Pauta Final Caso Aplicado

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Método de Optimización
Solución del caso aplicado1
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April 23, 20203
1 Parte I4
Sets5
T con t = {1, . . . , 10} A;os de planificación6
N con n = 1... |N | Cultivos de la Zona7
Parámetros8
hn,0 superficie inicialmente sembrada de cultivo n9
yn rendimiento medio por hectarea de cultivo n10
pn,t precio del cultivo n en el periodo t11
αn velocidad de desaceleración de oferta de producto n12
Dn cantidad máxima de cultivo n que puede ser demandado en el mercado13
S superficie con potencial agŕıcola de la localidad14
Variables15
hn,t superficie sembrada (hectáreas) de cultivo n en cualquier momento t16
It ingresos17
Función Objetivo18
max
∑
t∈T
It (1)
Restricciones19
Sujeto a:20
Definición de Ingresos21
It =
∑
n∈N
hn,tynpn,t (2)
Oferta de corto plazo: ha de considerarse que disminuir la oferta a cero en el corto plazo genera incon-22
venientes de confiabilidad con los clientes. Si bien desde un modelo matemático se puede reducir a cero23
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Pauta entrega 1 3 PARTE III
instantáneamente, no tiene sentido practico. Esta enunciación implica la existencia de una rampa de de-24
saceleración de oferta que es función de t y la oferta inicial de superficie.25
max(hn,0(1− tαn), 0) ≤ hn,t (3)
Cuotas máximas de producción26
hn,t ≤ Dn (4)
Uso de espacio27
∑
n∈N
hn,t ≤ S (5)
No negatividad28
2 Parte II29
Solo se indican aquellos elementos que cambian respecto al modelo de Parte I Sets30
I con i = 1... |I| Conjunto de empleos dependientes de la actividad agŕıcola31
Parámetros32
mn demanda de mano de obra por hectárea del cultivo n33
ri ratio de demanda de mano de obra de actividad i respecto al ingreso I34
Variables35
MOt Mano de obra total en cada momento t36
Función Objetivo37
max
∑
t∈T
MOt (6)
Restricciones38
Sujeto a:39
Definicion de MO40
MOt =
∑
n∈N
hn,tmn +
∑
i∈I
It
ri
(7)
3 Parte III41
Nota 1: Se indican que hay dos pronósticos de lluvias; los pronósticos podŕıan ser similares o considerable-42
mente diferentes, por lo que se deben modelar al menos dos escenarios para estar a cubierto de esta ultima43
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Pauta entrega 1 3 PARTE III
situación44
Nota 2: Se pide maximizar la utilidad, a diferencia de los casos anteriores. Se consideraran entonces los45
costos que corresponden a los cultivos mas las inversiones.46
Sets47
Ω con ω = 1... |Ω| numero de bocas habilitadas para extracción subterránea48
L con l = 1, 2 pronósticos de lluvias disponibles49
Γ con γ = 1... |Γ| numero de inversiones totales en sistemas de retención de agua50
Parámetros51
bl,t pronostico de lluvias para el escenario l en el periodo t52
ẇn consumo de agua [m
3] por tn de producto n53
ẇc consumo de agua potable per capita54
ẇe fracción de agua perdida por evapotranspiracion55
ẇinv volumen de agua retenido por cada inversión realizada56
ċinv costo unitario de la inversión para incrementar en ẇinv la capacidad57
cω costo de m3 extráıdo de la boca ω58
qω máximo m3 de agua que permite la boca ω59
Cn costo individual de mantenimiento de cada cultivo por periodo, indicado como um/tn60
Et nivel de ocupación de mano de obra reportado por el modelo anterior en cada periodo.61
δ perdida porcentual de agua remanente en cauces de agua entre años62
Variables63
aγ,t decisión de inversión; si construyo o no un reten γ en el momento t.64
xω,t cantidad de agua a extraer por la boca ω65
xγ,t cantidad de agua a extraer del reten γ66
Wt indica el stock de agua final en el momento t67
Wt−1 indica el stock de agua inicial en el periodo t− 168
Wcauce,t−1 indica el stock de agua inicial en cauce en el periodo t− 169
Wreten,t−1 indica el stock de agua inicial en embalse en el periodo t− 170
Wrain,t indica la lluvia caida en un periodo t71
Wsub,t indica la lluvia retirada de las napas en un periodo t72
Whc,t indica el agua disponible para consumo humano en el periodo t73
Wagro,t indica el consumo de agua en agro74
MOt mano de obra requerida75
Gt gastos por inversion y cultivos76
It ingresos77
Función Objetivo78
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Pauta entrega 1 3 PARTE III
max
∑
t∈T
It −Gt (8)
Restricciones79
Sujeto a:80
Definición de Ingresos81
It =
∑
n∈N
hn,tynpn,t (9)
Definición de gastos; en linea con las partes anteriores, no se consideran gastos los pagos generados por82
empleos. Si se tomaran como costos los referentes a agua e inversiones83
Gt =
∑
ω
xω,tcω +
∑
γ∈Γ
aγ,tċinv +
∑
n∈N
hn,tynCn (10)
Restricción del nivel de ocupación de la Parte II84
Et ≤MOt (11)
Balance h́ıdrico85
Wt = Wcauce,t +Wret,t + (1− ẇe)Wrain,t +Wsub,t −Whc,t −Wagro,t (12)
Agua de lluvia86
Wrain,t = S ∗ bl,t
Agua subterráneo87
Wsub,t =
∑
ω
xω,t
Restricción de máximo retiro por boca88
xω,t ≤ qω
Restricción de máximo retiro por reten: se podrá retirar agua de un reten siempre que haya contenido, stock89
del periodo anterior, y que el a;o de construcción sea anterior al momento de uso. Se indico que entre el a;o90
de construcción y el de uso pasan 3 años, o un tiempo ∆t en forma mas genérica. Por lo tanto, si queremos91
usarlo en un momento t y se tomo la decisión en t′, al menos t ≥ t′ + 3. La decisión de construcción es una92
variable binaria o mas concretamente que sea {0, 1} pero podŕıa suceder que la hayan relajado, lo que daŕıa93
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Pauta entrega 1 3 PARTE III
capacidades fraccionarias. Si esta relajada, la consideramos ok.94
xγ,t ≤Wγ,t−1∀γ, t : aγ,t′ = 1 : t ≥ t′ + 3
Agua del periodo anterior: es una variable de stock. Las dos formas de retener agua son: cauce de ŕıos y95
retenes de agua. Puede generar confusión la forma de verla. Siempre que sobre agua de un periodo y haya96
capacidad en retenes sera enviada a ellos, y si hubiera mas, quedara en cauces.97
Agua retenida en retenes (considera que al menos debe haber pasado el periodo de inicio de construcción98
t=0, uno de construcción t=1, y recién se pueden usar en el t=2, por lo que el agua retenida recién estará99
disponible en t=3)100
Capacidad de retenes en un momento t101
W capret,t =
∑
γ
aγ,t′ẇinv∀t ≥ t′ + 3
Agua retenida en retenes efectivamente102
Wret,t = min(Wt−1,W
cap
ret,t)
103
104
Agua en remanente en cursos de agua: el agua que va a cauces es aquella que no puede guardarse en retenes.105
Existe una perdida natural por el flujo mismo del caudal de agua y por derivación a napas. Aunque no esta106
indicado se espera que puedan establecer que hay un delta que se pierde y por eso es conveniente hacer una107
obra y no esperar que la naturaleza acumule el agua.108
Wcauces,t = max(Wt−1(1− δ)−Wret,t, 0)
109
110
Consumo de agua en Agro111
Wagro,t =
∑
n
ẇnhn,tyn
Consumo de agua potable112
Whc,t = 3MOD ∗ ẇc
Oferta de corto plazo: ha de considerarse que disminuir la oferta a cero en el corto plazo genera incon-113
venientes de confiabilidad con los clientes. Si bien desde un modelo matemático se puede reducir a cero114
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Pauta entrega 1 4 PARTE IV
instantáneamente, no tiene sentido practico. Esta enunciación implica la existencia de una rampa de de-115
saceleración de oferta que es función de t y la oferta inicial de superficie.116
4 Parte IV117
Se han indicado al menos dos modelos que no tienen equivalencia desde el objetivo, la parte I y la II. En118
la parte III dependiendo como lo hayan planteado, podrian tener un modelo (como el de la pauta) donde119
se intente mantener un nivel de personal como en la parte II, respetar el consumo de agua y maximizar la120
utilidad, pero podria ser infactible. Si asi lo fuera, deberia relajar una de las restricciones, posiblemente la121
de mantener el nivel de empleo. Asi es factible que tenga finalmente 3 set de decisiones que podrian tener122
diferencias entre ellas.123
Entonces:124
Sea hθn,t la decision de cultivo npara el periodo t en el modelo θ siendo θ = {1, 2, 3}, las partes de este125
enunciado, respectivamente. Se debe buscar un set de decisiones dn,t que sea el menos alejado delos126
propuestos y que sea compatible con las restricciones totales del sistema.127
La funcion objetivo es la minimizacion de las distancias. A fin de evitar el termino cuadratico de una128
regresion usaremos valores absolutos.129
min
∑
n,t,θ
∣∣dn,t − hθn,t∣∣ (13)
El set de restricciones es el mismo que se usaba en las partes anteriores, pero esta vez deben ser factibles130
para dn,t131
Podrian existir otras formas de considerar esta minimizacion de distancias por ejemplo usando una expresion132
como:133
min
∑
n,t,θ
(�θn,t + �̂
θ
n,t) (14)
donde:134
�θn,t =
dn,t − hθn,t
hθn,t
(15)
�̂θn,t = max((�
θ
n,t − �target)ς, 0) (16)
donde:135
�θn,t valor del error entre la nueva decision y una del set θ136
�̂θn,t valor de la penalidad por incurrir en un error mayor que el target137
�target valor del error aceptable por periodo138
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Pauta entrega 1 4 PARTE IV
ς penalidad por alejarse del error target139
Una forma de comprobar el valor del sistema es la aplicacion del nuevo set de decisiones sobre el sistema.140
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