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Ayudantía6-DEAyKKT_ConPautaEjercicio1 by2_

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Primer Semestre 2018
Ayudantía 6 – DEA y KKT
EAA251A Métodos de Optimización
16 y 17 de Mayo de 2018
Profesores: Marcos Singer
Antonio Aninat
Christian Villalobos
Ayudante: Tomás Jankelevich
Mail Ayudante: tjankelevich@uc.cl
	Ayudante Jefe Cátedra: Miguel Pérez
Ejercicio 1
En Chile existen entidades privadas sin fines de lucro denominadas Cajas de Compensación. Estas entidades son las encargadas de procesar las licencias médicas de los cotizantes de FONASA, hacer préstamos a los trabajadores de las empresas afiliadas, entregar beneficios como noches en centros vacacionales, descuentos en retail, bonos por hijos, matrimonios, etc… Además, estas entidades participan en el mercado financiero, teniendo colocaciones (principalmente en los trabajadores) y captaciones (que van desde bonos y efectos de comercio hasta deudas con privados). Actualmente hay 10 cajas de Compensación (LH, LA, LAR, GB, 18, LB, CA, CC, CD y FB) que su desempeño es medido en 4 dimensiones distintas:
· Velocidad de procesamiento de licencias
· Tasa de interés cobrada en los créditos
· Beneficios a los afiliados
· Colocaciones
Cada entidad tiene un enfoque y desempeño distinto en cada una de estas variables, como muestra la Tabla 1.
Tabla 1
Adicional a lo anterior usted tiene 4 Cajas de Compensación adicionales, pero con la particularidad que se especializan cada una en solo una dimensión como muestra Tabla 2.
Tabla 2
a) Exprese de la forma el ente geométrico que coincide con la frontera formada por las Cajas de Compensación especializadas.
b) Exprese de la forma el ente geométrico que coincide con la frontera formada con las Cajas de Compensación especializadas.
c) ¿Está la caja de Compensación CC Dominada en forma colectiva por algún grupo de Cajas? Explique y justifique.
d) ¿Formará la caja de Compensación LA parte de la frontera eficiente? Explique y justifique.
Responda las siguientes preguntas con la ayuda de la Tabla 3.
Tabla 3
e) ¿Es LH una Caja de Compensación eficiente? ¿Qué tan eficiente/ineficiente es? Explique su respuesta.
f) ¿Cuáles son los vértices que determinan la frontera eficiente para LH? Fundamente su respuesta.
g) ¿Sería válido el análisis anterior si LH atacara a un sector socioeconómico distinto que las otras Cajas? Explique su respuesta.
Ejercicio 2 (Propuesto)
Durante el curso usted ha visto que las condiciones de optimalidad de KKT indican que, para que un punto sea óptimo, debe ser factible y todos los precios sombra de las restricciones de desigualdad “≤” deben ser positivos. Además de lo visto en clases, las condiciones de KKT se pueden extender a restricciones de igualdad, con la diferencia que no se exige un signo para el valor (puede ser negativo o positivo) para asegurar optimalidad y, obviamente, esta restricción siempre es activa. La interpretación de los precios sombra para estas restricciones es la misma que para las restricciones de igualdad. Es decir, una variación unitaria en el lado derecho produce una variación del valor óptimo de la función objetivo igual al precio sombra, siempre y cuando el óptimo sea no-degenerado. En el presente problema usted deberá utilizar los resultados de KKT y precios sombras al problema DEA, el cual posee una restricción de igualdad.
Considere el problema de DEA con dos indicadores de desempeño P y Q y con 3 vectores de observación: (2, 4)T, (4, 3)T y (5, 2)T.
1. Grafique los vectores en el espacio P-Q, indicando el área envolvente e indique qué vectores son eficientes e ineficientes. 
1. Escriba el problema de optimización lineal para los datos particulares recién entregados. Indique la cantidad de variables y restricciones. 
Usted desea evaluar el desempeño del vector (3, 4)T.
1. Resuelva gráficamente cuáles son los vectores benchmark, determine cuáles restricciones son activas y, utilizando el problema de optimización del DEA, encuentre la solución óptima del problema. ¿Cuál es la eficiencia del vector? 
1. Utilizando el resultado en c), determine los precios sombra y compruebe que la solución entregada es óptima. 
1. Interprete gráficamente el precio sombra de la restricción de combinación lineal del indicador de desempeño P (primera componente de la restricción vectorial de problema de optimización del DEA). Para ello dibuje un gráfico que muestre cómo varía el área factible ante una variación marginal del lado derecho de la restricción. 
1. Interprete gráficamente el precio sombra de la restricción de convexidad (sumatoria igual a uno). Utilice el mismo tipo de gráfico de la pregunta e). 
Ahora, usted desea evaluar el desempeño del vector (1, 4) T.
1. Análogamente a c) y d), encuentre la solución óptima, el valor del índice de eficiencia, determine los precios sombra y compruebe la optimalidad de la solución encontrada. 
1. Similarmente a e), interprete gráficamente el precio sombra de la restricción asociada al indicador de desempeño Q. 
Ejercicio 3 (Propuesto)
Una empresa de telecomunicaciones funciona con cuatro gerencias del área de operaciones: Atención Clientes, Red de Servicios, Red de Acceso, y Red Básica. Las dotaciones respectivas son de 100, 350, 300 y 400 técnicos. La planificación anual determina las metas de venta de sus cuatro servicios, en términos de las siguientes variables de decisión.
x	Nº de soluciones a la medida de servicios de datos con conexiones de fibra y cableado. El margen unitario es de 220 MUS$ (miles de dólares).
y	Nº de servicios de datos con conexiones de fibra y cableado. El margen unitario es de 110 MUS$.
z	Nº de conexiones de fibra y cableado. El margen unitario es de 60 MUS$.
w	Nº de conexiones de fibra óptica. El margen unitario es de 40 MUS$.
Los diferentes servicios tienen distintos requerimientos de número de técnicos.
· Cada solución a la medida de servicios de datos con conexiones de fibra y cableado (representado por x) demanda 2 técnicos de la gerencia de Atención Clientes, 1 de Red de Servicios, 3 técnicos de Red de Acceso y 2 de Red Básica.
· Cada servicio de datos con conexiones de fibra y cableado (y) demanda 3 técnicos de Red de Servicios, 1 técnico de Red de Acceso y 1 de Red Básica.
· Cada conexión de fibra y cableado (z) demanda 1 técnico Red Acceso y 2 Red Básica.
· Cada conexión de fibra óptica (w) demanda 4 técnicos de Red Básica.
A partir de lo anterior responda:
a) Modele el programa lineal que maximiza el margen de la empresa. 
b) Encuentre la solución óptima del problema y demuestre que cumple el teorema de KKT.
c) ¿Cuál es el beneficio marginal de contratar un técnico adicional en la gerencia de red básica? Fundamente su respuesta.
Pauta Ejercicio 1 Letra B
Nos piden expresar como producto punto la frontera eficiente con las cajas especializadas. Como las cajas especializadas tienen valor 40, 30, 20, 15. Entonces debemos encontrar valores (v) que al multiplicar por cada una de estas cajas (x) nos den la frontera eficiente. 
Siendo C=120, tenemos que encontrar valores de V para llegar a lo siguiente:V•(40,30,20,15)=120. Al ser producto punto sabemos que cada uno de los anteriores debe cumplir lo siguiente: V*40=120, V*30=120, V*20=120, V*15=120. Con esto encontramos que para el primer caso V debe ser 3, para el segundo 4, para el tercero 6 y para el último 8.
La respuesta definitiva es: (3,4,6,8)•X=120
Pauta Ejericio 2
1. Grafique los vectores en el espacio P-Q, indicando el área envolvente e indique qué vectores son eficientes e ineficientes
1. Escriba el problema de optimización lineal para los datos particulares recién entregados. Indique la cantidad de variables y restricciones.
donde se tiene:
· 4 variables: los ponderadores de los vectores observación, y el multiplicador del vector a evaluar 
· 6 restricciones: las 2 de la restricción de combinación lineal (una por cada indicador de desempeño), la restricción de convexidad y las 3 restricciones de no-negatividad de los ponderadores del vector observación. La variable no tiene restricción de signo.
Usted desea evaluar eldesempeño del vector (3, 4)T.
1. Resuelva gráficamente cuáles son los vectores benchmark, determine cuáles restricciones son activas y, utilizando el problema de optimización del DEA, encuentre la solución óptima del problema. ¿Cuál es la eficiencia del vector?
El vector sale de la frontera, por lo que debe ser eficiente, los benchmark son e , por lo que el multiplicador tiene valor cero. Se está dentro de la combinación lineal convexa de los vectores observación (no hay holguras de ineficiencia), por lo que las restricciones de combinación lineal son activas.
De lo anterior se deduce el siguiente sistema de ecuaciones y su solución:
El indicador de eficiencia por lo que el vector evaluado es más eficiente que los observados.
1. Utilizando el resultado en c), determine los precios sombra y compruebe que la solución entregada es óptima.
Las restricciones activas la función objetivoson:
por lo que se tiene que la ecuación de KKT 
que origina el siguiente sistema de ecuaciones para los precios sombra
cuya solución es:
La solución claramente cumple todas las restricciones (se construyó así), los valores de los multiplicadores son todos positivos (aunque no era necesario que el multiplicador lo fuera y, si la restricción de igualdad se multiplicara por -1 sería igualmente válida y el valor del multiplicador también estaría multiplicado por -1) por lo que la solución es óptima
1. Interprete gráficamente el precio sombra de la restricción de combinación lineal del indicador de desempeño P (primera componente de la restricción vectorial de problema de optimización del DEA). Para ello dibuje un gráfico que muestre cómo varía el área factible ante una variación marginal del lado derecho de la restricción.
La restricción en cuestión está relacionada con una de las dos dimensiones de los vectores. Esta restricción exige que esté dentro de la frontera formada por la combinación lineal de los vectores . 
Sólo se modifica la restricción que tiene que ver con P, quedando activas la de no-negatividad (por lo que ) y la de convexidad (utilizando que ). Dado esto último, el vector siempre tendrá que estar en el segmento formado por los vectores . 
La restricción en cuestión (utilizamos que ) es . Si sumamos una variación marginal al lado derecho de esta restricción tenemos que la restricción queda . Vale decir, que el segmento de la frontera de eficiencia se mueve paralelamente en el eje P, en una cantidad , tal como lo muestra la siguiente figura:
1. Interprete gráficamente el precio sombra de la restricción de convexidad (sumatoria igual a uno). Utilice el mismo tipo de gráfico de la pregunta e).
Al igual que en el caso anterior, la restricción de no-negatividad de sea activa (por lo que ). Siguen siendo activas las restricciones de combinación lineal y hay una variación marginal en la restricción . Esta restricción es la que exige que esté sobre la recta que une los vectores . Al tener una variación marginal sobre la restricción de convexidad 
, se tiene que la recta está sobre los vectores . Esto equivale a que el vector se mueve paralelamente, multiplicando cada benchmark por . A diferencia del caso anterior, el segmento no mantiene su tamaño. El cambio se puede ver en la siguiente figura. 
Note que, como la restricción es de igualdad, dependiendo de cómo se escriba su vector normal, la dirección hacia donde se mueve el segmento puede cambiar.
Ahora, usted desea evaluar el desempeño del vector (1, 4)T.
1. Análogamente a c) y d), encuentre la solución óptima, el valor del índice de eficiencia, determine los precios sombra y compruebe la optimalidad de la solución encontrada.
Ahora el vector está justo en la frontera, por lo que es igualmente eficiente que el resto. El único benchmark es , por lo que y tienen valor cero. Hay holgura de ineficiencia en P, por lo que sólo la primera restricción de combinación lineal es activa. 
De lo anterior se deduce el siguiente sistema de ecuaciones y su solución:
El indicador de eficiencia por lo que el vector evaluado es tan eficiente como los observados.
Con las restricciones activas mencionadas en se tiene que la ecuación de KKT es:
Que origina un sistema de ecuaciones cuya solución es:
La solución claramente cumple todas las restricciones (se construyó así), los valores de los multiplicadores son todos positivos (aunque no era necesario que el multiplicador lo fuera) por lo que la solución es óptima
1. Similarmente a e), interprete gráficamente el precio sombra de la restricción asociada al indicador de desempeño Q. 
En este caso el precio sombra es mayor que cero, por lo que un aumento marginal en el lado derecho de la restricción activa produce un aumento en el valor de la función objetivo .
La variación sería . Luego, la frontera eficiente se mueve sólo con respecto al indicador de desempeño Q, hacia el origen, tal como se muestra en la siguiente figura:
Caja de CompensaciónVelocidad de licenciasAhorro por tasaBeneficios a afiliadosColocaciones
LH80908080
LA50542015
LAR40904080
GB80409050
1850304075
LB40803070
CA40704070
CC90809080
CD80908070
FB60706050
Caja de CompensaciónVelocidad de licenciasAhorro por tasaBeneficios a afiliadosColocaciones
Caja A40000
Caja B03000
Caja C00200
Caja D00015
Caja de CompensaciónLambda
LH1.00
LA0.00
LAR0.00
GB0.00
180.00
LB0.00
CA0.00
CC0.00
CD0.00
FB0.00
LH

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