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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Segundo Semestre 2017 Ayudantía 5 Pauta Ejercicio 3 - Geometría Vectorial EAA251A Métodos de Optimización 4 y 5 de Octubre de 2017 Profesores: Marcos Singer Antonio Aninat Christian Villalobos Ayudante: Leonor Castro Mail Ayudante: mlcastro1@uc.cl Ayudante Jefe Cátedra: Miguel Pérez Ejercicio 3 (Propuesto) Un cuerpo celeste i es cualquier objeto que tiene una localización dada por el vector xi respecto del origen, el cual supondremos que está en el centro del planeta Tierra. A modo de simplificación, supongamos que xi está en el octante positivo, es decir, que sus componentes poseen valores no-negativos, como por ejemplo un asteroide que muestra la ilustración. Cada observatorio j tiene una localización oj y apunta al cuerpo i con un vector de observación aj,i Las preguntas a continuación suponen que los cuerpos celestes tienen una posición estática con respecto al sistema de ejes de la figura. a) Muestre la manera en que se puede estimar xi conociendo oj y aj,i de dos observatorios. Asumiendo que la información oj y aj,i es muy precisa, pero no perfecta, ¿es seguro que con esa información se pueda encontrar xi? b) Como alternativa, plantee una técnica que, con los mismos tipos de datos, siempre se pueda obtener obtenga una ubicación xi. Para ello, recuerde que tres planos “oblicuos” (linealmente independientes) siempre se intersectan. ¿Cuál es la mínima cantidad de observatorios que se necesita para esta técnica de ubicación? ¿Qué utilidad podría tener disponer de varios observatorios? Pauta a) Definimos lj,i como un escalar asociado a la expresión vectorial de una recta que va desde oj hacia xi con dirección aj,i, es decir, oj + lj,i aj,i. La posición xi es la intersección entre ambas rectas. Dado que la información no es perfecta, no es seguro que las rectas se intersecten. Si no lo hacen, no se obtendrá ningún xi. b) Estimaremos xi como la intersección de los siguientes tres planos de la ilustración: El plano que pasa por o1 con vectores-generadores a1,1 y a2,1, es decir: o1 + l1,1 a1,1 + l2,1 a2,1. o2 + l2,1 a2,1 + l3,1 a3,1. o3 + l3,1 a3,1 + l1,1 a1,1. Para esta técnica sólo se necesitan tres observatorios. Sin embargo, la información no es perfecta así es que la estimación usando tres observatorios puede ser errada. La utilidad de tener varios observatorios es que se pueden tomar tríos de observatorios y con ello generar varias estimaciones. El promedio de todas ellas es la localización más probable del cuerpo celeste. o 1 o 2 o 3 zyxx 1 a 3,1
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