Ayudantía8-SimplexEconómico_EjercicioPropuestoconPauta_

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Primer Semestre 2018
Ayudantía 8 – Simplex Económico
EAA251A - Métodos de Optimización
20 y 21 de Junio de 2018
Profesores: Marcos Singer
Christian Villalobos
Aninat Antonio
Ayudante: José Herrera 
Mail Ayudante: joherrera@uc.cl
Ayudante Jefe Cátedra: Miguel Pérez
Pregunta 1
Viña Maulina es una empresa familiar vitivinícola ubicada en el valle del Maule, en la séptima región de Chile. Esta zona, conocida como la cuna del vino chileno, es principalmente famosa por sus variedades tintas como cabernet sauvignon, carmenere y malbec. Estas tres variedades son las que produce Viña Maulina, las que son envasadas en botellas de 750 cc. y empacadas en cajas de 12 unidades que son comercializadas en Santiago.
La viña enfrenta una demanda mensual máxima de 800 cajas de cabernet sauvignon. En el caso de carmenere y malbec, la demanda total que enfrentan esas variedades en conjunto es de 240 cajas al mes (es decir, considerando la suma de ambos tipos de vinos) 
El proceso de elaboración de cada variedad de vino es diferente y, en consecuencia, tienen costos distintos. En términos de materias primas e insumos de producción, cada caja de carmenere tiene un costo de $18.000. La elaboración de las otras variedades tiene costos diferentes, todos los cuales deben ser financiados con el presupuesto total de $7.000.000 con el que cuenta la empresa todos los meses para cubrir costos de materias primas e insumos de producción.
En términos de horas de fabricación y embotellamiento, Viña Maulina cuenta con una cierta cantidad de horas al mes en su planta ubicada en el valle del Maule. Estas horas de planta pueden ser utilizadas para producir cualquiera de las variedades de vino, aunque el tiempo requerido difiere según el tipo. Por ejemplo, para producir una caja de vinos cabernet sauvignon se requiere de 1,5 horas de planta.
Luego del proceso de elaboración y embotellamiento, todas las cajas de vino producidas por Viña Maulina son transportadas en camiones a Santiago para su comercialización en tiendas especializadas. Dada su limitada capacidad de transporte, la empresa no puede distribuir más de una determinada cantidad de cajas de vino al mes, de cualquier tipo. 
La venta de una caja de carmenere significa una utilidad de $30.000 para la viña. Los márgenes de utilidad obtenidos con la venta de cabernet sauvignon y malbec son diferentes. La viña debe planificar su producción mensual de vino con el objetivo de maximizar sus utilidades.
Los siguientes tableaus representan algunos de los vértices asociados al problema lineal de decisión que enfrenta Viña Maulina:
Tableau A
	8
	6
	0
	0
	0
	0
	-8
	0
	-8.000
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	800
	-0,3
	0,4
	0
	0
	1
	0
	-0,2
	0
	40
	9
	6
	0
	0
	0
	1
	-4
	0
	3.000
	0,3
	0,6
	1
	0
	0
	0
	0,2
	0
	200
	0,7
	0,4
	0
	0
	0
	0
	-0,2
	1
	200
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Tableau B
	
	
	
	
	
	
	
	
	12,5
	0
	0
	0
	-15
	0
	-5
	0
	-8.600
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	800
	-0,75
	1
	0
	0
	2,5
	0
	-0,5
	0
	100
	13,5
	0
	0
	0
	-15
	1
	-1
	0
	2.400
	0,75
	0
	1
	0
	-1,5
	0
	0,5
	0
	140
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
	
Tableau C
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	0
	0
	-2,5
	0
	-5
	-12,5
	-10.600
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	-1
	640
	0
	1
	0
	0
	1,75
	0
	-0,5
	0,75
	220
	0
	0
	0
	0
	-1,5
	1
	-1
	-13,5
	240
	0
	0
	1
	0
	-0,75
	0
	0,5
	-0,75
	20
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
	
Tableau D
	
	
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	0
	0
	5
	-5
	0
	55
	-11.800
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	-1
	640
	0
	1
	0
	0
	2,5
	-0,5
	0
	7,5
	100
	0
	0
	1
	0
	-1,5
	0,5
	0
	-7,5
	140
	0
	0
	0
	0
	1,5
	-1
	1
	13,5
	-240
	1
	0
	0
	0
	-1
	0
	0
	1
	160
A partir de la información entregada, responda:
a) Modele linealmente el problema que enfrenta Viña Maulina, definiendo claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones 
b) ¿Cuál es el nivel óptimo de producción para la empresa?, ¿cuántas cajas de cada variedad produciría y qué nivel de utilidad alcanzaría? 
c) En el óptimo, ¿cuáles restricciones son activas y cuáles son sus precios sombra? 
d) Demuestre usando el teorema de KKT que los precios sombras encontrados en la pregunta anterior son los correctos 
e) Suponga que se encuentra en una situación en que sólo produce 200 cajas de malbec (y nada de las otras variedades). A partir de esta situación, ¿cuánto ganaría si decide comenzar a producir carmenere? ¿Se cumple lo que dice el enunciado de que “La venta de una caja de carmenere significa una utilidad de $30.000 para la viña”? Fundamente su respuesta 
Para contestar las siguientes preguntas, asuma que Viña Maulina se encuentra en su nivel óptimo de producción:
f) Analice qué pasaría con la solución óptima y el nivel de utilidad alcanzado si la viña aumenta en un 10% el presupuesto destinado a la compra de materias primas e insumos de producción. Fundamente su respuesta 
g) Una campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por carmenere y malbec. ¿Cuánto estaría dispuesta la viña a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta 
h) Otra campaña publicitaria permite aumentar en un 5% la demanda máxima por cabernet sauvignon. ¿Cuánto estaría dispuesta la empresa a invertir mensualmente en esa campaña? Fundamente su respuesta 
i) Viña Maulina tiene como alternativa arrendar maquinarias que le permitirían contar con 200 horas de planta adicionales cada mes. Si el costo de esta medida es de $1 millón de pesos mensuales, ¿qué le conviene hacer a la empresa? Fundamente su respuesta 
Pregunta 2 (Propuesto)
La Caja de Compensación LOS ALPES cuenta con un presupuesto anual de $200.000.000 para organizar actividades para sus adultos mayores afiliados. 
Los adultos mayores que están afiliados a LOS ALPES pueden inscribirse en alguna de las siguientes actividades:
· Talleres artístico – culturales
· Viajes y turismo
· Diplomados y cursos
· Deportes
Por cada millón de pesos destinado a diplomados y cursos, se pueden atender 400 adultos mayores. La inversión en los diferentes tipos de actividades permite alcanzar diferentes cantidades de afiliados atendidos.
La caja de compensación tiene un staff de 120 jóvenes trabajando a tiempo completo en el área del adulto mayor. Estos jóvenes pueden monitorear y hacerse cargo de cualquiera de los 4 tipos de actividades que se ponen a disposición de los afiliados. Por ejemplo, por cada millón de pesos invertido en talleres artístico - culturales, se requiere de 2 jóvenes trabajando a tiempo completo para organizar los talleres e impartirlos. Cada tipo de actividad requiere el trabajo de un cierto número de jóvenes funcionarios de la Caja.
La Dirección de LOS ALPES ha establecido que se debe invertir no más de un 50% del presupuesto anual en Diplomados y Cursos, debido a que les interesa potenciar una mayor actividad cultural de sus afiliados. De la misma forma, se ha decidido que se debe destinar al menos un 20% del presupuesto en los talleres artísticos y culturales.
Finalmente, debido a la limitada infraestructura deportiva a la que puede acceder la Caja de Compensación, no es posible destinar más de $50 millones de pesos a deportes.
A continuación se muestran una serie de tableaus que representan a diferentes vértices asociados al problema. Cada tableau se identifica con una letra (A-B-C-D-E) 
A partir de esta información, responda:
a) Modele el problema como programa lineal, definiendo claramente las variables, función objetivo y restricciones. 
b) Determine la solución óptima del problema. ¿Cuántas dimensiones tiene la solución óptima? 
c) ¿Cuántos afiliados podrán participar en actividades de LOS ALPES como máximo? 
d) ¿Qué restricciones son activas en el óptimo? 
e) A partir de la información presentada en el tableau óptimo, ¿cuáles son los precios sombra de las restricciones activas?, ¿y de las no activas? 
f) Compruebe que los precios sombra determinados en (e) son los correctos utilizando el Teorema de KKT 
g) A partir del tableau C: 
a. ¿Qué tipo de actividades está realizando la Caja en ese punto? 
b. ¿Le conviene comenzar a impartir otro tipo deactividades para sus afiliados? Si es así, ¿cuáles? 
c. El enunciado dice: “Por cada millón de pesos destinado a diplomados y cursos, se pueden atender 400 adultos mayores”. Al estar en C, ¿se cumple que al destinar $1 millón a diplomados y cursos se pueden atender 400 adultos mayores adicionales? ¿Cuántos adultos mayores atendidos logra realmente atender de manera adicional al destinar $1 millón a diplomados y cursos? Explique claramente. 
Suponga que se está destinando el presupuesto según lo determinado por la solución óptima. A partir de esta decisión, responda:
h) El Director del área del adulto mayor de la Caja de Compensación ha logrado conseguir un mayor presupuesto para las actividades de sus afiliados. Específicamente, el área cuenta ahora con $20 millones adicionales para organizar actividades para sus adultos mayores. ¿Cuántos afiliados podría atender con esta nueva cantidad de recursos? Justifique claramente su respuesta. 
i) El Director se ha impuesto como meta lograr que 21.000 adultos mayores accedan a actividades de LOS ALPES. Sin cambiar las restricciones de presupuesto mínimo y máximo destinados a diferentes tipos de actividades, ¿qué opciones tiene el Director para cumplir su meta? 
Suponga ahora que el Director del área ha fijado como meta alcanzar los 24.000 afiliados en actividades de la Caja. ¿Qué tendría que hacer para lograrlo? Considere que tiene total libertad para destinar el presupuesto como usted lo estime conveniente y que no es posible conseguir más recursos (presupuesto y/o personas). Justifique claramente su respuesta. 
Pauta Ejercicio 2 (Propuesto)
a) Modele el problema como programa lineal, definiendo claramente las variables, función objetivo y restricciones. (10 puntos)
Para hacer la modelación, es necesario construir el tableau original (pívot de reversa)
x1: millones de pesos destinados a talleres artísticos y culturales
x2: millones de pesos destinados a viajes y turismo
x3: millones de pesos destinados a diplomados y cursos
x4: millones de pesos destinados a deportes
Maximizar 300 x1 + 200 x2 + 400 x3 + 500 x4
Sujeto a:
	x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 200	(Restricción presupuestaria)
	2x1 + x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 120	(Personas)
	x3 ≤ 100			(Máximo de presupuesto en diplomados y cursos)
	x4 ≤ 50				(Máximo de presupuesto en deportes)
	x1 ≥ 40				(Mínimo de presupuesto en talleres artísticos)
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
b) Determine la solución óptima del problema. ¿Cuántas dimensiones tiene la solución óptima? (2 puntos)
Óptimo: tableaus D y E. El óptimo no es único: es un borde de 1 dimensión. 
Óptimos: 	(x1 = 40, x2 = 0, x3 = 20 , x4 = 0) Tableau D
		(x1 = 40, x2 = 40, x3 = 0 , x4 = 0) Tableau E
c) ¿Cuántos afiliados se podría atender como máximo? (1 punto)
20.000 
d) ¿Qué restricciones son activas en el óptimo? (2 puntos)
Tableau D: no negatividad de x2 y x4, restricción de personas y mínimo de presupuesto invertido en talleres artísticos.
Tableau E: no negatividad de x3 y x4, restricción de personas y mínimo de presupuesto invertido en talleres artísticos.
e) A partir de la información presentada en el tableau óptimo, ¿cuáles son los precios sombra de las restricciones activas?, ¿y de las no activas? (4 puntos)
Precios sombra restricciones activas:
Tableau D: 
· no negatividad de x2 = 0
· no negatividad de x4 = 300
· restricción de personas = 200
· mínimo de presupuesto destinado a talleres artísticos = 100
Tableau E: 
· no negatividad de x3 = 0
· no negatividad de x4 = 300
· restricción de personas = 200
· mínimo de presupuesto destinado a talleres artísticos = 100
Precios sombra de restricciones no activas = 0
f) Compruebe que los precios sombra determinados en (e) son los correctos utilizando el Teorema de KKT (8 puntos)
 (0, 0, -1, 0) +  (0, 0, 0, -1) +  (2, 1, 2, 4) +  (-1, 0, 0, 0) = (300, 200, 400, 500)
 = 0,  = 300,  = 200,  = 100
g) A partir del tableau C: 
a. ¿Qué tipo de actividades está realizando la Caja en ese punto? (1 punto)
Sólo talleres artísticos
b. ¿Le conviene comenzar a impartir otro tipo de actividades para sus afiliados? Si es así, ¿cuáles? (1 punto)
Sí, le conviene realizar actividades de viaje y turismo y diplomados y cursos
c. El enunciado dice: “Por cada millón de pesos destinado a diplomados y cursos, se pueden atender 400 adultos mayores”. Al estar en C, ¿se cumple que al destinar $1 millón a diplomados y cursos se pueden atender 400 adultos mayores adicionales? ¿Cuántos adultos mayores atendidos logra realmente atender de manera adicional al destinar $1 millón a diplomados y cursos? Explique claramente. (3 puntos)
Al destinar recursos a diplomados y cursos a partir de este punto, no se ganan 400 afiliados atendidos adicionales sino sólo 100. Esto porque al moverse por ese borde, al aumentar en 1 millón la inversión en diplomados debe reducirse la inversión en talleres artísticos. De esta forma, se ganan 400 afiliados atendidos por diplomados, pero se pierden 300 por la disminución de la inversión en talleres artísticos. Como resultado, se ganan solo 100 adultos mayores atendidos adicionales.
Suponga que se está destinando el presupuesto según lo determinado por la solución óptima. A partir de esta decisión, responda:
h) El Director del área del adulto mayor de la Caja de Compensación ha logrado conseguir un mayor presupuesto para las actividades de sus afiliados. Específicamente, el área cuenta ahora con $20 millones adicionales para organizar actividades para sus adultos mayores. ¿Cuántos afiliados podría atender con esta nueva cantidad de recursos? Justifique claramente su respuesta (4 puntos)
No alcanzará afiliados atendidos adicionales. La restricción presupuestaria no es activa en el óptimo
i) El Director se ha impuesto como meta lograr que 21.000 adultos mayores accedan a actividades de LOS ALPES. Sin cambiar las restricciones de presupuesto mínimo y máximo destinados a diferentes tipos de actividades, ¿qué opciones tiene el Director para cumplir su meta? (4 puntos)
En el óptimo, 1 persona más en el staff permitirá atender a 200 adultos mayores adicionales. Por lo tanto, necesita 5 personas adicionales para alcanzar los 1.000 nuevos afiliados atendidos
j) Suponga ahora que el Director del área ha fijado como meta alcanzar los 24.000 afiliados en actividades de la Caja. ¿Qué tendría que hacer para lograrlo? Considere que tiene total libertad para destinar el presupuesto como usted lo estime conveniente y que no es posible conseguir más recursos (presupuesto y/o personas). Justifique claramente su respuesta. (5 puntos)
La opción es eliminar la restricción de invertir al menos un 20% del presupuesto en talleres artísticos. Si esta restricción no existiera se podría alcanzar el tableau B y conseguir los 24.000 afiliados atendidos. El óptimo sería invertir $60 millones en diplomados y cursos y nada más.
1
507515000-125000-15.000
0,50,750,501-0,25000170
0,50,250,5100,2500030
001000100100
-0,5-0,25-0,500-0,2501020
-100000001-40
-10000-3000-200000-24.000
010-11-1000140
10,51200,500060
-1-10-20-110040
00010001050
-100000001-40
050100-1000-150000-18.000
00,50-11-0,5000140
10,51200,500060
001000100100
00010001050
00,51200,500120
000-3000-20000-100-20.000
00,50-11-0,5000140
10000000-140
0-0,50-20-0,510-180
00010001050
00,51200,500120
000-3000-20000-100-20.000
00-1-31-100-1120
10000000-140
001000100100
00010001050
01240100240
D
E
A
B
C
300200400500000000
111110000200
212401000120
001000100100
00010001050
-100000001-40