Clase 2 y 3

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Clases 2 y 3
Teoría de optimización
Las Decisiones de Consumo
• Objetivo: escoger la combinación (canasta) de 
ropa y comida tal que se “maximice la 
utilidad”. 
• → La canasta debe satisfacer 2 condiciones:
1. Debe estar sobre la restricción 
presupuestaria
 Los consumidores usan todo su el ingreso 
disponible (más es mejor que menos)
2. Debe generar la mayor satisfacción (utilidad) 
posible
2
La Decisión de Consumo
3
U3
D
C
40 8020
20
30
40
0
U1
A
B
•A, B, C están sobre la línea 
de presupuesto
•D genera mayor utilidad 
pero no es asequible
•C genera la mayor utilidad 
y es asequible
•El consumidor escoge C
Ropa
(unidades
por semana)
Comida
(Unidades por semana)
Por Qué es Óptimo Consumir C?
4
40 8020
20
30
40
0
U1
Esta zona es de canastas 
asequibles que generan mayor 
utilidad
En este punto, la tasa a la cual se quiere 
intercambiar ropa por comida (TMSS) es mayor 
que la razón de precios
En este punto, la tasa a la cual se quiere 
intercambiar ropa por comida (TMSS) es 
menor que la razón de precios
Ropa
(unidades
Por semana)
Comida
(Unidades por semana)
¿Qué Caracteriza al Punto C?
• La pendiente de la restricción presupuestaria es igual a la pendiente de la 
curva de indiferencia:
5
R
C
P
P
TMSM −==oPresupuest Línea Pendiente 
TMSS=iaIndiferenc Curva Pendiente
TMSMMSS =T
Maximización
• Asumamos por el momento que las 
preferencias permiten que se pueda medir la 
felicidad del individuo usando la función de 
utilidad, U
• El individuo elegirá la acción con la que alcance 
el mayor U (la acción que maximiza U), sujeto 
a las restricciones que enfrente
• Maximización: herramientas del cálculo para 
predecir comportamiento
6
Condiciones de primer orden 
(CPO)
• En general, ¿cuándo decimos que un valor x 
maximiza una función f?
 Cuando f(x) es el valor más alto que f puede 
alcanzar
• Maximización sin restricciones:
 Condición necesaria (CPO): pendiente nula en x
 Pero… que la pendiente sea 0 no asegura que 
estemos en un máximo (no es condición suficiente; 
chequear CSO).
7
Condiciones de primer orden 
(CPO)
• La misma idea si x es un vector
 CPO: gradiente (vector de derivadas) nulo
 Intuición: si nos movemos en cualquier dirección, f 
no está creciendo ni decreciendo
• Maximización con restricciones: el óptimo 
puede estar en el interior del conjunto (la 
restricción es irrelevante), o en el borde (la 
pendiente de f puede no ser nula en ese punto)
 Lagrange
 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
8
Una derivación mas formal: 
método de Lagrange
• El lagrangiano se escribe como la función 
de utilidad, más el producto entre la 
variable λ y la restricción presupuestaria 
(en general, la función a maximizar o 
minimizar más λ por la restricción).
max L=f x1,x2 +λ b − g x1,x2
9
El Lagrangiano
• Se encuentra el máximo hallando las 
derivadas de la función L con respecto a 
cada una de las variables x1, x2, λ e 
igualándolas a 0.
• Las condiciones de segundo orden se 
cumplen con una función de utilidad que 
sea cuasi-cóncava.
10
Las condiciones de primer orden 
(CPO) del Lagrangiano
• En general, si tenemos un Lagrangiano del tipo:
Max L = f x1,x2, … +𝜆 b − g x1,x2, …
• Las CPO son:

∂L
∂xi
=0 para i = 1, 2, …

∂L
∂λ
=0
• Por el teorema de la envolvente:

∂L
∂b
=λ
• Lo mismo con más restricciones…
11
Ejemplo
• El precio de la comida es 2 y el de la ropa es 8. 
El ingreso (m) del consumidor es igual a 30 
pesos. 
• La canasta óptima es C=7 y R=2
12
)1(),( CRRCU +=
El Lagrangiano
• Si la solución es interior, las condiciones 
de primer orden son:

∂L
∂C
=
∂U
∂C
− λ∙PC = 0

∂L
∂R
=
∂U
∂R
− λ∙PR = 0

∂L
∂λ
= m − PRR − PCC = 0
13
El Lagrangiano
• La tercera condición es igual a la restricción 
presupuestaria.
• Si se resuelve para λ en las 2 primeras ecuaciones y se 
igualan se obtiene: 
• Reorganizando esta condición se obtiene:
14
CR P
C
U
P
R
U


==


C
R
P
P
C
U
R
U
=




El método de Kuhn-Tucker
• No sólo debemos elegir una canasta que 
podemos pagar pero también, tenemos la 
restricción que las cantidades de cada 
bien no pueden ser negativas.
• Kuhn-Tucker nos da una manera 
sistemática de verificar si estamos 
mirando una solución de esquina o no.
15
Kuhn-Tucker
• Escribimos el Lagrangiano de la misma manera 
que arriba, pero cambiamos las condiciones de 
primer orden:
∂L
∂C
≤ 0 y C ∙
∂L
∂C
= 0
∂L
∂R
≤ 0 y R ∙
∂L
∂R
= 0
∂L
∂𝜆
≥ 0 y 𝜆 ∙
∂L
∂𝜆
= 0
16
• Una Solución Esquina ocurre cuando el 
consumidor consume solo uno de los bienes
 TMS es siempre > o < a Px/Py.
• En las esquinas, la TMS es mayor o menor 
que la razón de precios. Si pudiera, el 
consumidor daría más del otro bien con tal 
de consumir más de ese bien (pero ya no 
tiene nada para dar). 
17
Decisión de Consumo
Ejemplo de una Solución de Esquina
18
Helado (Tazas/mes)
Yogurt
(Tazas/mes)
B
A
U2 U3U1
Hay una solución 
esquina en B:
El consumidor 
prefiere
mucho más helado 
que yogurt
Distintos casos
19
x1 x2 λ
> 0 > 0 > 0
= 0 > 0 > 0
> 0 = 0 > 0
= 0 = 0 > 0
> 0 > 0 = 0
> 0 = 0 = 0
= 0 > 0 = 0
= 0 = 0 = 0
Distintos casos
20
Caso x1 x2 λ
1 > 0 > 0 > 0
2 = 0 > 0 > 0
3 > 0 = 0 > 0
4 = 0 = 0 > 0
5 > 0 > 0 = 0
6 > 0 = 0 = 0
7 = 0 > 0 = 0
8 = 0 = 0 = 0
X2
X1
1
3
2
5
6
7
8
(*) Caso 4 no se puede graficar
¿Cuándo se puede eliminar un 
caso?
• Si la función que se quiere maximizar tiene una 
derivada infinita cuando se elige x1 = 0, el 
óptimo nunca será x1 = 0
• Si en la función que se quiere maximizar, la 
derivada respecto de x2 es = 0 cuando x1 = 0, el 
óptimo nunca será x1 = 0
• Si la función crece en x1 y x2; si al relajar la 
restricción aumentarían x1 y x2; y hay solamente 
una restricción, el óptimo nunca será λ = 0
21
KKT en el problema del 
consumidor
• Si hay una solución interior, ésta será:
∂U
∂R
∂U
∂C
=
PR
PC
• Si hay una solución esquina, entonces (por ejemplo) R=0, C=
m
PC
, y
∂U
∂R
∂U
∂C
<
PR
PC
Es decir, la utilidad marginal de consumir R en vez de C es menor 
a la razón de precios
22
Ejemplo - KKT
• Considere el problema max 𝑦 = 𝑥1 + 𝑥2, sujeto a:
 𝑚 ≥ 20𝑥1+ 𝑥2
 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
23
• Plantee las CPO:
 Lagrangeano: ℒ: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝜆 𝑚 − 20𝑥1 − 𝑥2
 Condiciones de KKT:

𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
∙ 𝑥1 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
− 𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
∙ 𝑥2 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 20𝑥1 − 𝑥2 ≥ 0;
𝜕ℒ
𝜕𝜆
∙ 𝜆 = 0
 𝑥1, 𝑥2, 𝜆 ≥ 0
Ejemplo - KKT

𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
∙ 𝑥1 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
− 𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
∙ 𝑥2 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 20𝑥1 − 𝑥2 ≥ 0;
𝜕ℒ
𝜕𝜆
∙ 𝜆 = 0
 𝑥1, 𝑥2, 𝜆 ≥ 0
24
• Tenemos 2 variables y una restricción; luego hay 23 = 8 casos posibles
• Podemos descartar todos los casos con 𝜆 = 0, por no saciedad (
𝜕𝑈
𝜕𝑥1
, 
𝜕𝑈
𝜕𝑥2
>0). (además, incompatible con restricción 1: 𝜆 ≥
1
20
> 0).
• Como 
𝜕𝑈
𝜕𝑥2
tiende a ∞ cuando 𝑥2 = 0, descartamos 𝑥2 = 0.
• Quedan 2 casos:
Ejemplo - KKT
• Caso 1: 𝑥1 > 0, 𝑥2 > 0, 𝜆 > 0. CPO se cumplen con igualdad.
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 =
1
20
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
= 𝜆 =
1
20
⇒ 𝑥2 = 10 ⟹ 𝑥2 = 100
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 20𝑥1 − 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 =
𝑚−𝑥2
20
=
𝑚−100
20
 Ojo: 𝑥1 > 0 solo si
𝑚−100
20
> 0, es decir si 𝑚 > 100
25

𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
∙ 𝑥1 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
− 𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
∙ 𝑥2 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 20𝑥1 − 𝑥2 ≥ 0;
𝜕ℒ
𝜕𝜆
∙ 𝜆 = 0
 𝑥1, 𝑥2, 𝜆 ≥ 0
Ejemplo - KKT
• Caso 2: 𝑥1 = 0, 𝑥2 > 0, 𝜆 > 0. De las CPO:
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 ≤ 0; 𝑥1 = 0
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
= 𝜆
 De 
𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥2 = 𝑚 (porque 𝑥1 = 0)
 Como 
1
2 𝑥2
= 𝜆, sabemos que 𝜆 =
1
2 𝑚
.
 También sabemos que 1 − 20𝜆 ≤ 0 ⇒ 𝜆 ≥
1
20
. Entonces, 
1
2 𝑚
≥
1
20
. Esto se 
cumple si𝑚 ≤ 100.
26

𝜕ℒ
𝜕𝑥1
: 1 − 20𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥1
∙ 𝑥1 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝑥2
:
1
2 𝑥2
− 𝜆 ≤ 0; 
𝜕ℒ
𝜕𝑥2
∙ 𝑥2 = 0

𝜕ℒ
𝜕𝜆
: 𝑚− 20𝑥1 − 𝑥2 ≥ 0;
𝜕ℒ
𝜕𝜆
∙ 𝜆 = 0
 𝑥1, 𝑥2, 𝜆 ≥ 0
Condiciones de segundo orden 
(CSO) – caso sin restricciones
• Que la primera derivada sea cero es solo 
condición necesaria
 Si f ’(x) = 0, pero al aumentar x aumenta la pendiente, 
conviene aumentar x (lo mismo si al disminuir x cae la 
pendiente)
 CSO: f’’(x) < 0.
• Si x es un vector: verificar en todas las 
direcciones posibles
 CSO: hessiano (matriz de segundas derivadas) de L 
definida negativa (en x)
27
Matrices
• Una matriz An×n es definida negativa si 
−1 kDk>0 para k = 1, …, n, donde Dk es el 
menor principal líder de orden k.
• Un menor principal líder de orden k es el 
determinante de la matriz que se forma al 
eliminar las últimas (n-k) filas y columnas de A.
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Condiciones de segundo orden (CSO) 
– con restricciones de igualdad
• Ya no es posible moverse en todas las direcciones, solo 
en algunas.
• Si hay n variables y m restricciones, la CSO es:
 Los últimos (n-m) menores principales líderes del 
hessiano orlado alternan signo, empezando con el 
signo de (−1)m+1, donde el hessiano orlado es:
29
ഥHL x =
0m×m ∇g x m×n
T
∇g x n×m HL x n×n
CSO con restricciones de 
desigualdad
• Distintos casos:
 Todos positivos: CSO de maximización con restricción de 
igualdad
 λ = 0, otros dos positivos: CSO de maximización sin 
restricciones
 λ > 0, uno 0 y otro positivo: no hay hacia dónde moverse 
(no hay CSO)
 λ = 0, uno 0 y otro positivo: CSO de maximización sin 
restricciones con una variable
 Todos 0: nada que calcular…
30
CSO de nuestro ejemplo
• Caso 1: 𝑥1 > 0, 𝑥2 > 0, 𝜆 > 0. CPO se cumplen con igualdad
(maximización con restricciones). CSO: último menor líder
principal > 0.
 𝐻 =
0 20 1
20 0 0
1 0 −
1
4
𝑥2
−
3
2
 𝐻 = −20 20 ∙ −
1
4
𝑥2
−
3
2 − 0 + 1 0 + 0 = 100 𝑥2
−
3
2 > 0
• Caso 2: 𝑥1 = 0, 𝑥2 > 0, 𝜆 > 0. No hay CSO.
31
El caso de la elección del 
consumidor
• La función a maximizar está dada por la función de 
utilidad, que depende del nivel de consumo de distintos 
bienes: U(x,y)
• La restricción principal es la restricción presupuestaria:
x∙Px + y∙Py ≤ m
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CSO – el caso de la elección del 
consumidor
• El hessiano orlado es, en este caso:
0 PX PY
PX UXX UXY
PY UXY UYY
• Necesitamos que el último menor principal líder 
sea positivo (porque n=2 y m=1, el último 
menor principal líder debe tener signo (-1)2>0
33
CSO – el caso de la elección del 
consumidor
• Esto significa que el determinante de la matriz debe 
ser positivo, o que
 −𝑃𝑋
2𝑈𝑌𝑌 − 𝑃𝑌
2𝑈𝑋𝑋 + 2𝑃𝑋𝑃𝑌𝑈𝑋𝑌 > 0
• Dadas las condiciones de primer orden
𝑃𝑥 =
𝑈𝑋
𝜆
, 𝑃𝑌 =
𝑈𝑌
𝜆
, eso es lo mismo que

1
𝜆2
−𝑈𝑋
2𝑈𝑌𝑌 − 𝑈𝑌
2𝑈𝑋𝑋 + 2𝑈𝑋𝑈𝑌𝑈𝑋𝑌 > 0
• …que es la condición de cuasiconcavidad de la 
función de utilidad; equivalentemente, es la condición 
de convexidad de las curvas de indiferencia
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Concavidad y cuasi-concavidad
• Una función es cóncava si su matriz hessiana es 
negativa definida
• Una función es cuasi-cóncava si su matriz 
hessiana orlada es negativa definida (puede 
también ser igual a 0).
• Todas las funciones cóncavas son cuasi-cóncavas.
35
CSO y cuasi-concavidad
• La función de utilidad es cuasi-cóncava si 
la TMSS es decreciente; es decir, si
es negativo.
• Este requisito es idéntico a la condición 
de segundo orden del Lagrangiano.
36
3
22 2
y
xyyyxxyyxx
U
UUUUUUU
x
TMSS +−
=


¡Una nota precautoria!
• Recuerde que hay soluciones de esquina.
• Si las curvas de indiferencia tienen quiebres o si la 
restricción de presupuesto tiene quiebres es posible que 
no se pueda usar cálculo o que deba ser cuidadoso.
• Así, si bien las herramientas matemáticas son 
importantes, ¡pensar en el tipo de problema también lo 
es!
37
Utilidad no diferenciable
38
Ejemplo: U(C,F)=min{C,4F}
C=4F
Ropa
(unidades por
semana)
20
30
40
0 Comida (unidades por 
semana)
40 8020
Otro Ejemplo de Solución de Esquina: Línea 
de Presupuesto
• Curva de presupuesto inicial, PQ, para una 
canasta de Educación y Otros bienes
• Padres dan un dinero PB que puede ser usado 
sólo en Educación.
• La curva de presupuesto aumenta en PB 
siempre que se use en Educación.
• Se puede aumentar la utilidad moviéndose a la 
curva de indiferencia U2
• Pero en el punto B, el consumidor aún desea 
intercambiar educación por otros bienes. Se es 
forzado a consumir educación en “exceso”. 
39
40
P
Q Educación ($)
Otros Bienes
($)
U2
A
U1
B
•Se está mejor en U2
•B es solución de 
esquina
•TMSS < PE/POB
Ejemplo de una Solución de Esquina
41
P
Q Educación ($)
Otros Bienes
($)
U2
A
U1
B
•Si el ingreso adicional no 
estuviera restringido a ser 
usado en educación, se 
estaría mejor en C sobre 
U3 que en B sobre U2
Ejemplo de una Solución de Esquina
Soluciones de esquina y política 
social
• En muchas ocasiones, el gobierno, como los 
padres en el ejemplo de la educación, quiere 
restringir lo que hace la gente con el dinero que 
el gobierno les entrega
• En EEUU, un gran parte de la ayuda a la gente 
pobre viene en forma de “food stamps”, dinero 
que se puede solamente usar para comprar 
comida.
• ¿Es equivalente a ofrecer dinero?
42