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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Primer semestre 2020 Ayudantía 1 – Optimización Gráfica EAA251A Métodos de Optimización Ayudante: Luis Muñoz Mail Ayudante: luismunoz@uc.cl Ayudante Jefe Cátedra: Nicolás Veloso Ejercicio 1 La Agencia de Calidad de la Educación vela por orientar a los establecimientos educacionales en su gestión. Para esto, ellos se dedican a hacer visitas a los establecimientos y ver su funcionamiento para luego emitir informes de gestión. Las visitas pueden ser de dos tipos distintos, las cuales se diferencian por aspectos técnicos que se van a analizar dentro del establecimiento. - Integral: En este tipo de visitas se mide y orienta a la institución sobre aspectos más bien globales, como infraestructura, bienestar de los alumnos u otros... - Contenidos: En esta evaluación se mide las áreas curriculares como comprensión lectora, escritura, matemáticas, etc. Tanto la visita integral como la visita de contenidos tienen un costo de 45 mil pesos, pero la visita de contenidos cuenta con un subsidio del Ministerio de Educación a la Agencia de 15 mil pesos por cada visita. La agencia de la calidad cuenta con un presupuesto (sin considerar subsidio) de 18 millones de pesos. La Agencia cuenta con 2.400 horas de trabajadores, las cuales pueden ser repartidas tanto en visitas integrales como visitas de contenidos. Cada visita integral requiere de 4 horas de trabajador y la de contenidos requiere 6 horas de trabajador. Por un reglamento emitido por el Ministerio de Educación, la Agencia debe realizar a lo menos 250 visitas entre ambos tipos y como máximo 320 visitas de contenidos y 300 visitas integrales. Adicionalmente, por cada 5 visitas de algún tipo se debe realizar a lo menos una visita del otro tipo. La Agencia tiene una capacidad de procesamiento de visitas máximo, dado por su personal de backoffice. Actualmente, la Agencia no puede procesar más de 550 visitas de cualquier tipo. Cada una de las visitas tiene un beneficio social desconocido. Lo único que se sabe es que la visita integral es P veces más rentable socialmente que su par de contenidos. (a) Modele el programa lineal que maximiza el beneficio social de la Agencia de la Calidad. Exprese claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones (b) Grafique las restricciones y muestre claramente en un gráfico el espacio factible (c) Si el objetivo del desafío la Agencia de la Calidad es maximizar el bienestar social, ¿cuáles serían las posibles soluciones óptimas? Establezca, para diferentes valores de P, cuáles serían las soluciones óptimas posibles (Nota: construya una tabla de 2 columnas que le permita mostrar diferentes valores de P y sus óptimos asociados) (d) Si P= 2, ¿cuál es la solución óptima?, ¿cuál es el valor de la función objetivo?, ¿cuáles son las restricciones activas en el óptimo? Para responder las siguientes preguntas asuma que se encuentra en el óptimo, con P =2. Cada pregunta se contesta de forma independiente. (e) Luego de intensas negociaciones, el Ministerio de Educación se compromete a aumentar el número de funcionarios de la institución destinados a las labores de visitas. El Ministerio de Educación se compromete a aumentar en un 20% la dotación actual ¿Cuántas visitas adicionales logra aumentar la Agencia de la Calidad con esta medida? Justifique su respuesta (f) Ahora, el Ministerio se comprometió a aumentar el presupuesto de la Institución en un 10%, llegando a 19,8 millones de pesos (solo aumenta la parte fija, no el subsidio por visitas de contenido). ¿Cuántas visitas adicionales se podrían realizar con este aumento de presupuesto? Justifique su respuesta (g) Ahora, el Ministerio de Educación se comprometió a aumentar en un 10% la dotación destinada al procesamiento interno de las visitas, lo cual aumenta en un 10% el número de visitas que pueden procesar. ¿Cuántas visitas adicionales se podrían realizar con el aumento en la dotación de procesos internos? Justifique su respuesta (h) El Gobierno Central se ha visto en apuros económicos este último tiempo. En busca de ahorrar costos y hacer más eficiente la labor de la Agencia es que se le contrata a usted. ¿Qué recursos podría disminuir (humanos o monetarios) y en cuanto se podrían disminuir para poder reasignarlos a otras reparticiones del Estado, sin afectar el funcionamiento de la Agencia? Fundamente su respuesta. Ahora considere que P=1. Cada pregunta se contesta de forma independiente. (i) ¿Qué vértice representa la nueva solución óptima?, ¿cuáles son las restricciones activas en el óptimo? (j) Si el Gobierno Central decidió aumentar la planta de empleados públicos que realizan las visitas y con ello las horas hombre aumentaron al doble, diga (solo conceptualmente) ¿qué debería ocurrir con el óptimo y las restricciones activas en él? Ejercicio 2 (Propuesto) La municipalidad de una de las zonas más afectadas por el terremoto tiene la difícil tarea de comenzar con la reconstrucción de la comuna. Para esto, cuenta con un presupuesto especial que puede ser utilizado para la construcción de consultorios y escuelas, en reemplazo de aquellos que fueron destruidos por la catástrofe. Esto permitirá satisfacer las necesidades de la población más vulnerable. Si el presupuesto fuera utilizado sólo para la construcción de consultorios, podría construirse 60 de ellos. En el otro extremo, si no se construyen consultorios y si la totalidad del presupuesto se destina a las escuelas, sería posible levantar 90 escuelas. La municipalidad cuenta con mano de obra equivalente a 61.200 horas hombre, las que pueden ser utilizadas para la construcción tanto de consultorios como de escuelas. Un consultorio requiere de 1.200 horas hombre para su edificación, en tanto que una escuela necesita 1.000 horas hombre para ser construida. Con respecto a la disponibilidad de terreno para levantar los edificios, la municipalidad posee 65.000 metros cuadrados que pueden ser destinados tanto a consultorios como a escuelas. Un consultorio necesita 1.000 metros cuadrados de terreno para ser levantado. Una escuela requiere de 1.300 metros cuadrados de terreno, ya que necesita destinar gran parte de este espacio a los patios, canchas y áreas verdes para los alumnos. Para poder atender las necesidades mínimas de la comunidad se requiere que sean edificados al menos 5 consultorios y 5 escuelas. Además, las autoridades comunales han decidido dar una clara señal de fomento a la educación, por lo que se ha tomado la decisión de que por cada 2 consultorios construidos se levante al menos una escuela. Cada consultorio podrá atender diariamente a 500 personas. Una escuela, por su parte, es capaz de atender a 800 niños. Finalmente, se ha determinado que el beneficio social de un consultorio es un 50% mayor al de una escuela A partir de la información entregada, responda: (a) Modele las variables de decisión y las restricciones que enfrenta la municipalidad (b) Grafique las restricciones y muestre claramente el área factible del problema (c) En cada uno de los siguientes casos, modele la función objetivo y determine la solución óptima: a. Si el objetivo de la municipalidad es maximizar el beneficio social b. Si el objetivo de la municipalidad es maximizar el número de construcciones realizadas (consultorios y/o escuelas) c. Si el objetivo de la municipalidad es maximizar la cantidad de personas atendidas d. Si el objetivo de la municipalidad es minimizar los costos e. Si el objetivo de la municipalidad es maximizar el número de escuelas construidas Para las siguientes preguntas, considere que el objetivo de la municipalidad es maximizar el beneficio social. A partir de ese supuesto, responda la siguiente (conteste cada pregunta de manera independiente): (d) Determine la holgura asociada a cada una de las restricciones.¿Cuáles son las restricciones activas en el óptimo? (e) El alcalde, comprometido con el bienestar de la comunidad, ha hecho grandes esfuerzos de lobby con las autoridades regionales de manera de conseguir más recursos para la reconstrucción. Gracias a esto, ha logrado un incremento de un 25% del presupuesto para la construcción de consultorios y escuelas. Analice el efecto de este incremento en la solución óptima y el beneficio social alcanzado. Fundamente su respuesta (f) Las autoridades de la comuna están discutiendo la posibilidad de eliminar la restricción que exige que por cada 2 consultorios construidos se levante al menos una escuela, para así poder alcanzar un nivel de construcción más beneficioso para la comunidad. Un concejal de la comuna se opone, aduciendo a que, en caso de no existir esta restricción, se vería disminuida la construcción de escuelas. Comente ambas posturas: ¿tiene razón el concejal?, ¿qué pasaría con el nivel de bienestar social? Analice en detalle los efectos de la eliminación de esta restricción tanto en la solución óptima como en el valor de la función objetivo (g) Debido a la relevancia social de la reconstrucción, un grupo de personas se ha ofrecido voluntariamente para trabajar en la construcción de escuelas y consultorios. En términos cuantitativos, esto significarían 13.600 horas hombres adicionales a las ya existentes. Analice el efecto de este incremento en la mano de obra para la reconstrucción en la solución óptima y el beneficio social alcanzado.
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