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Ayudantía 5

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
Primer Semestre 2020 
 
Ayudantía nº5 – Modelación Dinámica y Geometría Vectorial 
EAE251A Métodos de Optimización 
12 mayo de 2020 
 
Ayudante: Diego Azocar (dvazocar@uc.cl) 
 
Ejercicio 1 
 
Usted desea optimizar los viajes ofrecidos durante un día, por una flota de buses expresos 
del Gran Santiago. En lo que sigue, usted puede trabajar al nivel de horas, de modo que el 
modelo tiene T periodos, donde cada periodo representa una hora del día (por ejemplo, de 
6:00 a 23:00, serían 18 periodos). 
La flota de buses expresos cuenta con R tipos de buses y se dispone de Sr buses de cada tipo 
(donde r es el tipo de bus). Los distintos tipos de buses se diferencian solamente en la 
cantidad de asientos que posee cada bus y todos los asientos son iguales. Cada tipo de bus 
de tipo r cuenta con Ur asientos. Esta flota de buses realiza recorridos directos entre 
distintos paraderos de la ciudad. La ciudad cuenta con N paraderos. Dado que los buses son 
expresos, todos los viajes son directos (sin escalas). El tiempo de viaje entre el paradero i y 
el paradero j es Tij (no depende del tipo de bus) y los viajes pueden tomar 1, 2 o 3 horas 
(cada Tij puede tomar uno de estos valores). Además, los buses pueden esperar en cada 
paradero tanto tiempo como sea necesario. Los buses pueden viajar con o sin pasajeros 
(puede ser conveniente viajar sin pasajeros si es que es necesario reposicionar un bus) y el 
costo de realizar cada viaje depende del tipo de bus y del par donde viaja. Además, existe 
un costo de tripulación del bus distinto para cada tipo de bus, que depende de la cantidad 
de buses de cada tipo que se tenga en circulación, independiente si estos buses están 
viajando o en espera. 
 
Por otro lado, se tiene demandas por viajes entre paraderos a distintas horas del día: entre 
el paradero i y el paradero j y la hora t, se demandan Dijt viajes. La tarifa cobrada a cada 
pasajero por cada viaje sólo depende del par en que viaja. Los viajeros tienen un alto nivel 
de insatisfacción, de modo que sólo viajaran si es que hay un recorrido directo entre el par 
en que ellos desean viajar (no hay trasbordos) y sólo si es que el bus pasa en la hora t en 
que ellos llegan al paradero. 
 
A usted se le pide optimizar los servicios ofrecidos por la empresa de buses expresos, de 
modo de maximizar la utilidad neta, dada por la diferencia entre los ingresos por venta de 
boletos y los costos de flota necesarios para proveer estos viajes. Para ello, considere una 
red para cada tipo de bus, donde en cada nodo (paradero y periodo) la suma de la cantidad 
de buses que están esperando en el paradero desde el periodo anterior y los buses que 
llegan de un viaje; sea igual a la suma de la cantidad de buses que parten en un viaje y los 
buses que esperan en el paradero hasta el periodo siguiente. Vincule los viajes de buses con 
los viajes realizados por los pasajeros, de modo que estos últimos no superen la cantidad de 
asientos disponibles en cada tipo de bus, ni la cantidad de viajes demandados. Para que el 
 
plan de viajes de los buses sea implementable al día siguiente (suponiendo que todos los 
días tienen iguales valores de los parámetros), exija que la cantidad de buses de cada tipo, 
en cada paradero, sea igual al principio y al final del día. Exija que los viajes no pueden llegar 
a su destino más allá del final del día (al final del día todos los buses quedan en espera en 
algún paradero). Para contabilizar los buses utilizados de cada tipo, puede sumar los buses 
en espera al final (o al principio) del día. 
a) Plantee un modelo de optimización que perita maximizar la utilidad neta de la 
empresa de buses, sujeto a las distintas restricciones y definiendo conjuntos 
parámetros y variables. 
Ejercicio 2 
 
Considere la recta de la siguiente ilustración que pasa por los puntos (4, 2, 2) y (3, 6, 4). 
 
a) Exprese la recta de la forma 𝑎 + 𝜆𝑏, con 𝜆 escalar. 
b) Calcule el punto A, la intersección de la recta con el plano de los ejes x y z. 
c) Considere la porción de plano que se representa en la siguiente ilustración que 
contiene la recta definida en (a) y el segmento de recta AB que es paralelo al eje y. 
Exprese el plano que contiene a la porción ilustrada, en la forma vH • x = C 
 
 
Ejercicio 3 
 
A raíz del terremoto, una casa ubicada a 2 metros de altura (sobre z=0) se hundió, pero de 
manera desequilibrada. Sólo la esquina derecha de la parte de atrás de la casa (C) quedó en 
la posición original. Sus esquinas frontales se hundieron 1 metro la derecha (A)y 2 metros 
la izquierda (B). 
Sus vértices quedaron ubicados en las siguientes coordenadas: 
A= (8,-5,1) B= (6,-8,0) C= (0,0,2) 
 
a) ¿Cuál es el largo y ancho de la casa? 
b) Determine la ecuación del plano que contiene el piso de la casa. Expréselo de dos 
formas distintas. 
c) ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para determinar las coordenadas del 
punto D (esquina trasera izquierda de la casa)? Encuentre ese punto. 
d) Si la casa tiene una altura de 5 metros, ¿Cuáles son las condiciones para encontrar las 
coordenadas de las esquinas superiores? Encuentre ese punto.

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