05 Geometría Vectorial (Pauta)

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Clases Métodos de Optimización:
Geometría Vectorial
Ejercicio 1
Considere una recta que pasa por los puntos (4, 2, 2) y (3, 6, 4), tal como muestra 
el siguiente gráfico:
a) Exprese la recta en la forma a +  b donde  es un escalar. 
b) Determine la distancia geométrica que existe entre los puntos (4,2,2) y 
(3,6,4) 
c) Calcule el punto A, la intersección de la recta con el plano de los ejes x y z. 
d) Encuentre un vector c que esté incluido en el plano de los ejes x y z, cuya 
componente en x sea igual a 1, y que sea perpendicular a la recta en (a). 
e) Suponga que existe una segunda recta definida como r +  s con r = (r1, r2, r3)
y s = (s1, s2, s3). ¿Qué condiciones se deben cumplir para que ambas rectas (a
+  b y r +  s) nunca se intercepten? 
x
y
z
(4, 2, 2)
(3, 6, 4)
A
Pauta Ejercicio 1
a) 4,2,2 4,2,2 3,6,4 4,2,2 1, 4, 2
b) Se calcula la norma del vector que va entre ambos puntos: 
1 4 2 21
c) Que pertenezca al plano xz significa que su componente en y es igual a 0.
, 0, 4,2,2 1, 4, 2
0,5
4 0,5 ∗ 1 4,5
0
2 0,5 ∗ 2 1
, , 4.5,0,1
d) Como está contenido en el plano xz, su componente en y es igual a 0. Además 
su componente en x es igual a 1. Para ser perpendicular con la recta, requiere que 
el producto punto con la dirección de la recta sea 0
, , ∙ 1, 4, 2 0
1,0, ∙ 1, 1, 2 1 ∗ 1 0 ∗ 1 ∗ 2 0
0,5
, , 1,0,0.5
Pauta Ejercicio 1
e) En 3 dimensiones, para no tener ninguna intersección, basta con que las rectas 
pertenezcan a planos paralelos. De esta manera puede ocurrir uno de los siguientes casos:
Las rectas son paralelas y no coincidentes
Las rectas son alabeadas (Por ejemplo una recta horizontal a nivel del suelo que 
va hacia el norte (dirección) y una recta horizontal a nivel del techo que va hacia el oriente)
Para llegar a las condiciones que deben cumplir los r y los s es necesario realizar el 
siguiente sistema de ecuaciones.
4
2 4
2 2
Donde se debe llegar a una contradicción. Primero vamos a despejar para λ y luego para µ.
4
De cumplirse esta condición, el lambda es único y tenemos que comprobar para el mu. 
Despejando mu de las 3 ecuaciones anteriores obtenemos
Luego, cuando falla cualquiera de estas 3 relaciones, entonces no existe una intersección 
entre las rectas.
Cancha de Fútbol
• La ilustración muestra una cancha de fútbol de 120 
metros [m] por 90 [m]. 
• La altura de ambos arcos es 2,1 [m]. 
• En el punto o, que está a ras de suelo y a 10 [m] de 
la cancha de fútbol en la continuación de su línea 
central, se instala un aparato localizador. 
• El punto o define el origen de tres ejes de 
coordenadas: x (a lo ancho de la cancha), y (a lo 
largo de la cancha) y z (altura). 
• El aparato puede calcular el vector‐posición en el 
espacio x‐y‐z de cualquier punto en la cancha, de 
la pelota y de los jugadores. 
Cancha de Fútbol
o
z y
x
a
b
c
d e
fg
h
i
j
k
l
10 [m]
90 [m]
16,5 [m] 7,32 [m] 5,5 [m]
9,15 [m]
16,5 [m]
11 [m]
Cancha de Fútbol
Considerando las medidas de la cancha, es posible 
expresar los vectores‐posición definidos en la 
ilustración, como por ejemplo:
• el centro de la cancha a: (55, 0, 0); 
• la esquina superior derecha b del arco del 
fondo: (58,66; 60; 2,1);
• el punto c en el que se pone la pelota para 
patear un tiro penal: (55, ‐49, 0);
• la esquina inferior izquierda d de la cancha: (10, 
‐60, 0).
Cancha de Fútbol
a) Para estar en el suelo dentro de la cancha, ¿qué 
condiciones debe cumplir un vector‐posición p 
cualquiera? 
b) Encuentre los valores de A, B, C y D que definen el 
plano de la forma A x + B y + C z = D y que contiene al 
arco del fondo de la ilustración. ¿Es única la solución?
c) Exprese el segmento de recta entre h e i en términos 
de los vectores i, e y f.
d) Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias 
o vectores‐dirección que debe tener una pelota que 
se patea desde i para que entre al arco de abajo en la 
figura (cuya esquina inferior izquierda es l). Suponga 
que la trayectoria no se curva por gravedad u otro 
motivo.
Cancha de Fútbol
e) Suponga que el arquero está parado en c y está observando 
a los jugadores en la cancha.
– Señale qué condición debe cumplir el vector‐posición m (que es 
un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de un 
jugador para que desde el punto de vista del arquero esté 
tapado por un jugador que está en i.
– Señale qué condición debe cumplir el vector‐posición m de un 
jugador para que tape un jugador que está en i.
f) Un tiro de corner se patea desde cualquiera de las cuatro 
esquinas de la cancha.
– Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o 
vectores‐dirección que debe tener una pelota que se patea 
desde d para que vaya a ras de suelo y que no salga de 
inmediato de la cancha.
– Repita lo anterior pero sin necesidad de que la pelota vaya a 
ras de suelo.
Cancha de Fútbol ‐ Pauta
Cancha de Fútbol ‐ Pauta
b) Plano: y = 60. Es decir, A = 0, B = 1, C = 0 y D = 60. La solución no es 
única: los valores de B y D pueden cambiar, siempre y cuando D = 60 B. 
Por ejemplo, si B es 2, entonces D es 120. Los valores de A y C siempre 
son cero.
c) Un punto p pertenece al segmento si: p = i + h (h – i) con 0 ≤ h ≤ 1.
d) Un punto p entra al arco de l si: p = l + e (7,32; 0; 0) + g (0; 0; 2,1) con 0 ≤ 
e ≤ 1 y 0 ≤ g ≤ 1. El conjunto trayectorias son todos los (p – i).
e) Suponga que el arquero está parado…
i. El vector‐posición m debe estar en la extensión del segmento que va desde 
c a i. Esto es: m = c + c (i – c) con 1 ≤ c.
ii. El vector‐posición m debe estar en el segmento que va desde c a i. Esto es: 
m = c + c (i – c) con 0 ≤ c ≤ 1.
f) Un tiro de corner se patea…
i. La trayectoria debe tener los componentes en x y en y no‐negativos, es 
decir, debe ser de la forma (a; b; 0) con a, b ≥ 0.
ii. La trayectoria debe tener todos sus componentes no‐negativos, es decir, 
debe ser de la forma (a; b; g) con a, b, g ≥ 0.