Ayudantía 05

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2014
Ayudantía 5 – Geometría Vectorial
EAA-251 Métodos de Optimización
8 de Octubre de 2014
Profesores: Pascuala Domínguez 
Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Magdalena Donetch
	Ayudante Jefe: Raimundo Gana
EJERCICIO 1
Un cuerpo celeste i es cualquier objeto que tiene una localización dada por el vector xi respecto del origen, el cual supondremos que está en el centro del planeta Tierra. A modo de simplificación, supongamos que xi está en el octante positivo, es decir, que sus componentes poseen valores no-negativos, como por ejemplo un asteroide que muestra la ilustración. Cada observatorio j tiene una localización oj y apunta al cuerpo i con un vector de observación aj,i.
 
Las preguntas a continuación suponen que los cuerpos celestes tienen una posición estática con respecto al sistema de ejes de la figura.
a) Muestre la manera en que se puede estimar xi conociendo oj y aj,i de dos observatorios. Asumiendo que la información oj y aj,i es muy precisa, pero no perfecta, ¿es seguro que con esa información se pueda encontrar xi?
b) Como alternativa, plantee una técnica que, con los mismos tipos de datos, siempre se pueda obtener obtenga una ubicación xi. Para ello, recuerde que tres planos “oblicuos” (linealmente independientes) siempre se intersectan. ¿Cuál es la mínima cantidad de observatorios que se necesita para esta técnica de ubicación? ¿Qué utilidad podría tener disponer de varios observatorios?
c) De acuerdo al modelo geocéntrico planteado por el astrónomo greco-egipcio Ptolomeo (100-170) , la tierra es el centro del universo. Cada cuerpo celeste gira alrededor de la tierra en una órbita circular de radio R que está en un plano orbital que pasa por el centro de la tierra, y cuyo vector normal (del plano) es p. Asumiendo conocidos R y p, exprese las dos ecuaciones vectoriales que determinan la posición xi del cuerpo i; la primera ecuación hace que i pertenezca al plano orbital y la segunda hace que la órbita sea circular.
d) Dada la baja precisión de los instrumentos de observación de esa época, la mayoría de los astros cumplían con el modelo geocéntrico de Ptolomeo. Sin embargo, unos pocos cuerpos celestes llamados “planetas” tenían un comportamiento extraño: en vez de describir órbitas circulares, parecían detenerse y retroceder en el firmamento.
Para resolver este enigma, se planteó que los planetas describían dos órbitas circulares, tal como se muestra en la ilustración. Una pequeña de radio E llamada epiciclo, alrededor de un eje ei. A su vez el eje ei gira alrededor de la Tierra en una órbita grande de radio F llamada deferente.
Exprese las ecuaciones que determinan la posición ci del planeta i de acuerdo al modelo de Ptolomeo. Suponga que el epiciclo y el deferente están en el mismo plano orbital.
PAUTA
 a) Definimos lj,i como un escalar asociado a la expresión vectorial de una recta que va desde oj hacia xi con dirección aj,i, es decir, oj + lj,i aj,i. La posición xi es la intersección entre ambas rectas.
Dado que la información no es perfecta, no es seguro que las rectas se intersecten. Si no lo hacen, no se obtendrá ningún xi.
b) Estimaremos xi como la intersección de los siguientes tres planos de la ilustración:
El plano que pasa por o1 con vectores-generadores a1,1 y a2,1, es decir: o1 + l1,1 a1,1 + l2,1 a2,1.
o2 + l2,1 a2,1 + l3,1 a3,1.
o3 + l3,1 a3,1 + l1,1 a1,1.
Para esta técnica sólo se necesitan tres observatorios. Sin embargo, la información no es perfecta así es que la estimación usando tres observatorios puede ser errada. La utilidad de tener varios observatorios es que se pueden tomar tríos de observatorios y con ello generar varias estimaciones. El promedio de todas ellas es la localización más probable del cuerpo celeste.
c) Las ecuaciones son las siguientes:
El cuerpo i pertenece al plano orbital que pasa por el origen: p • xi = 0.
La órbita es circular: ||xi|| = R.
d) Expresamos xi como la suma de un vector ei que corresponde al eje del epiciclo y que se mueve en el deferente, otro vector fi que va desde el eje del epiciclo al planeta, es decir, xi = ei + fi. Las ecuaciones son las siguientes:
El epiciclo del planeta i pertenece al plano orbital: p • fi = 0.
El deferente del planeta i pertenece al plano orbital: p • ei = 0.
La órbita del epiciclo es circular alrededor de ei: ||fi|| = E.
La órbita del eje del epiciclo (el deferente) es circular: ||ei|| = F.
EJERCICIO 2
A raíz del terremoto, una casa ubicada a 2 metros de altura (sobre z=0) se hundió pero de manera desequilibrada. Sólo la esquina derecha de la parte de atrás de la casa (C) quedó en la posición original. Sus esquinas frontales se hundieron 1 metro la derecha (A)y 2 metros la izquierda (B).
 Sus vértices quedaron ubicados en las siguientes coordenadas:
A=(8,-5,1) B=(6,-8,0) C=(0,0,2)
a)  ¿Cuál es el largo y ancho de la casa?
b) Determine la ecuación del plano que contiene el piso de la casa. Expréselo de dos formas distintas. 
c) ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para determinar las coordenadas del punto D (esquina trasera izquierda de la casa)? Encuentre ese punto. 
d) Si la casa tiene una altura de 5 metros, ¿Cuáles son las condiciones para encontrar las coordenadas de las esquinas superiores? Encuentre ese punto
PAUTA
o
1
o
2
o
3
zyxx
1
a
3,1
MarteTierraDeferenteEpicicloTierraDeferentee