 240 Restricción oferta (3) y ≤ 150 Restricción oferta (4) m + 2 x + 2 y ≤ 500 Dotación (5) m + x + y ≥ 100 Compromiso mínimo (6) x ≤ 3 y Proporcionalidad (7) m ≥ 0 No negatividad (8) x ≥ 0 No negatividad (9) y ≥ 0 No negatividad Tableau B 75 autos radiopatrullas y 150 furgones z. UVE = 412,5 No se ganaría nada, sino que se perderían 0,125 UVE por cada moto adquirida. Es menor a 1 UVE que plantea el enunciado porque al comprar 1 moto habría que reducir 0,75 autos radiopatrullas, por lo tanto, se gana 1 UVE pero se pierde 0,75x1,5 UVE Óptimo tableau C: 150 autos radiopatrullas y 100 furgones z. UVE = 425. La solución óptima no es única, ya que hay un costo reducido igual a 0= la solución óptima es un borde. Activas = restricción presupuestaria, dotación de carabineros y no negatividad de las motos. Precios sombra de dichas restricciones son 0,05; 0,25 y 0, respectivamente. El precio sombra de las restricciones no activas es cero. No pasaría nada, son restricciones no activas Si aumenta el presupuesto de 6.000 a 6.300 (en miles de dólares),entonces se desplaza una restricción que es activa. El precio sombra de dicha restricción es de 0,05, por lo tanto el beneficio adicional es de 300x0,05 = 15 UVE Si 15 UVE ≥ 300 mil dólares, es decir, si UVE ≥ 20 mil dólares, entonces conviene tomar esta medida. Si aumenta la dotación de 500 a 600 efectivos, se ganaría 0,25x200 = 25 UVE adicionales, por lo tanto es conveniente. Pregunta 2 (Propuesto) La empresa PS MEDIOS está encargada de la producción de la gira internacional del cantante Lionel Ritchie, en el marco de la celebración de sus 30 años de carrera como solista. El acuerdo al que han llegado con el artista es la realización de A conciertos en Estados Unidos, Canadá, México y Brasil. Cada concierto realizado en Estados Unidos tiene un costo de producción de 50 mil dólares, en tanto que los shows en los otros países tienen un costo de producción menor. El presupuesto total con el que cuenta la compañía para producir los conciertos es de B mil dólares. La empresa cuenta con un staff de profesionales expertos en la producción de espectáculos de alto nivel, quienes en total representan C horas-hombre disponibles exclusivamente para la organización de la gira de Lionel Ritchie. Los conciertos requieren distintas cantidades de horas de producción por país: en México, por ejemplo, cada show requiere la dedicación exclusiva de 40 horas de profesionales. El artista ha puesto algunas exigencias asociadas a la gira · No más del D% del total de los conciertos debe realizarse en Estados Unidos · Al menos E conciertos deben llevarse a cabo en Latinoamérica (México y/o Brasil) La empresa debe planificar la gira y, para esto, le pide a usted definir la cantidad de conciertos a realizar en cada país. Asuma que PS MEDIOS tiene como objetivo maximizar la utilidad total asociada a la gira, que cada concierto realizado en Canadá alcanza un nivel de utilidad de 40 mil dólares y que cada show en México representa una utilidad de 30 mil dólares. Los shows en los otros países alcanzan otros niveles de utilidad. Considere los siguientes tableaus asociados al problema que enfrenta PS MEDIOS: TABLEAU A 0 40 30 25 0 0 0 -50 0 -1.000 0 1 1 1 1 0 0 -1 0 20 0 40 20 30 0 1 0 -50 0 400 0 30 40 30 0 0 1 -25 0 500 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -6 TABLEAU B 0 0 10 -5 0 -1 0 0 0 -1.400 0 0 0,5 0,25 1 -0,025 0 0,25 0 10 0 1 0,5 0,75 0 0,025 0 -1,25 0 10 0 0 25 7,5 0 -0,75 1 12,5 0 200 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -6 TABLEAU C 0 0 0 -10 -20 -0,5 0 -5 0 -1.600 0 0 1 0,5 2 -0,05 0 0,5 0 20 0 1 0 0,5 -1 0,05 0 -1,5 0 0 0 0 0 -5 -50 0,5 1 0 0 -300 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 1 1 0 0 1 1 1 1 2 -5 TABLEAU D 0 0 0 -8 0 -0,7 -0,4 -5 0 -1.480 0 0 0 0,1 1 -0,01 -0,02 0 0 6 0 1 0 0,6 0 0,04 -0,02 -1,5 0 6 0 0 1 0,3 0 -0,03 0,04 0,5 0 8 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 0 -0,7 0 -0,03 0,04 0,5 1 2 A partir de la información entregada en el enunciado, responda: a) Modele el problema que enfrenta la empresa como programa lineal b) Determine qué valores toman las incógnitas A, B, C, D y E c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? Determine la cantidad óptima de conciertos a realizar en cada país y el valor de la función objetivo en el óptimo. ¿Es una solución única? d) ¿Cuáles son las restricciones activas en el óptimo?, ¿cuál es el precio sombra de cada una de ellas? e) Demuestre, utilizando el teorema de KKT, que los precios sombra que usted estableció en su respuesta anterior son los correctos f) Observe el tableau B y conteste las siguientes preguntas i. ¿Qué vértice representa?, ¿cuántos conciertos se realizarían en cada país? ii. ¿Es óptimo este vértice?, justifique su respuesta iii. Suponga que se encuentra tomando la decisión asociada al tableau B y decide trabajar en la producción de un concierto en México. ¿En cuánto se incrementaría el valor de la función objetivo si produce un concierto en ese país? ¿Se cumple, tal como dice el enunciado, que “cada show en México representa una utilidad de 30 mil dólares”? Fundamente su respuesta Para responder las siguientes preguntas, que son independientes entre sí, asuma que se encuentra tomando la decisión óptima: g) El gerente comercial de la compañía ha determinado, en base a estudios de mercado realizados en los 4 países que contempla la gira, que existe una gran demanda por asistir a los conciertos de Lionel Ritchie. Este ejecutivo asegura que sería recomendable alargar la gira debido al creciente interés del público por escuchar al intérprete de “Hello”, “Say You, Say Me”, entre otras canciones que han estado en el N°1 de la lista Billboard. Determine cuál sería el beneficio de agregar 5 conciertos adicionales a los 40 que contempla originalmente la gira. Fundamente su respuesta h) El gerente de finanzas de PS MEDIOS, viendo las conclusiones del estudio de mercado realizado por el gerente comercial, insiste en la necesidad de aumentar la inversión en este proyecto. Específicamente, el ejecutivo plantea la posibilidad de conseguir financiamiento adicional y, con esto, aumentar en un 10% el presupuesto destinado a la producción de la gira de Lionel Ritchie. Determine cuál sería el beneficio de contar con este presupuesto adicional. i) El gerente de recursos humanos, también incentivado por el manifiesto interés del público por ver a Lionel Ritchie, sugiere destinar más horas-hombre para la producción de la gira. Específicamente, se plantea la posibilidad de aumentar en un 10% las horas disponibles de profesionales, lo que tendría un costo adicional de 10 mil dólares. ¿Es conveniente para PS MEDIOS realizar esta inversión con el fin de incrementar las horas hombre dedicadas a la producción de la gira? Fundamente su respuesta. Pauta a) Al pivotear de reversa se llega al siguiente tableau inicial: 50 40 30 25 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 40 50 40 20 30 0 1 0 0 0 1.400 25 30 40 30 0 0 1 0 0 1.000 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 -6 Variables: e: n° de conciertos en Estados Unidos c: n° de conciertos en Canadá m: n° de conciertos en México b: n° de conciertos en Brasil Maximizar z = 50e + 40c + 30m + 25 b Sujeto a: (1) e + c + m + b ≤ 40 máximo conciertos de la gira (2) 50e + 40c + 20m + 30 b ≤ 1.400 presupuesto (3) 25e + 30c + 40m + 30b ≤ 1.000 horas de profesionales (4) e ≤ 20 máximo conciertos en USA (5) m + b ≥ 6 mínimo conciertos Latinoamérica (6) e , c , m, b ≥ 0 no negatividad b) Determine qué valores toman las incógnitas A, B, C, D y E A= 40 B= 1.400 C= 1.000 D= 50 (en %) o 20 (en número absoluto) E= 6 c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? Determine la cantidad óptima de conciertos a realizar en cada país y el valor de la función objetivo en el óptimo. ¿Es una solución única? e = 20 c = 6 m = 8 z = 1.480 es una solución única d) ¿Cuáles son las restricciones activas en el óptimo?, ¿cuál es el precio sombra de cada una de ellas? TABLEAU D 0 0 0 -8 0 -0,7 -0,4 -5 0 -1.480 0 0 0 0,1 1 -0,01 -0,02 0 0 6 0 1 0 0,6 0 0,04 -0,02 -1,5 0 6 0 0 1 0,3 0 -0,03 0,04 0,5 0 8 1 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 0 -0,7 0 -0,03 0,04 0,5 1 2 Activas: no negatividad de b y las restricciones (2), (3) y (4). Sus precios sombra son 8, 0,7 , 0,4 y 5, respectivamente e) Demuestre, utilizando el teorema de KKT, que los precios sombra que usted estableció en su respuesta anterior son los correctos (50, 40, 30, 25) = (0, 0, 0, -1) + (50, 40, 20, 30) + (25, 30, 40, 30) + (1, 0, 0, 0) Al resolver, = 8, = 0,7, = 0,4 y =5 f) Observe el tableau B y conteste las siguientes preguntas i.¿Qué vértice representa?, ¿cuántos conciertos se realizarían en cada país? Vértice (20, 10, 0, 0) (20 conciertos en Estados Unidos y 10 en Canadá ii. ¿Es óptimo este vértice?, justifique su respuesta No es óptimo, ya que existe un borde promisorio (costo reducido positivo) iii. Suponga que se encuentra tomando la decisión asociada al tableau B y decide trabajar en la producción de un concierto en México. ¿En cuánto se incrementaría el valor de la función objetivo si produce un concierto en ese país? ¿Se cumple, tal como dice el enunciado, que “cada show en México representa una utilidad de 30 mil dólares”? Fundamente su respuesta Por cada concierto en México, aumentaría en 10 (mil dólares) el valor de la función objetivo. Esto debido a que por cada concierto en México, disminuiría en 0,5 el número de conciertos en Canadá. Por lo tanto, la utilidad neta sería = +30 – 40 x0,5 = 10. En resumen, sí se cumple lo que dice el enunciado, el problema es que junto con aumentar los conciertos en México disminuirían los de Canadá y, el neto, sería una ganancia de sólo 10 mil dólares (en vez de los 30 mil) Para responder las siguientes preguntas, que son independientes entre sí, asuma que se encuentra tomando la decisión óptima: g) El gerente comercial de la compañía ha determinado, en base a estudios de mercado realizados en los 4 países que contempla la gira, que existe una gran demanda por asistir a los conciertos de Lionel Richie. Este ejecutivo asegura que sería recomendable alargar la gira debido al creciente interés del público por escuchar al intérprete de “Hello”, “Say You, Say Me”, entre otras canciones que han estado en el N°1 de la lista Billboard. Determine cuál sería el beneficio de agregar 5 conciertos adicionales a los 40 que contempla originalmente la gira. Fundamente su respuesta No hay beneficio, la restricción de número máximo de conciertos no es activa h) El gerente de finanzas de PS MEDIOS, viendo las conclusiones del estudio de mercado realizado por el gerente comercial, insiste en la necesidad de aumentar la inversión en este proyecto. Específicamente, el ejecutivo plantea la posibilidad de conseguir financiamiento adicional y, con esto, aumentar en un 10% el presupuesto destinado a la producción de la gira de Lionel Richie. Determine cuál sería el beneficio de contar con este presupuesto adicional. Restricción presupuestaria tiene un precio sombra de 0,7. Es decir, por cada 1 mil dólares adicionales invertidos, la función objetivo aumenta en 0,7 mil dólares. Aumentar en un 10% el presupuesto, significa contar con 140 dólares adicionales, los que harían aumentar el valor de la función objetivo en 140 x 0,7 i) El gerente de recursos humanos, también incentivado por el manifiesto interés del público por ver a Lionel Richie, sugiere destinar más horas-hombre para la producción de la gira. Específicamente, se plantea la posibilidad de aumentar en un 10% las horas disponibles de profesionales, lo que tendría un costo adicional de 10 mil dólares. ¿Es conveniente para PS MEDIOS realizar esta inversión con el fin de incrementar las horas hombre dedicadas a la producción de la gira? Fundamente su respuesta Restricción de horas de profesionales tiene un precio sombra de 0,4. Aumentar en un 10% las horas disponibles significa contar con 100 horas adicionales, las que permitirían incrementar el valor de la función objetivo en 0,4x100 = 40 mil dólares. Como el costo de realizar esta inversión es de 10 mil dólares, sí le conviene.
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